4. 如图，在 $□ ABCD$ 中，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$，垂足为 $E$，过点 $B$ 作 $BF ⊥ AC$，垂足为 $F$. 若 $AB = 6$，$AC = 8$，$DE = 4$，则 $BF$ 的长为()


A.$4$
B.$3$
C.$\dfrac{5}{2}$
D.$2$

B

在$□ABCD$中，$AB=6$，$DE⊥AB$，$DE=4$，则$S_{□ABCD}=AB×DE=6×4=24$。因为平行四边形的面积也等于$2S_{△ABC}$，所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×24=12$。又因为$AC=8$，$BF⊥AC$，所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BF$，即$12=\frac{1}{2}×8×BF$，解得$BF=3$。

5. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$O$ 是对角线 $BD$ 的中点，$EF$ 过点 $O$. 有下列结论：① $AB // DC$；② $EO = ED$；③ $∠ A = ∠ C$；④ $S_{\mathrm{四边形}ABOE} = S_{\mathrm{四边形}CDOF}$. 其中正确的有()


A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

C

①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC（平行四边形对边平行），①正确；
②O是BD中点，EF过O，但未说明EF与AD的位置关系，无法得出EO=ED，②错误；
③∵平行四边形对角相等，∴∠A=∠C，③正确；
④∵O是BD中点，∴BO=OD，AD//BC，∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△DOE≌△BOF（AAS），S△DOE=S△BOF。又S△ABD=S△CDB（平行四边形对角线分面积相等），∴S四边形ABOE=S△ABD - S△DOE，S四边形CDOF=S△CDB - S△BOF，故S四边形ABOE=S四边形CDOF，④正确。综上，①③④正确，共3个。

6. 在 $□ ABCD$ 中，连接 $AC$，已知 $□ ABCD$ 的周长是 $28\ \mathrm{cm}$，$△ ABC$ 的周长是 $22\ \mathrm{cm}$，则 $AC$ 的长为$\mathrm{cm}$.

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC。
∵平行四边形ABCD的周长是28cm，
∴AB+BC+CD+AD=28cm，
∴2(AB+BC)=28cm，
∴AB+BC=14cm。
∵△ABC的周长是22cm，
∴AB+BC+AC=22cm，
∴AC=22cm-(AB+BC)=22cm-14cm=8cm。
8

7. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$AE ⊥ BC$ 于点 $E$，$AF ⊥ CD$ 于点 $F$. 若 $∠ EAF = 60^{\circ}$，则 $∠ B$ 的度数为.

在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°。
在四边形AECF中，∠EAF=60°，∠AEC=∠AFC=90°，四边形内角和为360°，∴∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=360°-60°-90°-90°=120°。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B+∠C=180°（平行四边形邻角互补），∴∠B=180°-∠C=180°-120°=60°。
60°

8. 如图，$□ ABCO$ 的顶点 $O$，$A$，$C$ 的坐标分别是 $(0,0)$，$(3,0)$，$(1,2)$，则顶点 $B$ 的坐标是.

在平行四边形 $□ABCO$ 中，根据平行四边形对边平行且相等的性质，向量 $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CB}$。
已知 $O(0,0)$，$A(3,0)$，则 $\overrightarrow{OA} = (3 - 0, 0 - 0) = (3,0)$。
设 $B(x,y)$，$C(1,2)$，则 $\overrightarrow{CB} = (x - 1, y - 2)$。
因为 $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CB}$，所以：
$\begin{cases}x - 1 = 3 \\y - 2 = 0\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 4 \\y = 2\end{cases}$
顶点 $B$ 的坐标是 $(4,2)$。
$(4,2)$