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如图，$□ ABCD$中，$E$，$F$是对角线$BD$上的两点，如果添加一个条件，使$△ ABE≌△ CDF$，则添加的条件不能为()
A.$BE = DF$
B.$BF = DE$
C.$AE = CF$
D.$∠ 1 = ∠ 2$
A.$BE = DF$
B.$BF = DE$
C.$AE = CF$
D.$∠ 1 = ∠ 2$
答案
C
解析
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB//CD，所以∠ABE=∠CDF。
选项A：若BE=DF，根据SAS可证△ABE≌△CDF；
选项B：若BF=DE，则BF-EF=DE-EF，即BE=DF，同选项A可证全等；
选项C：AE=CF，SSA不能判定三角形全等；
选项D：若∠1=∠2，根据ASA可证△ABE≌△CDF。
选项A：若BE=DF，根据SAS可证△ABE≌△CDF；
选项B：若BF=DE，则BF-EF=DE-EF，即BE=DF，同选项A可证全等；
选项C：AE=CF，SSA不能判定三角形全等；
选项D：若∠1=∠2，根据ASA可证△ABE≌△CDF。
1. 如图，$AB// EG$，$EF// BC$，$AC// FG$，则图中的平行四边形有()
A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$6$个
A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$6$个
答案
B
解析
根据平行四边形定义（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）及已知条件$AB// EG$，$EF// BC$，$AC// FG$分析：
1. 四边形$ABCE$：$AE// BC$（$EF// BC$且$A$在$EF$上），$AB// EC$（$AB// EG$且$C$在$EG$上），两组对边平行，是平行四边形。
2. 四边形$AFBC$：$AF// BC$（$AF$在$EF$上，$EF// BC$），$AC// FB$（$AC// FG$且$B$在$FG$上），两组对边平行，是平行四边形。
3. 四边形$ACGB$：$AC// BG$（$AC// FG$且$B$在$FG$上），$AB// CG$（$AB// EG$且$C$在$EG$上），两组对边平行，是平行四边形。
综上，图中共有3个平行四边形。
1. 四边形$ABCE$：$AE// BC$（$EF// BC$且$A$在$EF$上），$AB// EC$（$AB// EG$且$C$在$EG$上），两组对边平行，是平行四边形。
2. 四边形$AFBC$：$AF// BC$（$AF$在$EF$上，$EF// BC$），$AC// FB$（$AC// FG$且$B$在$FG$上），两组对边平行，是平行四边形。
3. 四边形$ACGB$：$AC// BG$（$AC// FG$且$B$在$FG$上），$AB// CG$（$AB// EG$且$C$在$EG$上），两组对边平行，是平行四边形。
综上，图中共有3个平行四边形。
2. 将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，$∠ EFG = 90^{\circ}$，$∠ EGF = 60^{\circ}$，$∠ AEF = 50^{\circ}$，则$∠ EGC$的度数为()
A.$100^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
A.$100^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
B
解析
在△EFG中，∠EFG=90°，∠EGF=60°，则∠FEG=180°-90°-60°=30°.
∵∠AEF=50°，点F在EG上，
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=50°+30°=80°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD.
∵EG是截线，∴∠AEG=∠EGC（两直线平行，内错角相等）.
∴∠EGC=80°.
∵∠AEF=50°，点F在EG上，
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=50°+30°=80°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD.
∵EG是截线，∴∠AEG=∠EGC（两直线平行，内错角相等）.
∴∠EGC=80°.
3. 平行四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，若$△ AOB$的面积为$6\mathrm{cm}^2$，则平行四边形$ABCD$的面积为()
A.$12\mathrm{cm}^2$
B.$18\mathrm{cm}^2$
C.$24\mathrm{cm}^2$
D.$30\mathrm{cm}^2$
A.$12\mathrm{cm}^2$
B.$18\mathrm{cm}^2$
C.$24\mathrm{cm}^2$
D.$30\mathrm{cm}^2$
答案
C
解析
因为平行四边形的对角线互相平分，所以$OA=OC$，$OB=OD$。
在$△AOB$和$△COD$中，$OA=OC$，$OB=OD$，$∠AOB=∠COD$（对顶角相等），所以$△AOB≌△COD$，则$S_{△AOB}=S_{△COD}=6\mathrm{cm}^2$。
同理，$△AOD≌△COB$，所以$S_{△AOD}=S_{△COB}$。
又因为$△AOB$和$△AOD$等底（$OA$为公共底）同高（从$B$、$D$向$AC$作垂线，高相等），所以$S_{△AOB}=S_{△AOD}=6\mathrm{cm}^2$，则$S_{△COB}=6\mathrm{cm}^2$。
平行四边形$ABCD$的面积为$S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△COD}+S_{△DOA}=6+6+6+6=24\mathrm{cm}^2$。
在$△AOB$和$△COD$中，$OA=OC$，$OB=OD$，$∠AOB=∠COD$（对顶角相等），所以$△AOB≌△COD$，则$S_{△AOB}=S_{△COD}=6\mathrm{cm}^2$。
同理，$△AOD≌△COB$，所以$S_{△AOD}=S_{△COB}$。
又因为$△AOB$和$△AOD$等底（$OA$为公共底）同高（从$B$、$D$向$AC$作垂线，高相等），所以$S_{△AOB}=S_{△AOD}=6\mathrm{cm}^2$，则$S_{△COB}=6\mathrm{cm}^2$。
平行四边形$ABCD$的面积为$S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△COD}+S_{△DOA}=6+6+6+6=24\mathrm{cm}^2$。
4. 如图，在$□ ABCD$中，已知$AD = 12\mathrm{cm}$，$AB = 8\mathrm{cm}$，$AE$平分$∠ BAD$交$BC$边于点$E$，则$CE$的长为()
A.$8\mathrm{cm}$
B.$6\mathrm{cm}$
C.$4\mathrm{cm}$
D.$2\mathrm{cm}$
A.$8\mathrm{cm}$
B.$6\mathrm{cm}$
C.$4\mathrm{cm}$
D.$2\mathrm{cm}$
答案
C
解析
如图，四边形$ABCD$是平行四边形，
$\because AD// BC$，$AD=BC$，
$\therefore ∠ DAE=∠ BEA$，
$\because AE$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAE=∠ BEA$，
$\therefore AB=BE$，
已知$AB=8\mathrm{cm}$，
$\therefore BE=8\mathrm{cm}$，
已知$AD=12\mathrm{cm}$，
$\therefore BC=12\mathrm{cm}$，
$\therefore EC=BC-BE=12-8=4\mathrm{cm}$。
$\because AD// BC$，$AD=BC$，
$\therefore ∠ DAE=∠ BEA$，
$\because AE$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAE=∠ BEA$，
$\therefore AB=BE$，
已知$AB=8\mathrm{cm}$，
$\therefore BE=8\mathrm{cm}$，
已知$AD=12\mathrm{cm}$，
$\therefore BC=12\mathrm{cm}$，
$\therefore EC=BC-BE=12-8=4\mathrm{cm}$。
5. 在$□ ABCD$中，$AD = 8$，$AE$平分$∠ BAD$交$BC$于点$E$，$DF$平分$∠ ADC$交$BC$于点$F$，且$EF = 2$，则$AB$的长为.
答案
3或5
解析
在$□ABCD$中，$AD// BC$，$AD=BC=8$，$AB=CD$。
∵$AE$平分$∠BAD$，∴$∠BAE=∠DAE$。又$AD// BC$，∴$∠DAE=∠AEB$，∴$∠BAE=∠AEB$，故$BE=AB$。设$AB=x$，则$BE=x$。
同理，$DF$平分$∠ADC$，可得$∠CDF=∠DFC$，故$CF=CD=AB=x$。
分两种情况：
①当$E$在$F$左侧时，$BC=BE+EF+FC$，即$8=x+2+x$，解得$x=3$；
②当$F$在$E$左侧时，$BC=BE+FC-EF$，即$8=x+x-2$，解得$x=5$。
综上，$AB$的长为$3$或$5$。
∵$AE$平分$∠BAD$，∴$∠BAE=∠DAE$。又$AD// BC$，∴$∠DAE=∠AEB$，∴$∠BAE=∠AEB$，故$BE=AB$。设$AB=x$，则$BE=x$。
同理，$DF$平分$∠ADC$，可得$∠CDF=∠DFC$，故$CF=CD=AB=x$。
分两种情况：
①当$E$在$F$左侧时，$BC=BE+EF+FC$，即$8=x+2+x$，解得$x=3$；
②当$F$在$E$左侧时，$BC=BE+FC-EF$，即$8=x+x-2$，解得$x=5$。
综上，$AB$的长为$3$或$5$。
6. 如图，$□ ABCD$的对角线相交于点$O$，且$AD≠ CD$，过点$O$作$OM⊥ AC$，交$AD$于点$M$.如果$△ CDM$的周长为$8$，那么$□ ABCD$的周长是.
答案
16
解析
因为 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $OA = OC$（对角线互相平分）。
由于 $OM ⊥ AC$，所以 $OM$ 是 $AC$ 的垂直平分线。
根据垂直平分线的性质，可得 $AM = CM$。
已知 $△CDM$ 的周长为 $8$，即 $MD + DC + CM = 8$。
由于 $AM = CM$，所以 $MD + DC + AM = AD + DC = 8$。
因此，平行四边形 $ABCD$ 的周长为 $2 × (AD + DC) = 2 × 8 = 16$。
由于 $OM ⊥ AC$，所以 $OM$ 是 $AC$ 的垂直平分线。
根据垂直平分线的性质，可得 $AM = CM$。
已知 $△CDM$ 的周长为 $8$，即 $MD + DC + CM = 8$。
由于 $AM = CM$，所以 $MD + DC + AM = AD + DC = 8$。
因此，平行四边形 $ABCD$ 的周长为 $2 × (AD + DC) = 2 × 8 = 16$。
7. 如图，在$□ ABCD$中，$AC$，$BD$相交于点$O$，$AB = 10$，$AD = 6$，$AC⊥ BC$，则$BD =$.
答案
4√13
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=6，OA=OC=1/2AC。
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，由勾股定理得：AC=√(AB²-BC²)=√(10²-6²)=8，∴OC=1/2AC=4。
在Rt△BOC中，BC=6，OC=4，由勾股定理得：BO=√(BC²+OC²)=√(6²+4²)=√52=2√13。
∵平行四边形对角线互相平分，∴BD=2BO=4√13。
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，由勾股定理得：AC=√(AB²-BC²)=√(10²-6²)=8，∴OC=1/2AC=4。
在Rt△BOC中，BC=6，OC=4，由勾股定理得：BO=√(BC²+OC²)=√(6²+4²)=√52=2√13。
∵平行四边形对角线互相平分，∴BD=2BO=4√13。
