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9. 如图，花丛中有一路灯杆 AB，在灯光下，小明在 D 处的影长 $ DE = 3 $ 米，沿 BD 方向行走到达 G 点，$ DG = 5 $ 米，这时小明的影长 $ GH = 5 $ 米，如果小明的身高为 1.6 米，求路灯杆 AB 的高度.
答案
9.5.6米
解析
【解析】
设 $ BD = x $ 米，路灯杆 $ AB = y $ 米，小明身高 $ CD = FG = 1.6 $ 米。
因为 $ CD // AB $，所以 $ △ CDE ∼ △ ABE $，则：
$\frac{CD}{AB} = \frac{DE}{BE} \implies \frac{1.6}{y} = \frac{3}{3 + x} \quad (1)$
因为 $ FG // AB $，所以 $ △ FGH ∼ △ ABH $，则：
$\frac{FG}{AB} = \frac{GH}{BH} \implies \frac{1.6}{y} = \frac{5}{x + 5 + 5} = \frac{5}{x + 10} \quad (2)$
联立(1)(2)得：
$\frac{3}{3 + x} = \frac{5}{x + 10}$
解方程：
$3(x + 10) = 5(x + 3) \\3x + 30 = 5x + 15 \\2x = 15 \x = 7.5$
将 $ x = 7.5 $ 代入(1)式：
$\frac{1.6}{y} = \frac{3}{3 + 7.5} \implies \frac{1.6}{y} = \frac{3}{10.5} \implies y = 5.6$
即路灯杆 $ AB $ 的高度为5.6米。
【答案】
5.6米
【知识点】
相似三角形的应用
【点评】
本题通过构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解，考查了相似三角形在实际测量问题中的应用，关键是准确找到相似三角形并列出比例关系式。
【难度系数】
0.6
设 $ BD = x $ 米，路灯杆 $ AB = y $ 米，小明身高 $ CD = FG = 1.6 $ 米。
因为 $ CD // AB $，所以 $ △ CDE ∼ △ ABE $，则：
$\frac{CD}{AB} = \frac{DE}{BE} \implies \frac{1.6}{y} = \frac{3}{3 + x} \quad (1)$
因为 $ FG // AB $，所以 $ △ FGH ∼ △ ABH $，则：
$\frac{FG}{AB} = \frac{GH}{BH} \implies \frac{1.6}{y} = \frac{5}{x + 5 + 5} = \frac{5}{x + 10} \quad (2)$
联立(1)(2)得：
$\frac{3}{3 + x} = \frac{5}{x + 10}$
解方程：
$3(x + 10) = 5(x + 3) \\3x + 30 = 5x + 15 \\2x = 15 \x = 7.5$
将 $ x = 7.5 $ 代入(1)式：
$\frac{1.6}{y} = \frac{3}{3 + 7.5} \implies \frac{1.6}{y} = \frac{3}{10.5} \implies y = 5.6$
即路灯杆 $ AB $ 的高度为5.6米。
【答案】
5.6米
【知识点】
相似三角形的应用
【点评】
本题通过构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解，考查了相似三角形在实际测量问题中的应用，关键是准确找到相似三角形并列出比例关系式。
【难度系数】
0.6
10. 如图，王琳同学在晚上由路灯 A 走向路灯 B. 当她行到 P 处时，发现她在路灯 B 下的影长为 2 m，且影子的末端恰好位于路灯 A 的正下方. 接着她又走了 6.5 m 到 Q 处，此时她在路灯 A 下的影子的末端恰好位于路灯 B 的正下方. 已知王琳身高 1.8 m，路灯 B 高 9 m.
(1) 标出王琳站在 P 处在路灯 B 下的影子；
(2) 计算王琳站在 Q 处在路灯 A 下的影长；
(3) 计算路灯 A 的高度.
(1) 标出王琳站在 P 处在路灯 B 下的影子；
(2) 计算王琳站在 Q 处在路灯 A 下的影长；
(3) 计算路灯 A 的高度.
答案
10.解:(1)线段CP是王琳站在P处在路灯B下的影子.
(2)
∵△DBC∽△PEC,
∴$\frac{PE}{BD}=\frac{CP}{CD}$,即$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{CD}$,
∴CD=10(m),
∴QD=CD−CQ=10−(2+6.5)=1.5(m).
∴王琳站在Q处时,在路灯A下的影长为1.5m.
(3)
∵△DQF∽△DCA,
∴$\frac{DQ}{DC}=\frac{FQ}{AC}$,
∴$\frac{1.5}{10}=\frac{1.8}{AC}$,
∴AC=12(m).
∴路灯A的高度为12m.
(2)
∵△DBC∽△PEC,
∴$\frac{PE}{BD}=\frac{CP}{CD}$,即$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{CD}$,
∴CD=10(m),
∴QD=CD−CQ=10−(2+6.5)=1.5(m).
∴王琳站在Q处时,在路灯A下的影长为1.5m.
(3)
∵△DQF∽△DCA,
∴$\frac{DQ}{DC}=\frac{FQ}{AC}$,
∴$\frac{1.5}{10}=\frac{1.8}{AC}$,
∴AC=12(m).
∴路灯A的高度为12m.
解析
【解析】
(1) 根据影子的定义，线段CP是王琳站在P处在路灯B下的影子。
(2) 由题意可知$PE // BD$，因此$△ PEC ∼ △ BDC$，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得$\frac{PE}{BD}=\frac{CP}{CD}$。代入$PE=1.8\mathrm{m}$，$BD=9\mathrm{m}$，$CP=2\mathrm{m}$，即$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{CD}$，解得$CD=10\mathrm{m}$。
因为$CQ=CP+PQ=2+6.5=8.5\mathrm{m}$，所以$QD=CD-CQ=10-8.5=1.5\mathrm{m}$，即王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5m。
(3) 由题意可知$FQ // AC$，因此$△ DQF ∼ △ DCA$，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得$\frac{DQ}{DC}=\frac{FQ}{AC}$。代入$DQ=1.5\mathrm{m}$，$DC=10\mathrm{m}$，$FQ=1.8\mathrm{m}$，即$\frac{1.5}{10}=\frac{1.8}{AC}$，解得$AC=12\mathrm{m}$，即路灯A的高度为12m。
【答案】
(1) 线段CP是王琳站在P处在路灯B下的影子；
(2) $\boldsymbol{1.5\mathrm{m}}$；
(3) $\boldsymbol{12\mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际生活中的应用，解题核心是识别出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质构建方程求解，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.6
(1) 根据影子的定义，线段CP是王琳站在P处在路灯B下的影子。
(2) 由题意可知$PE // BD$，因此$△ PEC ∼ △ BDC$，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得$\frac{PE}{BD}=\frac{CP}{CD}$。代入$PE=1.8\mathrm{m}$，$BD=9\mathrm{m}$，$CP=2\mathrm{m}$，即$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{CD}$，解得$CD=10\mathrm{m}$。
因为$CQ=CP+PQ=2+6.5=8.5\mathrm{m}$，所以$QD=CD-CQ=10-8.5=1.5\mathrm{m}$，即王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5m。
(3) 由题意可知$FQ // AC$，因此$△ DQF ∼ △ DCA$，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得$\frac{DQ}{DC}=\frac{FQ}{AC}$。代入$DQ=1.5\mathrm{m}$，$DC=10\mathrm{m}$，$FQ=1.8\mathrm{m}$，即$\frac{1.5}{10}=\frac{1.8}{AC}$，解得$AC=12\mathrm{m}$，即路灯A的高度为12m。
【答案】
(1) 线段CP是王琳站在P处在路灯B下的影子；
(2) $\boldsymbol{1.5\mathrm{m}}$；
(3) $\boldsymbol{12\mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际生活中的应用，解题核心是识别出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质构建方程求解，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.6
