二、填空题(每小题5分,共20分)
9. 在 $□ ABCD$ 中,$∠ A - ∠ B = 30^{\circ}$,则 $∠ C =$.

在平行四边形$ABCD$中，$AD// BC$，所以$∠ A + ∠ B = 180^{\circ}$。
已知$∠ A - ∠ B = 30^{\circ}$，联立方程：
$\begin{cases}∠ A + ∠ B = 180^{\circ} \\ ∠ A - ∠ B = 30^{\circ}\end{cases}$
两式相加得：$2∠ A = 210^{\circ}$，解得$∠ A = 105^{\circ}$。
因为平行四边形对角相等，所以$∠ C = ∠ A = 105^{\circ}$。
$105^{\circ}$

10. 如图,$□ ABCD$ 的两条对角线交于点 $O$,且 $AB = 5$,$△ OCD$ 的周长为 $23$,则 $□ ABCD$ 的两条对角线的长度之和是.

36

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC，OB=OD。∵△OCD的周长为23，∴OC+OD+CD=23，即OC+OD=23-CD=23-5=18。∴AC+BD=2OC+2OD=2(OC+OD)=2×18=36。

11. 如图,$AE // BD$,$BE // DF$,$AB // CD$,下面给出四个结论:
① 四边形 $ABDC$ 是平行四边形;
② $BE = DF$;
③ $S_{四边形ABDC} = S_{四边形BDFE}$;
④ $BD = CE$.
其中正确的有.(填序号)

①②③

①∵AB//CD，AE//BD，且点C在AE上，∴AC//BD，∴四边形ABDC两组对边分别平行，是平行四边形，①正确；
②∵BE//DF，AE//BD，点E、F在AE上，∴EF//BD，∴四边形BDFE两组对边分别平行，是平行四边形，∴BE=DF，②正确；
③四边形ABDC与BDFE均以BD为底，且高均为平行线AE与BD间的距离，∴面积相等，③正确；
④BD=AC（平行四边形ABDC对边相等），但CE与AC无必然相等关系，∴BD=CE不成立，④错误。

12. 如图,在 $□ ABCD$ 中,$BE$、$CE$ 分别平分 $∠ ABC$、$∠ BCD$,$E$ 在 $AD$ 上,$BE = 12\ cm$,$CE = 5\ cm$.则 $□ ABCD$ 的周长为,面积为.

39cm；60cm²

在□ABCD中，AD//BC，AB=CD，AD=BC。BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB。∵AD//BC，∴∠AEB=∠EBC，∠DEC=∠ECB，∴∠ABE=∠AEB，∠DCE=∠DEC，∴AB=AE，CD=DE。∵AB=CD，∴AE=DE，AD=AE+DE=AB+CD=2AB。
∠ABC+∠BCD=180°（平行四边形邻角互补），BE、CE为角平分线，∴∠EBC+∠ECB=1/2(∠ABC+∠BCD)=90°，∴△BEC为直角三角形。BE=12cm，CE=5cm，由勾股定理得BC=√(12²+5²)=13cm。
AD=BC=13cm，又AD=2AB，∴AB=13/2 cm。周长=2(AB+BC)=2(13/2 +13)=39cm。
△BEC面积=1/2×BE×CE=30cm²，设BC边上高为h，1/2×BC×h=30，h=60/13 cm。□ABCD面积=BC×h=13×60/13=60cm²。

三、解答题(本大题共3小题,共48分)
13. (14分)如图,点 $O$ 为 $□ ABCD$ 对角线 $AC$ 的中点,过点 $O$ 的直线与 $AD$、$BC$ 分别相交于点 $E$、$F$.求证:$DE = BF$.

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO。
∵O是AC的中点，
∴AO=CO。
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO，
AO=CO，
∠AOE=∠COF（对顶角相等），
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF。
∵AD=BC，
∴AD-AE=BC-CF，
即DE=BF。

14. (16分)如图,在 $□ ABCD$ 中,$∠ ABC = 60^{\circ}$,$E$、$F$ 分别在 $AD$、$BA$ 的延长线上,$CE // BD$,$EF ⊥ AB$,$BC = 1$,求 $EF$ 的长.

√3

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=1，AD//BC，AB//CD。
∵E在AD延长线上，∴DE//BC。
又∵CE//BD，∴四边形BDCE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∴DE=BC=1（平行四边形对边相等）。
∵AD=1，∴AE=AD+DE=1+1=2。
∵∠ABC=60°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=180°-∠ABC=120°（平行四边形邻角互补）。
∵F在BA延长线上，∴∠EAF=180°-∠BAD=60°。
∵EF⊥AB，∴∠EFA=90°。
在Rt△EFA中，EF=AE·sin∠EAF=2·sin60°=2×(√3/2)=√3。

15. (18分)如图,在四边形 $ABCD$ 中,$∠ ACB = ∠ CAD = 90^{\circ}$,点 $E$ 在 $BC$ 上,$AE // DC$,$EF ⊥ AB$,垂足为点 $F$.
(1) 求证:四边形 $AECD$ 是平行四边形;
(2) 若 $AE$ 平分 $∠ BAC$,$BE = 5$,$EF = 3$,求 $BF$ 和 $AD$ 的长.

(1) 证明：
∵∠ACB=90°，∠CAD=90°，
∴∠ACE=∠CAD=90°，
∴AD//EC（垂直于同一直线的两直线平行）。
又∵AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 在Rt△EFB中，EF⊥AB，BE=5，EF=3，
由勾股定理得：BF²=BE²-EF²=5²-3²=16，
∴BF=4。
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACB=90°（即EC⊥AC），
∴EC=EF=3（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC=3（平行四边形对边相等）。
综上，BF=4，AD=3。