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8. 如图，有一张边长为$b$的正方形纸板，将它的四角各剪去边长为$a$的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒。用$M$表示其底面积与侧面积的差，则$M$可因式分解为(
A.$(b - 6a)(b - 2a)$
B.$(b - 3a)(b - 2a)$
C.$(b - 5a)(b - a)$
D.$(b - 2a)^2$
A
)。A.$(b - 6a)(b - 2a)$
B.$(b - 3a)(b - 2a)$
C.$(b - 5a)(b - a)$
D.$(b - 2a)^2$
答案
8. A
9. 若一次函数$y = -2x + 3$的图象经过点$P(a,b)$和$Q(c,d)$，则$d(2a + b) + 2c(2a + b)$的值为(
A.$-9$
B.$-3$
C.$3$
D.$9$
D
)。A.$-9$
B.$-3$
C.$3$
D.$9$
答案
9. D
10. 因式分解：$(m - n)(5ax + ay - 1) - (n - m)(3ay + ax + 1) =$
2a(m - n)(3x + 2y)
。答案
10. 2a(m - n)(3x + 2y)
11. 【数学应用】程老师在电子白板上写下一道题目：
先因式分解，再计算求值：
$x^3 - x^2y - 2x^2 + 2xy$，其中$x = 2$。
小宇看到题目马上说：“没有给出$y$的值，不能算出最终结果。”
小明反驳道：“不用给出$y$的值就可以计算出最终结果。”
他们两人谁说得对？请说明你的理由。
先因式分解，再计算求值：
$x^3 - x^2y - 2x^2 + 2xy$，其中$x = 2$。
小宇看到题目马上说：“没有给出$y$的值，不能算出最终结果。”
小明反驳道：“不用给出$y$的值就可以计算出最终结果。”
他们两人谁说得对？请说明你的理由。
答案
11. 解：小明说得对。理由如下：
原式 = x²(x - y) - 2x(x - y) = x(x - y)(x - 2)。
∵x = 2，
∴x - 2 = 0，
∴原式 = x(x - y)(x - 2) = 0。
原式 = x²(x - y) - 2x(x - y) = x(x - y)(x - 2)。
∵x = 2，
∴x - 2 = 0，
∴原式 = x(x - y)(x - 2) = 0。
12. 已知$△ ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$，且$a + 2ab = c + 2bc$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案
12. 解：△ABC是等腰三角形。理由如下：
∵a + 2ab = c + 2bc，
∴a(1 + 2b) = c(1 + 2b)，
∴a(1 + 2b) - c(1 + 2b) = 0，
即(1 + 2b)(a - c) = 0，
显然1 + 2b ≠ 0，
∴a - c = 0，即a = c。
∴△ABC是等腰三角形。
∵a + 2ab = c + 2bc，
∴a(1 + 2b) = c(1 + 2b)，
∴a(1 + 2b) - c(1 + 2b) = 0，
即(1 + 2b)(a - c) = 0，
显然1 + 2b ≠ 0，
∴a - c = 0，即a = c。
∴△ABC是等腰三角形。
13. 【综合与实践】认真阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题：
$1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)^2$
$= (1 + x)[1 + x + x(1 + x)]$
$= (1 + x)^2(1 + x)$
$= (1 + x)^3$。
(1) 上述因式分解的方法是
(2) 若因式分解$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + ··· + x(x + 1)^{2025}$，则需要应用上述方法
(3) 请用上述方法因式分解：$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + ··· + x(x + 1)^n$($n$为正整数)。
$1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)^2$
$= (1 + x)[1 + x + x(1 + x)]$
$= (1 + x)^2(1 + x)$
$= (1 + x)^3$。
(1) 上述因式分解的方法是
提公因式法
，共应用了2
次；(2) 若因式分解$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + ··· + x(x + 1)^{2025}$，则需要应用上述方法
2025
次，因式分解后的结果是$(1 + x)^{2026}$
；(3) 请用上述方法因式分解：$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + ··· + x(x + 1)^n$($n$为正整数)。
答案
13. (1) 提公因式法 2
$(2) 2025 (1 + x)^{2026}$
(3) 解：原式$ = (1 + x)[1 + x + x(1 + x) + … + x(1 + x)^{n - 1}] = (1 + x)²[1 + x + x(1 + x) + … + x(1 + x)^{n - 2}] = … = (1 + x)^{n + 1}$。
$(2) 2025 (1 + x)^{2026}$
(3) 解：原式$ = (1 + x)[1 + x + x(1 + x) + … + x(1 + x)^{n - 1}] = (1 + x)²[1 + x + x(1 + x) + … + x(1 + x)^{n - 2}] = … = (1 + x)^{n + 1}$。
