【典例2】如图，在Rt△CEF中，∠C = 90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A作AB⊥CE的延长线于B，过点A作AD⊥CF的延长线于D. 求证：四边形ABCD是正方形.

证明：作AG⊥EF于G，如图所示，

∴∠AGE = ∠AGF = 90°.
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B = ∠D = ∠C = 90°，
∴四边形ABCD是矩形.
∵AE平分∠BEF，AF平分∠DFE，∠B = ∠AGE = 90°，∠AGF = ∠D = 90°，
∴AB = AG，AD = AG，∴AB = AD，
∴四边形ABCD是正方形.

证明：作AG⊥EF于G，如图所示，
∴∠AGE=∠AGF=90°.
∵AB⊥CE，AD⊥CF，∠C=90°，
∴∠B=∠D=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
∵AE平分∠BEF，AF平分∠DFE，∠B=∠AGE=90°，∠AGF=∠D=90°，
∴AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形.

【对点训练】
2. 如图，在矩形ABCD中，AD = 2CD，E是AD的中点，BF//CE，CF//BE. 求证：四边形BECF是正方形.

证明：
1. ∵BF//CE，CF//BE，∴四边形BECF是平行四边形（平行四边形定义）。
2. 设CD=a，∵AD=2CD，∴AD=2a，E为AD中点，∴AE=ED=a。
3. 在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=CD=a，AD=BC=2a。
4. 在Rt△ABE中，AB=AE=a，∴BE=√(AB²+AE²)=√(a²+a²)=√2a。
5. 同理，在Rt△CDE中，CD=DE=a，∴CE=√(CD²+DE²)=√2a，∴BE=CE。
6. ∵四边形BECF是平行四边形且BE=CE，∴四边形BECF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
7. 在Rt△ABE中，AB=AE，∴∠AEB=45°，同理∠DEC=45°。
8. ∵∠AEB+∠BEC+∠DEC=180°，∴∠BEC=180°-45°-45°=90°。
9. ∵四边形BECF是菱形且∠BEC=90°，∴四边形BECF是正方形（有一个角为直角的菱形是正方形）。

1. 正方形具有而菱形不具有的性质是()

A.对角线平分一组对角
B.对角线相等
C.对角线互相垂直平分
D.四条边相等

B

正方形的性质包括四条边相等，对角线互相垂直平分且平分一组对角，同时对角线相等；而菱形的性质包括四条边相等，对角线互相垂直平分且平分一组对角，但菱形的对角线不一定相等。所以正方形具有而菱形不具有的性质是对角线相等。

2. 下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形ABCD是正方形的是()

A.
B.
C.
D.

B

正方形是特殊的菱形，需满足菱形的性质且有一个角为直角或对角线相等。选项A仅知边长为5，菱形边长相等，不能判定为正方形；选项B中∠OAD=45°，菱形对角线平分内角，故∠BAD=90°，有一个直角的菱形是正方形；选项C标注的5可能为对角线一部分，但未明确对角线是否相等；选项D对角线夹角为90°，此时菱形为正方形，但题目未明确标注该角是对角线夹角。综上，B选项可判定为正方形。

3. 数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答符号可以代表的内容.
如图，四边形ABCD是平行四边形，

①当※时，平行四边形ABCD是矩形；
②当◎时，平行四边形ABCD是矩形；
③当▲时，平行四边形ABCD是菱形；
④当◆时，平行四边形ABCD是正方形.
则回答不正确的是()

A.※可以代表∠ABC = 90°
B.◎可以代表AC = BD
C.▲可以代表AB = BC
D.◆可以代表AC⊥BD

D

矩形判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形（A正确）；对角线相等的平行四边形是矩形（B正确）。菱形判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（C正确）。正方形判定：既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，AC⊥BD是菱形的判定条件，不能单独判定为正方形（D错误）。