1. 如图,A,B,C,D 是$\odot O$上的四个点,且$AB= CD$,$OE\perp AB$,$OF\perp CD$,则下列结论中错误的是( )
A.$\widehat{AB}= \widehat{CD}$
B.$OE= OF$
C.$\angle AOB= \angle COD$
D.$\widehat{AC}= \widehat{BC}$
A.$\widehat{AB}= \widehat{CD}$
B.$OE= OF$
C.$\angle AOB= \angle COD$
D.$\widehat{AC}= \widehat{BC}$
答案
D
解析
证明：
∵ $AB = CD$，
∴ $\widehat{AB} = \widehat{CD}$（A正确），$\angle AOB = \angle COD$（C正确）。
∵ $OE \perp AB$，$OF \perp CD$，
∴ $OE = OF$（B正确）。
无法得出$\widehat{AC} = \widehat{BC}$（D错误）。
结论：D
∵ $AB = CD$，
∴ $\widehat{AB} = \widehat{CD}$（A正确），$\angle AOB = \angle COD$（C正确）。
∵ $OE \perp AB$，$OF \perp CD$，
∴ $OE = OF$（B正确）。
无法得出$\widehat{AC} = \widehat{BC}$（D错误）。
结论：D
2. 如图,AB 是$\odot O$的直径,$\widehat{AD}= \widehat{BC}$,$\angle BOC= 30°$,则$\angle COD$的度数是( )
A.$150°$
B.$140°$
C.$130°$
D.$120°$
A.$150°$
B.$140°$
C.$130°$
D.$120°$
答案
D
解析
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$\angle AOB=180°$。
∵$\angle BOC=30°$，
∴$\angle AOC=\angle AOB-\angle BOC=180°-30°=150°$。
∵$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，
∴$\angle AOD=\angle BOC=30°$。
∴$\angle COD=\angle AOC-\angle AOD=150°-30°=120°$。
D
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$\angle AOB=180°$。
∵$\angle BOC=30°$，
∴$\angle AOC=\angle AOB-\angle BOC=180°-30°=150°$。
∵$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，
∴$\angle AOD=\angle BOC=30°$。
∴$\angle COD=\angle AOC-\angle AOD=150°-30°=120°$。
D
3. 如图,在$\odot O$中,C 是$\widehat{AB}$的中点,若$\angle A= 50°$,则$\angle BOC= $( )
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
A
解析
证明：在$\triangle OAB$中，$OA=OB$，故$\angle B=\angle A=50°$。
$\angle AOB=180°-\angle A-\angle B=180°-50°-50°=80°$。
因为C是$\widehat{AB}$的中点，所以$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，则$\angle AOC=\angle BOC$。
$\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
答案：A
$\angle AOB=180°-\angle A-\angle B=180°-50°-50°=80°$。
因为C是$\widehat{AB}$的中点，所以$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，则$\angle AOC=\angle BOC$。
$\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
答案：A
4. 下列说法中,正确的是( )
A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.相等的圆心角所对的弦也相等
D.相等的弦所对的圆心角也相等
A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.相等的圆心角所对的弦也相等
D.相等的弦所对的圆心角也相等
答案
B
5. 如图,已知点 A,B,C,D 都在$\odot O$上,$OB\perp AC$,$BC= CD$,则下列说法错误的是( )
A.$\widehat{AB}= \widehat{BC}$
B.$\angle AOD= 3\angle BOC$
C.$AC= 2CD$
D.$OC\perp BD$
A.$\widehat{AB}= \widehat{BC}$
B.$\angle AOD= 3\angle BOC$
C.$AC= 2CD$
D.$OC\perp BD$
答案
C
解析
证明：
∵ $OB \perp AC$，$OA=OC$，
∴ $OB$ 垂直平分 $AC$，$\widehat{AB}=\widehat{BC}$（A正确）。
设 $\angle BOC = \alpha$，则 $\angle AOB = \alpha$，$\angle AOC = 2\alpha$。
∵ $BC=CD$，
∴ $\widehat{BC}=\widehat{CD}$，$\angle COD = \alpha$，
∴ $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = 3\alpha = 3\angle BOC$（B正确）。
∵ $\widehat{BC}=\widehat{CD}$，$OC$ 为半径，
∴ $OC \perp BD$（D正确）。
$AC$ 与 $2CD$ 不一定相等（C错误）。
结论：C
∵ $OB \perp AC$，$OA=OC$，
∴ $OB$ 垂直平分 $AC$，$\widehat{AB}=\widehat{BC}$（A正确）。
设 $\angle BOC = \alpha$，则 $\angle AOB = \alpha$，$\angle AOC = 2\alpha$。
∵ $BC=CD$，
∴ $\widehat{BC}=\widehat{CD}$，$\angle COD = \alpha$，
∴ $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = 3\alpha = 3\angle BOC$（B正确）。
∵ $\widehat{BC}=\widehat{CD}$，$OC$ 为半径，
∴ $OC \perp BD$（D正确）。
$AC$ 与 $2CD$ 不一定相等（C错误）。
结论：C
6. 如图,在$\odot O$中,$AB= AC$,若$\widehat{BC}的度数为80°$,则$\widehat{AC}$的度数为______°.
答案
140
解析
证明：
∵在$\odot O$中，$AB=AC$，
$\therefore \widehat{AB}=\widehat{AC}$。
∵$\widehat{BC}$的度数为$80°$，圆的度数为$360°$，
$\therefore \widehat{AB}+\widehat{AC}+\widehat{BC}=360°$，
$\therefore 2\widehat{AC}+80°=360°$，
$\therefore 2\widehat{AC}=280°$，
$\therefore \widehat{AC}=140°$。
140
∵在$\odot O$中，$AB=AC$，
$\therefore \widehat{AB}=\widehat{AC}$。
∵$\widehat{BC}$的度数为$80°$，圆的度数为$360°$，
$\therefore \widehat{AB}+\widehat{AC}+\widehat{BC}=360°$，
$\therefore 2\widehat{AC}+80°=360°$，
$\therefore 2\widehat{AC}=280°$，
$\therefore \widehat{AC}=140°$。
140
7. 如图,在$\odot O$中,直径$AB//弦CD$,若$\angle COD= 110°$,则$\widehat{AC}$的度数为______.
答案
35°
解析
解：连接OC、OD。
∵OC=OD，∠COD=110°，
∴∠OCD=∠ODC=(180°-110°)/2=35°。
∵AB//CD，
∴∠AOC=∠OCD=35°（两直线平行，内错角相等）。
∴$\widehat{AC}$的度数为35°。
35°
∵OC=OD，∠COD=110°，
∴∠OCD=∠ODC=(180°-110°)/2=35°。
∵AB//CD，
∴∠AOC=∠OCD=35°（两直线平行，内错角相等）。
∴$\widehat{AC}$的度数为35°。
35°
8. 如图,AB 是$\odot O$的直径,C 是 BA 延长线上一点,点 D 在$\odot O$上,且$CD= OE$,CD 的延长线交$\odot O$于点 E. 若$\angle C= 25°$,则$\angle CEO$的度数为______°.
答案
50
解析
证明：连接 $OD$。
因为 $CD = OE$，且 $OD = OE = OA = OB$（均为圆 $O$ 的半径），所以 $CD = OD$。
因此，$\triangle CDO$ 是等腰三角形，$\angle COD = \angle C = 25°$。
因为 $\angle ODE$ 是 $\triangle CDO$ 的外角，所以 $\angle ODE = \angle C + \angle COD = 25° + 25° = 50°$。
又因为 $OD = OE$，所以 $\triangle ODE$ 是等腰三角形，$\angle OED = \angle ODE = 50°$，即 $\angle CEO = 50°$。
50
因为 $CD = OE$，且 $OD = OE = OA = OB$（均为圆 $O$ 的半径），所以 $CD = OD$。
因此，$\triangle CDO$ 是等腰三角形，$\angle COD = \angle C = 25°$。
因为 $\angle ODE$ 是 $\triangle CDO$ 的外角，所以 $\angle ODE = \angle C + \angle COD = 25° + 25° = 50°$。
又因为 $OD = OE$，所以 $\triangle ODE$ 是等腰三角形，$\angle OED = \angle ODE = 50°$，即 $\angle CEO = 50°$。
50
