1. 方程中含有，并且中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程。
2. 解分式方程的关键是，方程两边同时乘以，化为。因为去分母时可能出现增根，所以解分式方程必须进行。
3. 当把分式方程转化为整式方程以后，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后使原分式方程的的值为，此根就叫做原方程的增根。

1. 分式；分母
2. 去分母；最简公分母；整式方程；验根
3. 分母；0

1. 分式方程的定义：方程中含有分式，且分母中含有未知数。
2. 解分式方程的关键是去分母，方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，解后必须验根。
3. 增根是使原分式方程分母为0的根。

【典例 1】解分式方程：$\frac{4}{x - 3} - \frac{x + 9}{x^2 - 9} = \frac{1}{x + 3}$。
解析：方程两边同时乘以$(x^2 - 9)$，得
$4(x + 3) - (x + 9) = x - 3$，
$\therefore 4x + 12 - x - 9 - x = - 3$，
$\therefore 2x = - 6$，解得$x = - 3$。
检验：当$x = - 3$时，$x^2 - 9 = (- 3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0$，$\therefore x = - 3$为增根，故原方程无解。

解：方程两边同时乘以最简公分母$(x + 3)(x - 3)$，得：
$4(x + 3) - (x + 9) = x - 3$
去括号，得：
$4x + 12 - x - 9 = x - 3$
移项，得：
$4x - x - x = - 3 - 12 + 9$
合并同类项，得：
$2x = - 6$
系数化为$1$，得：
$x = - 3$
检验：当$x = - 3$时，$(x + 3)(x - 3) = 0$
$\therefore x = - 3$是增根，原方程无解。

【对点训练】
1. 解分式方程：$\frac{1 - x}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$。

去分母，方程两边同乘$x - 2$得：$1 - x + 2(x - 2) = -1$
去括号得：$1 - x + 2x - 4 = -1$
移项得：$-x + 2x = -1 - 1 + 4$
合并同类项得：$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$x - 2 = 0$，所以$x = 2$是增根，原分式方程无解。

【典例 2】当$m$为何值时，关于$x$的方程$\frac{2}{x - 2} + \frac{mx}{x^2 - 4} = \frac{3}{x + 2}$会产生增根？
解析：去分母，得$2(x + 2) + mx = 3(x - 2)$，
整理，得$(m - 1)x = - 10$。
当$m ≠ 1$时，$x = - \frac{10}{m - 1}$。
若方程产生增根，
则$x^2 - 4 = 0$，即$x = 2$或$x = - 2$。
当$x = 2$时，$2(m - 1) = - 10$，解得$m = - 4$；
当$x = - 2$时，$- 2(m - 1) = - 10$，解得$m = 6$。
综上，当$m = - 4$或$6$时，原方程会产生增根。

答题卡作答：
去分母，得：
$2(x + 2) + mx = 3(x - 2)$，
展开并整理，得：
$(m - 1)x = - 10$，
当 $m ≠ 1$ 时，方程的解为：
$x = - \frac{10}{m - 1}$，
由于增根是使得分母为0的x值，所以：
$x^2 - 4 = 0$，
解得：
$x = 2 \quad \mathrm{或} \quad x = -2$，
当 $x = 2$ 时，代入 $x = - \frac{10}{m - 1}$ 得：
$2 = - \frac{10}{m - 1}$，
解得：
$m = -4$，
当 $x = -2$ 时，代入 $x = - \frac{10}{m - 1}$ 得：
$-2 = - \frac{10}{m - 1}$，
解得：
$m = 6$，
综上，当 $m = -4$ 或 $m = 6$ 时，原方程会产生增根。

【对点训练】
2. 若关于$x$的分式方程$\frac{?}{x - 2} + 3 = \frac{1}{2 - x}$有增根，且方程无解。
(1)方程的增根是；
(2)求出分式方程中“?”所代表的数。

(1)
方程的增根是$x = 2$。
(2)
设“?”为$a$，原分式方程$\frac{a}{x - 2}+3=\frac{1}{2 - x}$可化为$\frac{a}{x - 2}+3=-\frac{1}{x - 2}$。
方程两边同时乘以$(x - 2)$得：$a + 3(x - 2)=-1$。
因为分式方程有增根$x = 2$，把$x = 2$代入$a + 3(x - 2)=-1$中，得$a+3×(2 - 2)=-1$，解得$a = - 1$。