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4. (2025·常州天宁校级一模)小明利用一个小圆柱形塑料桶、一把刻度尺和几枚硬币，借助水来测量某些物体的密度。($ g $ 取 $ 10 \mathrm{N/kg} $，$ \rho_{\mathrm{水}} = 1 × 10^3 \mathrm{kg/m}^3 $)
(1) 测酱油的密度。步骤：
① 将几枚硬币放入小圆柱形塑料桶内，目的是使塑料桶和硬币整体的重心
② 将桶口向上放入水中使其竖直漂浮，测出桶口露出水面的高度为 $ h_1 = 8.50 \mathrm{cm} $(如图乙)。
③ 将桶捞出擦干并放入酱油中使其竖直漂浮，测出桶口露出酱油面的高度为 $ h_2 = 10.00 \mathrm{cm} $(如图丙)；则酱油的密度为
(2) 测项链的密度。在(1)的基础上，又进行了如下操作：
④ 将项链放入桶中，将桶口向上放入水中使其竖直漂浮，测出桶口露出水面的高度为 $ h_3 = 4.00 \mathrm{cm} $(如图丁)。
⑤ 将项链取出粘在桶底(粘胶的体积和质量忽略不计)，将桶和项链一起放入水中使其竖直漂浮，测出桶口露出水面的高度为 $ h_4 = 4.25 \mathrm{cm} $(如图戊)，则项链的密度为
(1) 测酱油的密度。步骤：
① 将几枚硬币放入小圆柱形塑料桶内，目的是使塑料桶和硬币整体的重心
降低
。用刻度尺测出桶的高度为 $ L = $20.00
$ \mathrm{cm} $(如图甲)。② 将桶口向上放入水中使其竖直漂浮，测出桶口露出水面的高度为 $ h_1 = 8.50 \mathrm{cm} $(如图乙)。
③ 将桶捞出擦干并放入酱油中使其竖直漂浮，测出桶口露出酱油面的高度为 $ h_2 = 10.00 \mathrm{cm} $(如图丙)；则酱油的密度为
1.15×10³
$ \mathrm{kg/m}^3 $。(2) 测项链的密度。在(1)的基础上，又进行了如下操作：
④ 将项链放入桶中，将桶口向上放入水中使其竖直漂浮，测出桶口露出水面的高度为 $ h_3 = 4.00 \mathrm{cm} $(如图丁)。
⑤ 将项链取出粘在桶底(粘胶的体积和质量忽略不计)，将桶和项链一起放入水中使其竖直漂浮，测出桶口露出水面的高度为 $ h_4 = 4.25 \mathrm{cm} $(如图戊)，则项链的密度为
18×10³
$ \mathrm{kg/m}^3 $。答案
4. （1）① 降低 20.00 ③ 1.15×10³ （2）⑤ 18×10³
解析
【分析】
本题考查利用漂浮条件和阿基米德原理测量液体和固体的密度，解题思路如下：
1. 对于测酱油密度：
步骤①中，在桶内放硬币是为了降低整体重心，使塑料桶能竖直漂浮在液体中；读取刻度尺示数时，需注意分度值，估读到分度值下一位。
步骤③中，利用塑料桶和硬币在水和酱油中均漂浮，浮力等于总重力，结合阿基米德原理列出等式，消去相同量后求解酱油密度。
2. 对于测项链密度：
步骤④中，项链放在桶内漂浮，根据漂浮条件得出项链的重力表达式；步骤⑤中，项链粘在桶底时，排开水的体积为桶排开的体积加项链的体积，再结合漂浮条件列出等式，求出项链的体积，最后根据密度公式计算项链的密度。
【解析】
(1) ① 将硬币放入桶内，可使塑料桶和硬币整体的重心降低，从而保证桶能竖直漂浮；由图甲可知，刻度尺的分度值为1mm，桶的高度$L=20.00\mathrm{cm}$。
③ 设塑料桶的底面积为$S$，桶和硬币的总重力为$G$。
桶在水中漂浮时，根据漂浮条件和阿基米德原理：$G=F_{\mathrm{浮水}}=\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_1)$；
桶在酱油中漂浮时：$G=F_{\mathrm{浮酱}}=\rho_{\mathrm{酱油}}gS(L-h_2)$；
联立两式得：$\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_1)=\rho_{\mathrm{酱油}}gS(L-h_2)$，
消去$gS$，代入数据$L=20.00\mathrm{cm}$，$h_1=8.50\mathrm{cm}$，$h_2=10.00\mathrm{cm}$，$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\mathrm{kg/m}^3$：
$\rho_{\mathrm{酱油}}=\rho_{\mathrm{水}}·\frac{L-h_1}{L-h_2}=1×10^3\mathrm{kg/m}^3×\frac{20.00\mathrm{cm}-8.50\mathrm{cm}}{20.00\mathrm{cm}-10.00\mathrm{cm}}=1.15×10^3\mathrm{kg/m}^3$。
(2) ⑤ 设项链的重力为$G_{\mathrm{项}}$，体积为$V_{\mathrm{项}}$。
步骤④中，桶和项链在水中漂浮：$G+G_{\mathrm{项}}=\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_3)$，
结合$G=\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_1)$，可得$G_{\mathrm{项}}=\rho_{\mathrm{水}}gS[(L-h_3)-(L-h_1)]=\rho_{\mathrm{水}}gS(h_1-h_3)$；
步骤⑤中，桶和项链漂浮时，排开水的体积为$S(L-h_4)+V_{\mathrm{项}}$，则：
$G+G_{\mathrm{项}}=\rho_{\mathrm{水}}g[S(L-h_4)+V_{\mathrm{项}}]$，
将$G+G_{\mathrm{项}}=\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_3)$代入上式：
$\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_3)=\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_4)+\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{项}}$，
整理得$V_{\mathrm{项}}=S(h_4-h_3)$；
项链的密度$\rho_{\mathrm{项}}=\frac{m_{\mathrm{项}}}{V_{\mathrm{项}}}=\frac{G_{\mathrm{项}}}{gV_{\mathrm{项}}}=\frac{\rho_{\mathrm{水}}gS(h_1-h_3)}{g· S(h_4-h_3)}=\rho_{\mathrm{水}}·\frac{h_1-h_3}{h_4-h_3}$，
代入数据$h_1=8.50\mathrm{cm}$，$h_3=4.00\mathrm{cm}$，$h_4=4.25\mathrm{cm}$：
$\rho_{\mathrm{项}}=1×10^3\mathrm{kg/m}^3×\frac{8.50\mathrm{cm}-4.00\mathrm{cm}}{4.25\mathrm{cm}-4.00\mathrm{cm}}=18×10^3\mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) ① 降低；20.00 ③ $1.15×10^3$
(2) ⑤ $18×10^3$
【知识点】
漂浮条件；阿基米德原理；密度公式
【点评】
本题通过巧妙利用漂浮条件和阿基米德原理，将未知量（桶的底面积）消去，实现密度的测量，考查了学生对浮力相关知识的综合应用能力，需注意物理量的单位统一和公式的灵活推导。
【难度系数】
0.6
本题考查利用漂浮条件和阿基米德原理测量液体和固体的密度，解题思路如下：
1. 对于测酱油密度：
步骤①中，在桶内放硬币是为了降低整体重心，使塑料桶能竖直漂浮在液体中；读取刻度尺示数时，需注意分度值，估读到分度值下一位。
步骤③中，利用塑料桶和硬币在水和酱油中均漂浮，浮力等于总重力，结合阿基米德原理列出等式，消去相同量后求解酱油密度。
2. 对于测项链密度：
步骤④中，项链放在桶内漂浮，根据漂浮条件得出项链的重力表达式；步骤⑤中，项链粘在桶底时，排开水的体积为桶排开的体积加项链的体积，再结合漂浮条件列出等式，求出项链的体积，最后根据密度公式计算项链的密度。
【解析】
(1) ① 将硬币放入桶内，可使塑料桶和硬币整体的重心降低，从而保证桶能竖直漂浮；由图甲可知，刻度尺的分度值为1mm，桶的高度$L=20.00\mathrm{cm}$。
③ 设塑料桶的底面积为$S$，桶和硬币的总重力为$G$。
桶在水中漂浮时，根据漂浮条件和阿基米德原理：$G=F_{\mathrm{浮水}}=\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_1)$；
桶在酱油中漂浮时：$G=F_{\mathrm{浮酱}}=\rho_{\mathrm{酱油}}gS(L-h_2)$；
联立两式得：$\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_1)=\rho_{\mathrm{酱油}}gS(L-h_2)$，
消去$gS$，代入数据$L=20.00\mathrm{cm}$，$h_1=8.50\mathrm{cm}$，$h_2=10.00\mathrm{cm}$，$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\mathrm{kg/m}^3$：
$\rho_{\mathrm{酱油}}=\rho_{\mathrm{水}}·\frac{L-h_1}{L-h_2}=1×10^3\mathrm{kg/m}^3×\frac{20.00\mathrm{cm}-8.50\mathrm{cm}}{20.00\mathrm{cm}-10.00\mathrm{cm}}=1.15×10^3\mathrm{kg/m}^3$。
(2) ⑤ 设项链的重力为$G_{\mathrm{项}}$，体积为$V_{\mathrm{项}}$。
步骤④中，桶和项链在水中漂浮：$G+G_{\mathrm{项}}=\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_3)$，
结合$G=\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_1)$，可得$G_{\mathrm{项}}=\rho_{\mathrm{水}}gS[(L-h_3)-(L-h_1)]=\rho_{\mathrm{水}}gS(h_1-h_3)$；
步骤⑤中，桶和项链漂浮时，排开水的体积为$S(L-h_4)+V_{\mathrm{项}}$，则：
$G+G_{\mathrm{项}}=\rho_{\mathrm{水}}g[S(L-h_4)+V_{\mathrm{项}}]$，
将$G+G_{\mathrm{项}}=\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_3)$代入上式：
$\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_3)=\rho_{\mathrm{水}}gS(L-h_4)+\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{项}}$，
整理得$V_{\mathrm{项}}=S(h_4-h_3)$；
项链的密度$\rho_{\mathrm{项}}=\frac{m_{\mathrm{项}}}{V_{\mathrm{项}}}=\frac{G_{\mathrm{项}}}{gV_{\mathrm{项}}}=\frac{\rho_{\mathrm{水}}gS(h_1-h_3)}{g· S(h_4-h_3)}=\rho_{\mathrm{水}}·\frac{h_1-h_3}{h_4-h_3}$，
代入数据$h_1=8.50\mathrm{cm}$，$h_3=4.00\mathrm{cm}$，$h_4=4.25\mathrm{cm}$：
$\rho_{\mathrm{项}}=1×10^3\mathrm{kg/m}^3×\frac{8.50\mathrm{cm}-4.00\mathrm{cm}}{4.25\mathrm{cm}-4.00\mathrm{cm}}=18×10^3\mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) ① 降低；20.00 ③ $1.15×10^3$
(2) ⑤ $18×10^3$
【知识点】
漂浮条件；阿基米德原理；密度公式
【点评】
本题通过巧妙利用漂浮条件和阿基米德原理，将未知量（桶的底面积）消去，实现密度的测量，考查了学生对浮力相关知识的综合应用能力，需注意物理量的单位统一和公式的灵活推导。
【难度系数】
0.6
