4. 如图，在正方形ABCD中，在BA延长线上取一点E，使BE = BD，连结DE，则∠EDA的度数为()

A.10°
B.15°
C.30°
D.22.5°

D

在正方形ABCD中，∠BAD=90°，对角线BD平分∠ABC，故∠ABD=45°，且BD=√2AB。
∵BE=BD，∴△EBD为等腰三角形，∠BED=∠BDE。
在△EBD中，∠EBD=∠ABD=45°，则∠BDE=(180°-45°)/2=67.5°。
∵BD为正方形对角线，∴∠ADB=45°（对角线平分直角）。
∠EDA=∠BDE-∠ADB=67.5°-45°=22.5°。

5. 正方形面积为36，则对角线的长为()

A.6
B.6√2
C.9
D.9√2

B

设正方形边长为$a$，面积为$a^2 = 36$，则$a = 6$。根据勾股定理，对角线长为$\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。

6. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE = BF，请你添加一个条件，使四边形BECF是正方形.

AC=BC

∵EF是BC的垂直平分线，∴EB=EC，FB=FC。又∵BE=BF，∴EB=EC=FB=FC，∴四边形BECF是菱形。要使菱形BECF是正方形，需添加一个角为直角。若AC=BC，则△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°。∵EB=EC，∴∠ECB=∠ABC=45°，∴∠BEC=180°-45°-45°=90°。∴菱形BECF有一个角为直角，即为正方形。

7. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在DC、BC上，BF = CE = 4，连结AE、DF，AE与DF相交于点G，连结AF，取AF的中点H，连结GH，则GH的长为.

$\sqrt{13}$

在正方形ABCD中，$∠ ABF=∠ DCE=90°$，$AB=DC=6$，$BF=CE=4$，
根据三角形全等的判定定理（SAS），可得：
$△ ABF≌△ DCE$，
根据全等三角形的性质，得：
$∠ BAF=∠ CDE$，
$∠ DAE+∠ CDE=90°$，
$∠ BAF+∠ DAE=90°$，
$∠ AGD=90°$，
在直角三角形$AFB$中，根据勾股定理，得：
$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}$，
因为H是$AF$的中点，
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，所以：
$GH=\frac{1}{2}AF=\sqrt{13}$。

8. 如图，四边形ABCD中，AD//BC，AD = CD，E是对角线BD上一点，且EA = EC.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE = BC，且∠CBE：∠BCE = 2：3，求证：四边形ABCD是正方形.

（1）证明：在△ADE和△CDE中，
∵AD=CD，DE=DE，EA=EC，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE.
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CBD（两直线平行，内错角相等），
∴∠CDE=∠CBD，
∴BC=CD（等角对等边）.
∵AD=CD，
∴AD=BC，
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
∵AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）.
（2）证明：设∠CBE=2x，∠BCE=3x，
在△BCE中，∠BEC=180°-∠CBE-∠BCE=180°-5x.
∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC（等边对等角），
∴3x=180°-5x，解得x=22.5°，
∴∠CBE=2x=45°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC（菱形的对角线平分一组对角），
∴∠ABC=2∠CBE=90°.
∴菱形ABCD是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.

9. （推理能力）（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1. 求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2. 线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由.

(1)见证明；(2)MC'=ME，证明见解析。

(1)证明：
∵矩形ABCD沿DE折叠，点A落在CD上的A'处，
∴AD=A'D，∠DAE=∠DA'E=90°，AE=A'E。
∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，即AE//A'D。
又∵∠DAE=90°，∴四边形AEA'D是矩形。
∵AD=A'D，∴矩形AEA'D是正方形。
(2)MC'=ME。
证明：设正方形AEA'D的边长为a，EB=x，则AB=a+x，AD=a，C'D=a-x（由折叠性质及勾股定理可得AC'=x）。
以A为原点，AD为y轴，AB为x轴建立坐标系，得E(a,0)，C'(0,x)，设M(m,0)。
由折叠性质知EC=EC'，B'C'=BC=a，通过坐标计算可得B'C'的直线方程，求得M点坐标为$m=\frac{b(2a - b)}{2a}$（其中b=AB）。
计算ME：$ME = a - m = \frac{2a^2 - 2ab + b^2}{2a}$。
计算MC'：$MC' = \sqrt{m^2 + x^2} = \frac{2a^2 - 2ab + b^2}{2a}$。
∴MC'=ME。