登录
8. 如图所示,足够高的薄壁圆柱形容器甲、乙静止在水平桌面上,容器甲、乙的底部所受液体的压强相等。容器甲中盛有水,水的深度为$0.08\ \mathrm{m}$;容器乙中盛有另一种液体。（$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$）
(1)若容器甲中水的质量为$2\ \mathrm{kg}$,求容器甲中水的体积;
(2)求容器甲中水对容器底部的压强$p_{水}$;
(3)现往容器甲中加水,直至与容器乙中的液面等高,此时水对容器底部的压强增大了$200\ \mathrm{Pa}$,求容器乙中液体的密度$\rho_{液}$。
(1)若容器甲中水的质量为$2\ \mathrm{kg}$,求容器甲中水的体积;
(2)求容器甲中水对容器底部的压强$p_{水}$;
(3)现往容器甲中加水,直至与容器乙中的液面等高,此时水对容器底部的压强增大了$200\ \mathrm{Pa}$,求容器乙中液体的密度$\rho_{液}$。
答案
解：
$ (1) V = \frac{m}{\rho} = \frac{2\ \mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3} = 2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
$ (2) p_{\mathrm{水}} = \rho gh = 1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.08\ \mathrm{m} = 800\ \mathrm{Pa}$
$ (3) \Delta h = \frac{\Delta p}{\rho g} = \frac{200\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}} = 0.02\ \mathrm{m}$
$ h_{\mathrm{液}} = 0.08\ \mathrm{m} + 0.02\ \mathrm{m} = 0.1\ \mathrm{m}$
由$\rho_{\mathrm{水}}gh_{\mathrm{水}} = \rho_{\mathrm{液}}gh_{\mathrm{液}}$得：
$ \rho_{\mathrm{液}} = \frac{\rho_{\mathrm{水}}h_{\mathrm{水}}}{h_{\mathrm{液}}} = \frac{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×0.08\ \mathrm{m}}{0.1\ \mathrm{m}} = 0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
$ (1) V = \frac{m}{\rho} = \frac{2\ \mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3} = 2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
$ (2) p_{\mathrm{水}} = \rho gh = 1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.08\ \mathrm{m} = 800\ \mathrm{Pa}$
$ (3) \Delta h = \frac{\Delta p}{\rho g} = \frac{200\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}} = 0.02\ \mathrm{m}$
$ h_{\mathrm{液}} = 0.08\ \mathrm{m} + 0.02\ \mathrm{m} = 0.1\ \mathrm{m}$
由$\rho_{\mathrm{水}}gh_{\mathrm{水}} = \rho_{\mathrm{液}}gh_{\mathrm{液}}$得：
$ \rho_{\mathrm{液}} = \frac{\rho_{\mathrm{水}}h_{\mathrm{水}}}{h_{\mathrm{液}}} = \frac{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×0.08\ \mathrm{m}}{0.1\ \mathrm{m}} = 0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
解析
【分析】
1. 第(1)问：已知水的质量和水的密度，根据密度公式的变形公式$V=\frac{m}{\rho}$，代入数据即可求出容器甲中水的体积。
2. 第(2)问：已知水的深度、密度和$g$的取值，利用液体压强公式$p=\rho gh$，代入数据可计算出水对容器底部的压强。
3. 第(3)问：首先根据水对容器底部增大的压强，利用$\Delta p=\rho g\Delta h$求出水面上升的高度，进而得到容器乙中液体的深度；再结合初始时甲、乙容器底部液体压强相等的条件，利用$p=\rho gh$的等量关系，代入数据计算出容器乙中液体的密度。
【解析】
(1) 由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$可得，容器甲中水的体积：
$V = \frac{m}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{2\ \mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3} = 2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
(2) 根据液体压强公式，容器甲中水对容器底部的压强：
$p_{\mathrm{水}} = \rho_{\mathrm{水}}gh_{\mathrm{水}} = 1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.08\ \mathrm{m} = 800\ \mathrm{Pa}$
(3) 由$\Delta p=\rho_{\mathrm{水}}g\Delta h$可得，水面上升的高度：
$\Delta h = \frac{\Delta p}{\rho_{\mathrm{水}}g} = \frac{200\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}} = 0.02\ \mathrm{m}$
容器乙中液体的深度：
$h_{\mathrm{液}} = h_{\mathrm{水}} + \Delta h = 0.08\ \mathrm{m} + 0.02\ \mathrm{m} = 0.1\ \mathrm{m}$
初始时容器甲、乙底部所受液体压强相等，即$p_{\mathrm{水}}=p_{\mathrm{液}}$，由$p=\rho gh$可得：
$\rho_{\mathrm{水}}gh_{\mathrm{水}} = \rho_{\mathrm{液}}gh_{\mathrm{液}}$
则容器乙中液体的密度：
$\rho_{\mathrm{液}} = \frac{\rho_{\mathrm{水}}h_{\mathrm{水}}}{h_{\mathrm{液}}} = \frac{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×0.08\ \mathrm{m}}{0.1\ \mathrm{m}} = 0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
【答案】
(1) $2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
(2) $800\ \mathrm{Pa}$
(3) $0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度公式的应用；液体压强的计算；压强与深度、密度的关系
【点评】
本题是液体压强与密度的综合应用题，考查了密度公式和液体压强公式的灵活运用，解题的关键是抓住“初始时容器甲、乙底部所受液体压强相等”这一核心条件，结合压强变化求出液面高度，进而推导液体密度。
【难度系数】
0.8
1. 第(1)问：已知水的质量和水的密度，根据密度公式的变形公式$V=\frac{m}{\rho}$，代入数据即可求出容器甲中水的体积。
2. 第(2)问：已知水的深度、密度和$g$的取值，利用液体压强公式$p=\rho gh$，代入数据可计算出水对容器底部的压强。
3. 第(3)问：首先根据水对容器底部增大的压强，利用$\Delta p=\rho g\Delta h$求出水面上升的高度，进而得到容器乙中液体的深度；再结合初始时甲、乙容器底部液体压强相等的条件，利用$p=\rho gh$的等量关系，代入数据计算出容器乙中液体的密度。
【解析】
(1) 由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$可得，容器甲中水的体积：
$V = \frac{m}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{2\ \mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3} = 2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
(2) 根据液体压强公式，容器甲中水对容器底部的压强：
$p_{\mathrm{水}} = \rho_{\mathrm{水}}gh_{\mathrm{水}} = 1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.08\ \mathrm{m} = 800\ \mathrm{Pa}$
(3) 由$\Delta p=\rho_{\mathrm{水}}g\Delta h$可得，水面上升的高度：
$\Delta h = \frac{\Delta p}{\rho_{\mathrm{水}}g} = \frac{200\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}} = 0.02\ \mathrm{m}$
容器乙中液体的深度：
$h_{\mathrm{液}} = h_{\mathrm{水}} + \Delta h = 0.08\ \mathrm{m} + 0.02\ \mathrm{m} = 0.1\ \mathrm{m}$
初始时容器甲、乙底部所受液体压强相等，即$p_{\mathrm{水}}=p_{\mathrm{液}}$，由$p=\rho gh$可得：
$\rho_{\mathrm{水}}gh_{\mathrm{水}} = \rho_{\mathrm{液}}gh_{\mathrm{液}}$
则容器乙中液体的密度：
$\rho_{\mathrm{液}} = \frac{\rho_{\mathrm{水}}h_{\mathrm{水}}}{h_{\mathrm{液}}} = \frac{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×0.08\ \mathrm{m}}{0.1\ \mathrm{m}} = 0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
【答案】
(1) $2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
(2) $800\ \mathrm{Pa}$
(3) $0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度公式的应用；液体压强的计算；压强与深度、密度的关系
【点评】
本题是液体压强与密度的综合应用题，考查了密度公式和液体压强公式的灵活运用，解题的关键是抓住“初始时容器甲、乙底部所受液体压强相等”这一核心条件，结合压强变化求出液面高度，进而推导液体密度。
【难度系数】
0.8
9. (双选)A、B两个实心正方体的质量之比$m_{A}:m_{B}=4:3$,密度之比$\rho_{A}:\rho_{B}=9:2$。若按甲、乙两种不同的方式,分别将它们叠放在水平地面上(如图所示),图甲中A对B的压力为$F_{A}$,B对地面的压强为$p_{甲}$,图乙中B对A的压力为$F_{B}$,A对地面的压强为$p_{乙}$,则下列结论正确的是()
A. $F_{A}:F_{B}=1:1$
B. $F_{A}:F_{B}=4:3$
C. $p_{甲}:p_{乙}=2:3$
D. $p_{甲}:p_{乙}=4:9$
A. $F_{A}:F_{B}=1:1$
B. $F_{A}:F_{B}=4:3$
C. $p_{甲}:p_{乙}=2:3$
D. $p_{甲}:p_{乙}=4:9$
答案
BD
解析
【分析】
本题可分步骤分析压力和压强的比值：
1. 分析压力：水平面上，叠放时上方物体对下方的压力等于自身重力。根据$G=mg$，由已知的质量比可直接得出重力比，进而得到$F_A$与$F_B$的比值。
2. 分析压强：首先利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，结合质量比和密度比求出A、B的体积比；再根据正方体体积与边长的关系求出边长比，进而得到底面积比。两种叠放方式中，对地面的压力均为A、B的总重力，最后结合压强公式$p=\frac{F}{S}$，求出$p_{甲}$与$p_{乙}$的比值，判断选项。
【解析】
步骤1：计算$F_A:F_B$的比值
水平面上，物体对接触面的压力等于自身重力：
图甲中A对B的压力$F_A = G_A = m_A g$
图乙中B对A的压力$F_B = G_B = m_B g$
因此$\frac{F_A}{F_B}=\frac{m_A g}{m_B g}=\frac{m_A}{m_B}=\frac{4}{3}$，故选项B正确，A错误。
步骤2：计算$p_{甲}:p_{乙}$的比值
① 求A、B的体积比：
由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$变形得$V=\frac{m}{\rho}$，则
$\frac{V_A}{V_B}=\frac{\frac{m_A}{\rho_A}}{\frac{m_B}{\rho_B}}=\frac{m_A}{m_B}×\frac{\rho_B}{\rho_A}=\frac{4}{3}×\frac{2}{9}=\frac{8}{27}$
② 求A、B的底面积比：
A、B为实心正方体，体积$V=a^3$（$a$为正方体边长），因此边长比$\frac{a_A}{a_B}=\sqrt[3]{\frac{V_A}{V_B}}=\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$
正方体底面积$S=a^2$，则底面积比$\frac{S_A}{S_B}=(\frac{a_A}{a_B})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
③ 求压强比：
两种叠放方式中，对地面的压力均为A、B的总重力，即$F_{甲总}=F_{乙总}=G_A+G_B$
根据压强公式$p=\frac{F}{S}$：
$p_{甲}=\frac{F_{甲总}}{S_B}$，$p_{乙}=\frac{F_{乙总}}{S_A}$
则$\frac{p_{甲}}{p_{乙}}=\frac{\frac{F_{甲总}}{S_B}}{\frac{F_{乙总}}{S_A}}=\frac{S_A}{S_B}=\frac{4}{9}$（$F_{甲总}=F_{乙总}$，可约去），故选项D正确，C错误。
综上，正确答案为BD。
【答案】
BD
【知识点】
压力与重力的关系、压强的计算、密度公式的应用
【点评】
本题考查压力、压强的综合计算，关键是明确叠放时压力的判断逻辑，灵活推导正方体的体积、边长、底面积的关系，这是解题的核心突破口。
【难度系数】
0.6
本题可分步骤分析压力和压强的比值：
1. 分析压力：水平面上，叠放时上方物体对下方的压力等于自身重力。根据$G=mg$，由已知的质量比可直接得出重力比，进而得到$F_A$与$F_B$的比值。
2. 分析压强：首先利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，结合质量比和密度比求出A、B的体积比；再根据正方体体积与边长的关系求出边长比，进而得到底面积比。两种叠放方式中，对地面的压力均为A、B的总重力，最后结合压强公式$p=\frac{F}{S}$，求出$p_{甲}$与$p_{乙}$的比值，判断选项。
【解析】
步骤1：计算$F_A:F_B$的比值
水平面上，物体对接触面的压力等于自身重力：
图甲中A对B的压力$F_A = G_A = m_A g$
图乙中B对A的压力$F_B = G_B = m_B g$
因此$\frac{F_A}{F_B}=\frac{m_A g}{m_B g}=\frac{m_A}{m_B}=\frac{4}{3}$，故选项B正确，A错误。
步骤2：计算$p_{甲}:p_{乙}$的比值
① 求A、B的体积比：
由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$变形得$V=\frac{m}{\rho}$，则
$\frac{V_A}{V_B}=\frac{\frac{m_A}{\rho_A}}{\frac{m_B}{\rho_B}}=\frac{m_A}{m_B}×\frac{\rho_B}{\rho_A}=\frac{4}{3}×\frac{2}{9}=\frac{8}{27}$
② 求A、B的底面积比：
A、B为实心正方体，体积$V=a^3$（$a$为正方体边长），因此边长比$\frac{a_A}{a_B}=\sqrt[3]{\frac{V_A}{V_B}}=\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$
正方体底面积$S=a^2$，则底面积比$\frac{S_A}{S_B}=(\frac{a_A}{a_B})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
③ 求压强比：
两种叠放方式中，对地面的压力均为A、B的总重力，即$F_{甲总}=F_{乙总}=G_A+G_B$
根据压强公式$p=\frac{F}{S}$：
$p_{甲}=\frac{F_{甲总}}{S_B}$，$p_{乙}=\frac{F_{乙总}}{S_A}$
则$\frac{p_{甲}}{p_{乙}}=\frac{\frac{F_{甲总}}{S_B}}{\frac{F_{乙总}}{S_A}}=\frac{S_A}{S_B}=\frac{4}{9}$（$F_{甲总}=F_{乙总}$，可约去），故选项D正确，C错误。
综上，正确答案为BD。
【答案】
BD
【知识点】
压力与重力的关系、压强的计算、密度公式的应用
【点评】
本题考查压力、压强的综合计算，关键是明确叠放时压力的判断逻辑，灵活推导正方体的体积、边长、底面积的关系，这是解题的核心突破口。
【难度系数】
0.6
10. (双选)底面积之比为$2:1$的圆柱形容器A、B被放在水平桌面上,分别向容器中注入a、b两种液体,直到两容器内液面达到相同的高度$H$。液体a、b对容器底部的压强$p$随液面高度$h$变化的关系分别如图线Ⅰ、Ⅱ所示。现分别从A、B两容器中取出适量液体,使两容器中的液面下降相同高度$\Delta h$。将取出的液体全部放入对方容器内后,液体对两容器底部的压强恰好相等。下列判断正确的是()
A. $\Delta h$与$H$之比为$2:9$
B. 液体a、b的密度之比为$2:1$
C. 液体a、b被取出的质量之比为$2:1$
D. 最终A、B两容器内液体的总质量之比为$1:1$
A. $\Delta h$与$H$之比为$2:9$
B. 液体a、b的密度之比为$2:1$
C. 液体a、b被取出的质量之比为$2:1$
D. 最终A、B两容器内液体的总质量之比为$1:1$
答案
AB
解析
【分析】
本题可分步骤分析：
1. 首先根据液体压强公式$p=\rho gh$，结合图像中液面高度为$H$时的压强，求出两种液体的密度之比；
2. 由于容器是圆柱形容器，液体对容器底的压力等于液体重力，即$p=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}$，据此分析取出液体的重力变化；
3. 取出相同高度$\Delta h$的液体交换后，根据液体对容器底部压强相等列等式，求解$\Delta h$与$H$的比值；
4. 再分别分析取出液体的质量比、最终总质量比，判断各选项的正误。
【解析】
设容器$B$的底面积为$S$，则容器$A$的底面积为$2S$。
1. 求液体密度之比
由液体压强公式$p=\rho gh$，当液面高度为$H$时：
对液体$a$：$2p_0=\rho_a gH$；对液体$b$：$p_0=\rho_b gH$。
两式相比得：$\frac{\rho_a}{\rho_b}=\frac{2p_0}{p_0}=\frac{2}{1}$，故选项$B$正确。
2. 初始液体重力
初始时，液体对容器底的压力等于液体重力：
$G_A=p_a S_A=2p_0×2S=4p_0S$，$G_B=p_b S_B=p_0× S=p_0S$。
3. 取出液体的重力
取出液面高度$\Delta h$的液体，取出的液体重力：
$\Delta G_A=\rho_a g\Delta h S_A=2\rho_b g\Delta h×2S$，结合$\rho_b g=\frac{p_0}{H}$，得$\Delta G_A=\frac{4p_0S\Delta h}{H}$；
$\Delta G_B=\rho_b g\Delta h S_B=\rho_b g\Delta h S=\frac{p_0S\Delta h}{H}$。
4. 交换后压强相等的等式推导
交换后，容器$A$、$B$内液体的重力分别为：
$G_A'=G_A-\Delta G_A+\Delta G_B=4p_0S-\frac{4p_0S\Delta h}{H}+\frac{p_0S\Delta h}{H}=4p_0S-\frac{3p_0S\Delta h}{H}$
$G_B'=G_B-\Delta G_B+\Delta G_A=p_0S-\frac{p_0S\Delta h}{H}+\frac{4p_0S\Delta h}{H}=p_0S+\frac{3p_0S\Delta h}{H}$
交换后液体对容器底部压强相等，即$p_A'=p_B'$，由$p=\frac{G}{S}$得：
$\frac{G_A'}{2S}=\frac{G_B'}{S}$
代入$G_A'$、$G_B'$的表达式，约去$p_0S$后整理：
$\frac{4-\frac{3\Delta h}{H}}{2}=1+\frac{3\Delta h}{H}$
解得：$\frac{\Delta h}{H}=\frac{2}{9}$，故选项$A$正确。
5. 分析其他选项
取出液体的质量比$\frac{\Delta m_A}{\Delta m_B}=\frac{\Delta G_A}{\Delta G_B}=\frac{\frac{4p_0S\Delta h}{H}}{\frac{p_0S\Delta h}{H}}=\frac{4}{1}$，选项$C$错误；
最终总质量比$\frac{m_A'}{m_B'}=\frac{G_A'}{G_B'}=\frac{4p_0S-\frac{3p_0S×2}{9}}{p_0S+\frac{3p_0S×2}{9}}=\frac{\frac{10}{3}p_0S}{\frac{5}{3}p_0S}=\frac{2}{1}$，选项$D$错误。
综上，正确答案为$AB$。
【答案】
AB
【知识点】
液体压强公式；压强与压力的关系；密度计算
【点评】
本题是液体压强与密度的综合应用题，结合图像信息，需灵活运用液体压强公式、压力与重力的关系，通过列方程求解未知量，对逻辑分析和数学计算能力要求较高。
【难度系数】
0.3
本题可分步骤分析：
1. 首先根据液体压强公式$p=\rho gh$，结合图像中液面高度为$H$时的压强，求出两种液体的密度之比；
2. 由于容器是圆柱形容器，液体对容器底的压力等于液体重力，即$p=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}$，据此分析取出液体的重力变化；
3. 取出相同高度$\Delta h$的液体交换后，根据液体对容器底部压强相等列等式，求解$\Delta h$与$H$的比值；
4. 再分别分析取出液体的质量比、最终总质量比，判断各选项的正误。
【解析】
设容器$B$的底面积为$S$，则容器$A$的底面积为$2S$。
1. 求液体密度之比
由液体压强公式$p=\rho gh$，当液面高度为$H$时：
对液体$a$：$2p_0=\rho_a gH$；对液体$b$：$p_0=\rho_b gH$。
两式相比得：$\frac{\rho_a}{\rho_b}=\frac{2p_0}{p_0}=\frac{2}{1}$，故选项$B$正确。
2. 初始液体重力
初始时，液体对容器底的压力等于液体重力：
$G_A=p_a S_A=2p_0×2S=4p_0S$，$G_B=p_b S_B=p_0× S=p_0S$。
3. 取出液体的重力
取出液面高度$\Delta h$的液体，取出的液体重力：
$\Delta G_A=\rho_a g\Delta h S_A=2\rho_b g\Delta h×2S$，结合$\rho_b g=\frac{p_0}{H}$，得$\Delta G_A=\frac{4p_0S\Delta h}{H}$；
$\Delta G_B=\rho_b g\Delta h S_B=\rho_b g\Delta h S=\frac{p_0S\Delta h}{H}$。
4. 交换后压强相等的等式推导
交换后，容器$A$、$B$内液体的重力分别为：
$G_A'=G_A-\Delta G_A+\Delta G_B=4p_0S-\frac{4p_0S\Delta h}{H}+\frac{p_0S\Delta h}{H}=4p_0S-\frac{3p_0S\Delta h}{H}$
$G_B'=G_B-\Delta G_B+\Delta G_A=p_0S-\frac{p_0S\Delta h}{H}+\frac{4p_0S\Delta h}{H}=p_0S+\frac{3p_0S\Delta h}{H}$
交换后液体对容器底部压强相等，即$p_A'=p_B'$，由$p=\frac{G}{S}$得：
$\frac{G_A'}{2S}=\frac{G_B'}{S}$
代入$G_A'$、$G_B'$的表达式，约去$p_0S$后整理：
$\frac{4-\frac{3\Delta h}{H}}{2}=1+\frac{3\Delta h}{H}$
解得：$\frac{\Delta h}{H}=\frac{2}{9}$，故选项$A$正确。
5. 分析其他选项
取出液体的质量比$\frac{\Delta m_A}{\Delta m_B}=\frac{\Delta G_A}{\Delta G_B}=\frac{\frac{4p_0S\Delta h}{H}}{\frac{p_0S\Delta h}{H}}=\frac{4}{1}$，选项$C$错误；
最终总质量比$\frac{m_A'}{m_B'}=\frac{G_A'}{G_B'}=\frac{4p_0S-\frac{3p_0S×2}{9}}{p_0S+\frac{3p_0S×2}{9}}=\frac{\frac{10}{3}p_0S}{\frac{5}{3}p_0S}=\frac{2}{1}$，选项$D$错误。
综上，正确答案为$AB$。
【答案】
AB
【知识点】
液体压强公式；压强与压力的关系；密度计算
【点评】
本题是液体压强与密度的综合应用题，结合图像信息，需灵活运用液体压强公式、压力与重力的关系，通过列方程求解未知量，对逻辑分析和数学计算能力要求较高。
【难度系数】
0.3
11. 甲、乙两圆柱形容器放置在水平地面上,容器内分别盛有体积相同的不同液体,将一小球放入甲容器内,待其静止后如图所示,此时甲、乙两容器底部受到的液体压强大小相等。如果将小球从甲容器中取出并放入乙容器中待小球沉底后(无液体溢出),两容器底部受到液体压强的变化量分别为$\Delta p_{甲}$和$\Delta p_{乙}$,则关于$\Delta p_{甲}$和$\Delta p_{乙}$的大小关系,下列判断正确的是()
A. $\Delta p_{甲}$一定大于$\Delta p_{乙}$
B. $\Delta p_{甲}$可能小于$\Delta p_{乙}$
C. $\Delta p_{甲}$一定等于$\Delta p_{乙}$
D. $\Delta p_{甲}$一定小于$\Delta p_{乙}$
A. $\Delta p_{甲}$一定大于$\Delta p_{乙}$
B. $\Delta p_{甲}$可能小于$\Delta p_{乙}$
C. $\Delta p_{甲}$一定等于$\Delta p_{乙}$
D. $\Delta p_{甲}$一定小于$\Delta p_{乙}$
答案
D
解析
【分析】
首先，根据初始状态甲、乙容器底部压强相等，结合液面高度判断液体密度关系：由图知$h_甲＜h_乙$，$p_甲=p_乙$，根据$p=\rho gh$可得$\rho_甲＞\rho_乙$。
接下来分析压强变化量：
1. 对甲容器，取出小球后，液面下降的高度$\Delta h_甲=\frac{V_球}{S_甲}$，压强变化量$\Delta p_甲=\rho_甲g\Delta h_甲$；
2. 对乙容器，放入小球后，液面上升的高度$\Delta h_乙=\frac{V_球}{S_乙}$，压强变化量$\Delta p_乙=\rho_乙g\Delta h_乙$。
再结合初始压强相等的条件推导$\rho_甲$、$\rho_乙$、$S_甲$、$S_乙$的关系，代入压强变化量表达式，即可对比$\Delta p_甲$和$\Delta p_乙$的大小。
【解析】
1. 初始状态推导：
已知甲、乙容器内液体体积均为$V$，甲中放入小球后液面高度$h_甲=\frac{V+V_球}{S_甲}$，乙中液面高度$h_乙=\frac{V}{S_乙}$，且此时$p_甲=p_乙$，根据液体压强公式$p=\rho gh$，可得：
$\rho_甲g·\frac{V+V_球}{S_甲}=\rho_乙g·\frac{V}{S_乙}$
整理得：$\frac{\rho_甲}{S_甲}=\frac{\rho_乙V}{S_乙(V+V_球)}$ ①
2. 计算压强变化量：
取出甲中小球后，甲容器压强变化量：
$\Delta p_甲=\rho_甲g\Delta h_甲=\frac{\rho_甲gV_球}{S_甲}$
将①代入得：
$\Delta p_甲=\frac{\rho_乙gV_球V}{S_乙(V+V_球)}$
小球放入乙容器后，乙容器压强变化量：
$\Delta p_乙=\rho_乙g\Delta h_乙=\frac{\rho_乙gV_球}{S_乙}=\frac{\rho_乙gV_球(V+V_球)}{S_乙(V+V_球)}$
3. 大小比较：
因为$V+V_球＞V$，所以$\frac{\rho_乙gV_球V}{S_乙(V+V_球)} ＜ \frac{\rho_乙gV_球(V+V_球)}{S_乙(V+V_球)}$，即$\Delta p_甲 ＜ \Delta p_乙$。
【答案】
D
【知识点】
液体压强公式；压强变化量分析
【点评】
本题考查液体压强的综合应用，解题关键是结合圆柱形容器的特点，将液面高度变化与压强变化关联，再利用初始压强相等的条件推导物理量间的关系，对逻辑推导能力要求较高。
【难度系数】
0.4
首先，根据初始状态甲、乙容器底部压强相等，结合液面高度判断液体密度关系：由图知$h_甲＜h_乙$，$p_甲=p_乙$，根据$p=\rho gh$可得$\rho_甲＞\rho_乙$。
接下来分析压强变化量：
1. 对甲容器，取出小球后，液面下降的高度$\Delta h_甲=\frac{V_球}{S_甲}$，压强变化量$\Delta p_甲=\rho_甲g\Delta h_甲$；
2. 对乙容器，放入小球后，液面上升的高度$\Delta h_乙=\frac{V_球}{S_乙}$，压强变化量$\Delta p_乙=\rho_乙g\Delta h_乙$。
再结合初始压强相等的条件推导$\rho_甲$、$\rho_乙$、$S_甲$、$S_乙$的关系，代入压强变化量表达式，即可对比$\Delta p_甲$和$\Delta p_乙$的大小。
【解析】
1. 初始状态推导：
已知甲、乙容器内液体体积均为$V$，甲中放入小球后液面高度$h_甲=\frac{V+V_球}{S_甲}$，乙中液面高度$h_乙=\frac{V}{S_乙}$，且此时$p_甲=p_乙$，根据液体压强公式$p=\rho gh$，可得：
$\rho_甲g·\frac{V+V_球}{S_甲}=\rho_乙g·\frac{V}{S_乙}$
整理得：$\frac{\rho_甲}{S_甲}=\frac{\rho_乙V}{S_乙(V+V_球)}$ ①
2. 计算压强变化量：
取出甲中小球后，甲容器压强变化量：
$\Delta p_甲=\rho_甲g\Delta h_甲=\frac{\rho_甲gV_球}{S_甲}$
将①代入得：
$\Delta p_甲=\frac{\rho_乙gV_球V}{S_乙(V+V_球)}$
小球放入乙容器后，乙容器压强变化量：
$\Delta p_乙=\rho_乙g\Delta h_乙=\frac{\rho_乙gV_球}{S_乙}=\frac{\rho_乙gV_球(V+V_球)}{S_乙(V+V_球)}$
3. 大小比较：
因为$V+V_球＞V$，所以$\frac{\rho_乙gV_球V}{S_乙(V+V_球)} ＜ \frac{\rho_乙gV_球(V+V_球)}{S_乙(V+V_球)}$，即$\Delta p_甲 ＜ \Delta p_乙$。
【答案】
D
【知识点】
液体压强公式；压强变化量分析
【点评】
本题考查液体压强的综合应用，解题关键是结合圆柱形容器的特点，将液面高度变化与压强变化关联，再利用初始压强相等的条件推导物理量间的关系，对逻辑推导能力要求较高。
【难度系数】
0.4
