登录
8. 计算：
（1）$(π - 3)^{0}+(-\dfrac{1}{2})^{3}-(-1)^{2025}$.
（2）$(3× 10^{-5})^{2}× (4× 10^{-4})÷ (6× 10^{-2})^{2}$.
（3）$\vert -7\vert -(\dfrac{1}{4})^{-1}+2× 2^{2024}÷ 2^{2025}-\sqrt{16}$.
（1）$(π - 3)^{0}+(-\dfrac{1}{2})^{3}-(-1)^{2025}$.
（2）$(3× 10^{-5})^{2}× (4× 10^{-4})÷ (6× 10^{-2})^{2}$.
（3）$\vert -7\vert -(\dfrac{1}{4})^{-1}+2× 2^{2024}÷ 2^{2025}-\sqrt{16}$.
答案
8. (1)$\frac{15}{8}$ (2)$10^{-10}$ (3)0
解析
【解析】
（1）根据零指数幂、有理数的乘方运算法则计算：
$\begin{aligned}&(π - 3)^{0}+(-\dfrac{1}{2})^{3}-(-1)^{2025}\\=&1 + (-\dfrac{1}{8}) - (-1)\\=&1 - \dfrac{1}{8} + 1\\=&\dfrac{15}{8}\end{aligned}$
（2）根据积的乘方、同底数幂的乘除运算法则计算：
$\begin{aligned}&(3× 10^{-5})^{2}× (4× 10^{-4})÷ (6× 10^{-2})^{2}\\=&(9×10^{-10})×(4×10^{-4})÷(36×10^{-4})\\=&(36×10^{-14})÷(36×10^{-4})\\=&1×10^{-10}\\=&10^{-10}\end{aligned}$
（3）根据绝对值、负整数指数幂、同底数幂的除法、算术平方根的定义计算：
$\begin{aligned}&\vert -7\vert -(\dfrac{1}{4})^{-1}+2× 2^{2024}÷ 2^{2025}-\sqrt{16}\\=&7 - 4 + (2^{2025}÷2^{2025}) - 4\\=&7 - 4 + 1 - 4\\=&0\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{15}{8}}$；（2）$\boldsymbol{10^{-10}}$；（3）$\boldsymbol{0}$
【知识点】
零指数幂与负整数指数幂；有理数的乘方；实数的混合运算
【点评】
本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、有理数乘方、绝对值、算术平方根等运算法则是解题关键，运算时需严格遵循先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。
【难度系数】
0.6
（1）根据零指数幂、有理数的乘方运算法则计算：
$\begin{aligned}&(π - 3)^{0}+(-\dfrac{1}{2})^{3}-(-1)^{2025}\\=&1 + (-\dfrac{1}{8}) - (-1)\\=&1 - \dfrac{1}{8} + 1\\=&\dfrac{15}{8}\end{aligned}$
（2）根据积的乘方、同底数幂的乘除运算法则计算：
$\begin{aligned}&(3× 10^{-5})^{2}× (4× 10^{-4})÷ (6× 10^{-2})^{2}\\=&(9×10^{-10})×(4×10^{-4})÷(36×10^{-4})\\=&(36×10^{-14})÷(36×10^{-4})\\=&1×10^{-10}\\=&10^{-10}\end{aligned}$
（3）根据绝对值、负整数指数幂、同底数幂的除法、算术平方根的定义计算：
$\begin{aligned}&\vert -7\vert -(\dfrac{1}{4})^{-1}+2× 2^{2024}÷ 2^{2025}-\sqrt{16}\\=&7 - 4 + (2^{2025}÷2^{2025}) - 4\\=&7 - 4 + 1 - 4\\=&0\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{15}{8}}$；（2）$\boldsymbol{10^{-10}}$；（3）$\boldsymbol{0}$
【知识点】
零指数幂与负整数指数幂；有理数的乘方；实数的混合运算
【点评】
本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、有理数乘方、绝对值、算术平方根等运算法则是解题关键，运算时需严格遵循先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。
【难度系数】
0.6
9. 计算：$(-\dfrac{1}{3})^{-2}÷ (-\dfrac{1}{3})^{-4}· (\dfrac{1}{3})^{2}=$；$4^{-2}x^{5}· (2^{3}x^{-2})^{2}=$.
答案
9. $\frac{1}{81}$ 4x
解析
【解析】
1. 计算$(-\dfrac{1}{3})^{-2}÷ (-\dfrac{1}{3})^{-4}· (\dfrac{1}{3})^{2}$：
根据同底数幂的运算法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$、$a^m·a^n=a^{m+n}$，以及负数偶次幂的性质，
原式$=(-\dfrac{1}{3})^{-2 - (-4)}·(\dfrac{1}{3})^{2}=(-\dfrac{1}{3})^{2}·(\dfrac{1}{3})^{2}=(\dfrac{1}{3})^{4}=\dfrac{1}{81}$。
2. 计算$4^{-2}x^{5}· (2^{3}x^{-2})^{2}$：
先利用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$得$(2^3x^{-2})^2=2^6x^{-4}$，
将$4^{-2}$转化为$2^{-4}$，再根据同底数幂的乘法法则，
原式$=2^{-4}x^5·2^6x^{-4}=2^{-4+6}x^{5-4}=4x$。
【答案】
$\dfrac{1}{81}$；$4x$
【知识点】
负整数指数幂运算；幂的乘方；同底数幂的乘除
【点评】
本题考查整数指数幂的混合运算，需熟练掌握相关运算法则，注意运算顺序与符号处理。
【难度系数】
0.6
1. 计算$(-\dfrac{1}{3})^{-2}÷ (-\dfrac{1}{3})^{-4}· (\dfrac{1}{3})^{2}$：
根据同底数幂的运算法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$、$a^m·a^n=a^{m+n}$，以及负数偶次幂的性质，
原式$=(-\dfrac{1}{3})^{-2 - (-4)}·(\dfrac{1}{3})^{2}=(-\dfrac{1}{3})^{2}·(\dfrac{1}{3})^{2}=(\dfrac{1}{3})^{4}=\dfrac{1}{81}$。
2. 计算$4^{-2}x^{5}· (2^{3}x^{-2})^{2}$：
先利用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$得$(2^3x^{-2})^2=2^6x^{-4}$，
将$4^{-2}$转化为$2^{-4}$，再根据同底数幂的乘法法则，
原式$=2^{-4}x^5·2^6x^{-4}=2^{-4+6}x^{5-4}=4x$。
【答案】
$\dfrac{1}{81}$；$4x$
【知识点】
负整数指数幂运算；幂的乘方；同底数幂的乘除
【点评】
本题考查整数指数幂的混合运算，需熟练掌握相关运算法则，注意运算顺序与符号处理。
【难度系数】
0.6
10. 已知$a^{m}=2$，$a^{-n}=\dfrac{1}{4}$，$a^{-k}=\dfrac{1}{8}$，则$a^{3m - 2n + k}$的值为
4
，则$m + n - k$的值为0
.答案
10.4 0
解析
【解析】
1. 计算$a^{3m - 2n + k}$：
根据幂的运算法则，将式子变形为：
$a^{3m - 2n + k}=a^{3m} · a^{-2n} · a^{k}=(a^m)^3 · (a^{-n})^2 · (a^{-k})^{-1}$
代入$a^m=2$，$a^{-n}=\dfrac{1}{4}$，$a^{-k}=\dfrac{1}{8}$得：
$(2)^3 × (\dfrac{1}{4})^2 × 8=8 × \dfrac{1}{16} × 8=4$
2. 计算$m + n - k$：
由$a^{-n}=\dfrac{1}{4}$得$a^n=4$，则$a^{m + n - k}=a^m · a^n · a^{-k}$，代入已知值：
$a^{m + n - k}=2 × 4 × \dfrac{1}{8}=1=a^0$
因为$a≠0$时，$a^0=1$，故$m + n - k=0$
【答案】
4；0
【知识点】
幂的运算法则，负整数指数幂的性质
【点评】
本题考查幂的运算法则与负整数指数幂的综合应用，需熟练掌握同底数幂的乘除、幂的乘方运算及负指数幂与正指数幂的转化，准确代值计算是解题关键。
【难度系数】
0.7
1. 计算$a^{3m - 2n + k}$：
根据幂的运算法则，将式子变形为：
$a^{3m - 2n + k}=a^{3m} · a^{-2n} · a^{k}=(a^m)^3 · (a^{-n})^2 · (a^{-k})^{-1}$
代入$a^m=2$，$a^{-n}=\dfrac{1}{4}$，$a^{-k}=\dfrac{1}{8}$得：
$(2)^3 × (\dfrac{1}{4})^2 × 8=8 × \dfrac{1}{16} × 8=4$
2. 计算$m + n - k$：
由$a^{-n}=\dfrac{1}{4}$得$a^n=4$，则$a^{m + n - k}=a^m · a^n · a^{-k}$，代入已知值：
$a^{m + n - k}=2 × 4 × \dfrac{1}{8}=1=a^0$
因为$a≠0$时，$a^0=1$，故$m + n - k=0$
【答案】
4；0
【知识点】
幂的运算法则，负整数指数幂的性质
【点评】
本题考查幂的运算法则与负整数指数幂的综合应用，需熟练掌握同底数幂的乘除、幂的乘方运算及负指数幂与正指数幂的转化，准确代值计算是解题关键。
【难度系数】
0.7
11. 对于实数$a$，$b$，定义运算：$a△ b=\begin{cases}a^{b}(a ＞ b,a≠ 0),\\ a^{-b}(a≤ b,a≠ 0),\end{cases}$如$2△ 3 = 2^{-3}=\dfrac{1}{8}$，$4△ 2 = 4^{2}=16$.照此定义的运算方式计算：$[2△ (-4)]× [(-4)△ (-2)]=$ ______ .
答案
11.1
解析
【解析】
根据定义的运算规则分步计算：
1. 计算$2△ (-4)$：
因为$2 ＞ -4$且$2≠0$，所以$2△ (-4)=2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$；
2. 计算$(-4)△ (-2)$：
因为$-4 ≤ -2$且$-4≠0$，所以$(-4)△ (-2)=(-4)^{-(-2)}=(-4)^2=16$；
3. 计算乘积：
$[2△ (-4)]× [(-4)△ (-2)]=\frac{1}{16}×16=1$。
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，有理数的乘方
【点评】
本题考查新定义下的实数运算，核心是准确理解新运算的分段规则，分情况计算对应乘方运算，注意负指数幂与正指数幂的转化及符号处理。
【难度系数】
0.6
根据定义的运算规则分步计算：
1. 计算$2△ (-4)$：
因为$2 ＞ -4$且$2≠0$，所以$2△ (-4)=2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$；
2. 计算$(-4)△ (-2)$：
因为$-4 ≤ -2$且$-4≠0$，所以$(-4)△ (-2)=(-4)^{-(-2)}=(-4)^2=16$；
3. 计算乘积：
$[2△ (-4)]× [(-4)△ (-2)]=\frac{1}{16}×16=1$。
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，有理数的乘方
【点评】
本题考查新定义下的实数运算，核心是准确理解新运算的分段规则，分情况计算对应乘方运算，注意负指数幂与正指数幂的转化及符号处理。
【难度系数】
0.6
