1. 一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知$AB= 16\ m$,半径$OA= 10\ m$,则高度$CD$的长为( )
A.$2\ m$
B.$4\ m$
C.$6\ m$
D.$8\ m$
A.$2\ m$
B.$4\ m$
C.$6\ m$
D.$8\ m$
答案
B
解析
解：连接OC，
∵CD是高度，
∴CD⊥AB，AD=BD=8m，
在Rt△AOD中，OA=10m，AD=8m，
由勾股定理得：OD=$\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$m，
∵OC=OA=10m，
∴CD=OC-OD=10-6=4m。
答案：B
∵CD是高度，
∴CD⊥AB，AD=BD=8m，
在Rt△AOD中，OA=10m，AD=8m，
由勾股定理得：OD=$\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$m，
∵OC=OA=10m，
∴CD=OC-OD=10-6=4m。
答案：B
2. 如图,$\odot O的弦AB垂直平分半径OC$,垂足为$D$,若$CD= \frac{\sqrt{2}}{2}$,则$AB$的长为( )
A.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.$\sqrt{6}$
A.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.$\sqrt{6}$
答案
D
解析
解：设圆$O$的半径为$r$，则$OC = r$。
因为$AB$垂直平分半径$OC$，垂足为$D$，所以$OD=\frac{1}{2}OC=\frac{r}{2}$，且$AD = DB$。
已知$CD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又因为$OC = OD + CD$，所以$r=\frac{r}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$r = \sqrt{2}$，则$OD=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
连接$OA$，在$Rt\triangle ADO$中，$OA = r=\sqrt{2}$，$OD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^{2}-OD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\sqrt{2 - \frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
所以$AB = 2AD=2×\frac{\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$
答案：D
因为$AB$垂直平分半径$OC$，垂足为$D$，所以$OD=\frac{1}{2}OC=\frac{r}{2}$，且$AD = DB$。
已知$CD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又因为$OC = OD + CD$，所以$r=\frac{r}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$r = \sqrt{2}$，则$OD=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
连接$OA$，在$Rt\triangle ADO$中，$OA = r=\sqrt{2}$，$OD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^{2}-OD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\sqrt{2 - \frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
所以$AB = 2AD=2×\frac{\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$
答案：D
3. 如图,$\odot O是等边三角形ABC$的外接圆,若$AB= 3$,则$\odot O$的半径是( )
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{5}{2}$
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{5}{2}$
答案
C
解析
证明：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°。
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴∠AOB=2∠ACB=120°。
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴AD=BD=AB/2=3/2，∠AOD=∠AOB/2=60°。
在Rt△AOD中，sin∠AOD=AD/OA，
即sin60°=(3/2)/OA，
∵sin60°=√3/2，
∴OA=(3/2)/(√3/2)=√3。
C
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°。
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴∠AOB=2∠ACB=120°。
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴AD=BD=AB/2=3/2，∠AOD=∠AOB/2=60°。
在Rt△AOD中，sin∠AOD=AD/OA，
即sin60°=(3/2)/OA，
∵sin60°=√3/2，
∴OA=(3/2)/(√3/2)=√3。
C
4. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块,其中一块如下图所示,测得弦$AB$长20厘米,弓形高$CD$为2厘米,则镜面半径为______厘米.
答案
26
解析
设镜面半径为$ r $厘米，圆心为$ O $，连接$ OA $，$ OC $。
因为$ CD $是弓形高，所以$ OC \perp AB $于点$ C $，$ AC = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10 $厘米，$ OD = r $，$ OC = OD - CD = r - 2 $。
在$ Rt\triangle AOC $中，由勾股定理得：$ OA^2 = AC^2 + OC^2 $，即$ r^2 = 10^2 + (r - 2)^2 $。
展开得：$ r^2 = 100 + r^2 - 4r + 4 $，化简得：$ 4r = 104 $，解得$ r = 26 $。
26
因为$ CD $是弓形高，所以$ OC \perp AB $于点$ C $，$ AC = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10 $厘米，$ OD = r $，$ OC = OD - CD = r - 2 $。
在$ Rt\triangle AOC $中，由勾股定理得：$ OA^2 = AC^2 + OC^2 $，即$ r^2 = 10^2 + (r - 2)^2 $。
展开得：$ r^2 = 100 + r^2 - 4r + 4 $，化简得：$ 4r = 104 $，解得$ r = 26 $。
26
5. 如图,这是某圆弧形石拱桥的侧面图,桥的跨径$AB= 18\ m$,拱高$CD= 5\ m$,则拱桥的半径为______m.
答案
$\frac{53}{5}$ 【解析】设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O，半径为r，由题意可知AB=18 m，OD=(r - 5)m，
∵OC⊥AB，
∴∠ADO=90°，AD=BD= $\frac{1}{2}$AB=9 m，则由勾股定理得OA²=AD²+OD²，即r²=9²+(r - 5)²，解得r= $\frac{53}{5}$.
∵OC⊥AB，
∴∠ADO=90°，AD=BD= $\frac{1}{2}$AB=9 m，则由勾股定理得OA²=AD²+OD²，即r²=9²+(r - 5)²，解得r= $\frac{53}{5}$.
6. 如图,有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽$AB为16\ m$,拱高$CN为4\ m$.
(1)求桥拱的半径.
(2)此桥的安全限度是拱顶$C点距离水面不得小于1.5\ m$,若大雨过后,洪水泛滥到水面宽度$DE为12\ m$时,是否需要采取紧急措施？请说明理由.
(1)求桥拱的半径.
(2)此桥的安全限度是拱顶$C点距离水面不得小于1.5\ m$,若大雨过后,洪水泛滥到水面宽度$DE为12\ m$时,是否需要采取紧急措施？请说明理由.
答案
(1)求桥拱的半径.解：如图，半径OC⊥AB，OC⊥DE.设桥拱的半径是r m，
∵OC⊥AB，
∴AN= $\frac{1}{2}$AB= $\frac{1}{2}$×16=8(m).
∵拱高CN为4 m，
∴ON=(r - 4)m.
∵OA²=ON²+AN²，
∴r²=(r - 4)²+8²，
∴r=10，
∴桥拱的半径是10 m.
(2)此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5 m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为12 m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由.解：不需要采取紧急措施，理由如下：如图，连结OD.设CO与DE相交于点M.
∵CO⊥DE，
∴DM= $\frac{1}{2}$DE= $\frac{1}{2}$×12=6(m)，
∴OM= $\sqrt{OD^2 - DM^2}$= $\sqrt{10^2 - 6^2}$=8(m).
∵CM=OC - OM=10 - 8=2(m)，且2 m＞1.5 m，
∴不需要采取紧急措施.
