8. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$EF$过点$O$且与$AD$，$BC$分别相交于点$E$，$F$. 求证：$OE = OF$.

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC（平行四边形对角线互相平分）。
∴∠OAE=∠OCF（两直线平行，内错角相等）。
在△AOE和△COF中，
∠OAE=∠OCF，
OA=OC，
∠AOE=∠COF（对顶角相等），
∴△AOE≌△COF（ASA）。
∴OE=OF。

9. 如图，若平行四边形$ABCD$的周长为$22\mathrm{cm}$，$AC$，$BD$相交于点$O$，$△ AOD$的周长比$△ ABO$的周长小$3\mathrm{cm}$，求$AD$，$AB$的长.

设 $AD = x$ cm， $AB = y$ cm。
根据平行四边形的性质，对边相等，所以 $AB = CD$，$AD = BC$。
由平行四边形的周长为 $22$ cm，可得：
$2(x + y) = 22$，
即$x + y = 11 \quad \mathrm{(方程1]}$。
考虑三角形 $△AOD$ 和 $△ABO$ 的周长差。
由于 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，根据平行四边形的对角线性质，$AO = OC$，$BO = OD$。
$△AOD$ 的周长为 $AO + OD + AD$，$△ABO$ 的周长为 $AO + OB + AB$。
根据题意，$△AOD$ 的周长比 $△ABO$ 的周长小 $3$ cm，即：
$(AO + OB + AB) - (AO + OD + AD) = 3$，
化简得：$AB - AD = 3$，
即$y - x = 3 \quad \mathrm{(方程2]}$。
解方程组（方程1和方程2）得：
$x + y = 11$，
$y - x = 3$，
将两式相加，得到：
$2y = 14 \implies y = 7$，
将 $y = 7$ 代入方程1得：
$x + 7 = 11 \implies x = 4$。
所以$AD = 4 \mathrm{ cm}, \quad AB = 7 \mathrm{ cm}$。

10. 如图，在$□ ABCD$中，$E$为$AB$边上的中点，连接$DE$并延长，交$CB$的延长线于点$F$.
(1) 求证：$AD = BF$；
(2) 若$□ ABCD$的面积为$32$，试求四边形$EBCD$的面积.

(1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠ADE=∠F（两直线平行，内错角相等）。∵E为AB中点，∴AE=BE。又∵∠AED=∠BEF（对顶角相等），∴△ADE≌△BFE（AAS），∴AD=BF。
(2) 设平行四边形ABCD边AB上的高为h，则S□ABCD=AB·h=32。∵E为AB中点，∴AE=1/2AB。S△ADE=1/2·AE·h=1/2×(1/2AB)·h=1/4AB·h=1/4×32=8。∴S四边形EBCD=S□ABCD - S△ADE=32 - 8=24。

11. 如图，在$□ ABCD$中，$BD⊥ AD$，$∠ A = 45^{\circ}$，$E$，$F$分别是$AB$，$CD$上的点，且$BE = DF$，连接$EF$，交$BD$于点$O$.
(1) 求证：$BO = DO$；
(2) 若$EF⊥ AB$，延长$EF$交$AD$的延长线于$G$，当$FG = 1$时，求$AD$的长.

(1) 见解析；(2) AD=2√2。

(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠OBE=∠ODF（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BOE=∠DOF（对顶角相等），BE=DF（已知），
∴△BOE≌△DOF（AAS），∴BO=DO。
(2) ∵BD⊥AD，∠A=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∠ABD=45°。
∵EF⊥AB，∴∠OEB=90°，在Rt△BOE中，∠OBE=45°，∴△BOE是等腰直角三角形，设OE=BE=a，则BO=√2a。
由(1)知BO=DO，∴BD=2BO=2√2a，∴AD=BD=2√2a。
∵AB=√(AD²+BD²)=√(2AD²)=AD√2=2√2a·√2=4a，∴AE=AB-BE=4a - a=3a。
∵EF⊥AB，AB//CD，∴EF⊥CD，∠OFD=90°，由△BOE≌△DOF得OF=OE=a，∴EF=OE+OF=2a。
延长EF至G，∵EF⊥AB，∴∠AEG=90°，在Rt△AEG中，∠A=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴EG=AE=3a。
∵EG=EF+FG，FG=1，∴3a=2a + 1，解得a=1。
∴AD=2√2a=2√2×1=2√2。