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1. 有一个角是的平行四边形叫做矩形。
2. 矩形是中心对称图形，对称中心是；矩形也是轴对称图形，有条对称轴。
3. 矩形的四个角都是。
4. 矩形的对角线。
2. 矩形是中心对称图形，对称中心是；矩形也是轴对称图形，有条对称轴。
3. 矩形的四个角都是。
4. 矩形的对角线。
答案
1. 直角
2. 对角线交点，两
3. 直角
4. 相等
2. 对角线交点，两
3. 直角
4. 相等
解析
1. 根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2. 矩形绕其对角线交点旋转180°后与自身重合，所以对称中心是对角线交点；矩形沿两组对边中点直线折叠，直线两旁的部分能够重合，所以有两条对称轴（两条对称轴是两条对边中点的连线）。
3. 由于矩形是平行四边形且有一个角是直角，根据平行四边形邻角互补，所以其他角也都是直角，即四个角都是直角。
4. 矩形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，又因为矩形四个角是直角，利用勾股定理可证对角线长度相等，所以矩形的对角线相等。
2. 矩形绕其对角线交点旋转180°后与自身重合，所以对称中心是对角线交点；矩形沿两组对边中点直线折叠，直线两旁的部分能够重合，所以有两条对称轴（两条对称轴是两条对边中点的连线）。
3. 由于矩形是平行四边形且有一个角是直角，根据平行四边形邻角互补，所以其他角也都是直角，即四个角都是直角。
4. 矩形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，又因为矩形四个角是直角，利用勾股定理可证对角线长度相等，所以矩形的对角线相等。
【典例1】如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，且∠ADE：∠EDC = 3：2，则∠BDE的度数为()
A.36°
B.27°
C.18°
D.9°
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC = 90°，OA = OB = OC = OD。
∵∠ADE：∠EDC = 3：2，
∴∠ADE = 90°×$\frac{3}{5}$ = 54°。
∵DE⊥AC于点E，
∴∠DAE = 90° - 54° = 36°。
∵OA = OD，
∴∠BDA = ∠OAD = 36°，
∴∠BDE = ∠ADE - ∠ADO = 54° - 36° = 18°。
A.36°
B.27°
C.18°
D.9°
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC = 90°，OA = OB = OC = OD。
∵∠ADE：∠EDC = 3：2，
∴∠ADE = 90°×$\frac{3}{5}$ = 54°。
∵DE⊥AC于点E，
∴∠DAE = 90° - 54° = 36°。
∵OA = OD，
∴∠BDA = ∠OAD = 36°，
∴∠BDE = ∠ADE - ∠ADO = 54° - 36° = 18°。
答案
C
解析
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OA=OD。∵∠ADE:∠EDC=3:2，∴∠ADE=90°×$\frac{3}{5}$=54°。∵DE⊥AC，∴∠DAE=90°-∠ADE=36°。∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAE=36°。∴∠BDE=∠ADE-∠ODA=54°-36°=18°。
【对点训练】
1. 如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点E，交AC于点F，连结EF，以点F为圆心，EF长为半径画弧，与弧BE交于点G，作射线AG交BC于点H。若AD = 8，BH = 3，则AH的长为()
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
1. 如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点E，交AC于点F，连结EF，以点F为圆心，EF长为半径画弧，与弧BE交于点G，作射线AG交BC于点H。若AD = 8，BH = 3，则AH的长为()
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
答案
C
解析
设 $ AB = x $，矩形 $ ABCD $ 中，$ AD = BC = 8 $，$ BH = 3 $，则 $ CH = BC - BH = 5 $。
以 $ A $ 为圆心，$ AB $ 为半径画弧，得 $ AE = AF = AB = x $，$ E $ 在 $ AD $ 上，$ F $ 在 $ AC $ 上。
由题意，$ FG = EF $ 且 $ G $ 在弧 $ BE $ 上，故 $ AG = AB = x $。
易证 $ AC $ 平分 $ ∠ DAH $（$ ∠ DAC = ∠ HAC $），设 $ ∠ DAC = α $，则 $ ∠ DAH = 2α $，$ ∠ BAH = 90° - 2α $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ADC $ 中，$ \tanα = \frac{CD}{AD} = \frac{x}{8} $；在 $ \mathrm{Rt}△ ABH $ 中，$ \tan(90° - 2α) = \frac{BH}{AB} = \frac{3}{x} $，即 $ \cot2α = \frac{3}{x} $，故 $ \tan2α = \frac{x}{3} $。
由二倍角公式 $ \tan2α = \frac{2\tanα}{1 - \tan^2α} $，代入 $ \tanα = \frac{x}{8} $，得：
$ \frac{x}{3} = \frac{2 · \frac{x}{8}}{1 - (\frac{x}{8})^2} $
化简得 $ 64 - x^2 = 48 $，解得 $ x = 4 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABH $ 中，$ AH = \sqrt{AB^2 + BH^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 $。
以 $ A $ 为圆心，$ AB $ 为半径画弧，得 $ AE = AF = AB = x $，$ E $ 在 $ AD $ 上，$ F $ 在 $ AC $ 上。
由题意，$ FG = EF $ 且 $ G $ 在弧 $ BE $ 上，故 $ AG = AB = x $。
易证 $ AC $ 平分 $ ∠ DAH $（$ ∠ DAC = ∠ HAC $），设 $ ∠ DAC = α $，则 $ ∠ DAH = 2α $，$ ∠ BAH = 90° - 2α $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ADC $ 中，$ \tanα = \frac{CD}{AD} = \frac{x}{8} $；在 $ \mathrm{Rt}△ ABH $ 中，$ \tan(90° - 2α) = \frac{BH}{AB} = \frac{3}{x} $，即 $ \cot2α = \frac{3}{x} $，故 $ \tan2α = \frac{x}{3} $。
由二倍角公式 $ \tan2α = \frac{2\tanα}{1 - \tan^2α} $，代入 $ \tanα = \frac{x}{8} $，得：
$ \frac{x}{3} = \frac{2 · \frac{x}{8}}{1 - (\frac{x}{8})^2} $
化简得 $ 64 - x^2 = 48 $，解得 $ x = 4 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABH $ 中，$ AH = \sqrt{AB^2 + BH^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 $。
【典例2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，F是AE的中点，连结OF。若AB = OB = 1，则FO的长度为()
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\sqrt{3}$ - 1
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA = OB，∠ABC = ∠BAD = 90°。
∵AB = OB = 1，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA = OC = 1，∴AC = 2OA = 2，
∴在Rt△ABC中，BC = $\sqrt{AC^{2} - AB^{2}}$ = $\sqrt{2^{2} - 1^{2}}$ = $\sqrt{3}$。
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE = ∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAD = 45°，
∴∠BEA = 90° - ∠BAE = 45°，
∴∠BEA = ∠BAE，∴BE = AB = 1，
∴EC = BC - BE = $\sqrt{3}$ - 1。
∵F是AE的中点，O是AC的中点，
∴FO = $\frac{1}{2}$EC = $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$。
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\sqrt{3}$ - 1
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA = OB，∠ABC = ∠BAD = 90°。
∵AB = OB = 1，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA = OC = 1，∴AC = 2OA = 2，
∴在Rt△ABC中，BC = $\sqrt{AC^{2} - AB^{2}}$ = $\sqrt{2^{2} - 1^{2}}$ = $\sqrt{3}$。
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE = ∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAD = 45°，
∴∠BEA = 90° - ∠BAE = 45°，
∴∠BEA = ∠BAE，∴BE = AB = 1，
∴EC = BC - BE = $\sqrt{3}$ - 1。
∵F是AE的中点，O是AC的中点，
∴FO = $\frac{1}{2}$EC = $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$。
答案
D
解析
∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∠BAD=∠ABC=90°。∵AB=OB=1，∴OA=AB=OB=1，△AOB是等边三角形，AC=2OA=2。在Rt△ABC中，BC=√(AC²-AB²)=√(2²-1²)=√3。∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，则△ABE是等腰直角三角形，BE=AB=1，EC=BC-BE=√3-1。∵F是AE中点，O是AC中点，∴FO是△AEC的中位线，FO=1/2EC=(√3-1)/2。
