例 1 下列函数：① $ y = - 8 x $；② $ y = \frac { - 8 } { x } $；③ $ y = 5 x ^ { 2 } + 6 $；④ $ y = - 0.5 x - 1 $；⑤ $ s = 60 t $，其中是一次函数的是，是正比例函数的是(填序号).
【思路导析】根据定义判断即可.
【请你解答】.

①④⑤；①⑤

根据一次函数的定义：形如 $y=kx+b$（$k ≠ 0$，$k$、$b$为常数）的函数叫做一次函数；当 $b = 0$ 时，即 $y=kx$（$k≠ 0$）称 $y$ 是 $x$ 的正比例函数。
对于①$y = - 8x$，符合 $y=kx$（$k = - 8≠ 0$）的形式，所以是正比例函数，而正比例函数属于一次函数的特殊情况，所以也是一次函数。
对于②$y = \frac{- 8}{x}$，自变量 $x$ 在分母位置，不符合一次函数的形式，不是一次函数也不是正比例函数。
对于③$y = 5x^{2}+6$，自变量 $x$ 的次数是 $2$，不符合一次函数自变量次数为 $1$ 的要求，不是一次函数也不是正比例函数。
对于④$y = - 0.5x - 1$，符合 $y=kx+b$（$k = - 0.5≠ 0$，$b = - 1$）的形式，所以是一次函数，但不是正比例函数。
对于⑤$s = 60t$，可看作 $s$ 是 $t$ 的函数，符合 $y=kx$（$k = 60≠ 0$）的形式，所以是正比例函数，也是一次函数。
所以一次函数是①④⑤，正比例函数是①⑤。

例 2 有一个长为 $ 120 \mathrm { m } $、宽为 $ 110 \mathrm { m } $ 的矩形场地准备扩建，使长增加 $ x \mathrm { m } $，宽增加 $ y \mathrm { m } $，且使扩建后的矩形的周长为 $ 500 \mathrm { m } $，则 $ y $ 与 $ x $ 的解析式是.
【思路导析】扩建后的长为 $ ( 120 + x ) \mathrm { m } $，宽为 $ ( 110 + y ) \mathrm { m } $，依题意可得 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式.
【请你解答】.

$y = 20 - x(0≤ x≤20)$（此处按题目要求填写解析式相关关键内容，由于不是选择题，按规则呈现核心答案）

扩建后的矩形长为$(120 + x)m$，宽为$(110 + y)m$。
根据矩形周长公式$C = 2×(长 + 宽)$，已知扩建后矩形周长为$500m$，可列出方程$2[(120 + x)+(110 + y)] = 500$。
化简该方程：
$120 + x+110 + y = 250$。
$x + y+230 = 250$。
$y = 20 - x$。
因为原矩形的长和宽增加的值非负，即$\begin{cases}x≥0\\y = 20 - x≥0\end{cases}$，所以$0≤ x≤20$。
则$y$与$x$的解析式是$y = 20 - x(0≤ x≤20)$。

例 3 容积为 $ 800 \mathrm { L } $ 的水池内已贮水 $ 200 \mathrm { L } $，若每分钟注入的水量是 $ 15 \mathrm { L } $，设池内的水量为 $ Q $（单位：$ \mathrm { L } $），注水时间为 $ t $（单位：$ \mathrm { min } $）.
（1）请写出 $ Q $ 与 $ t $ 的函数解析式；
（2）多长时间可以把水池注满？
（3）当注水时间为 $ 0.2 \mathrm { h } $ 时，池中水量有多少？
【探究点拨】等量关系：池内的水量 $ = $ 原有水 $ 200 \mathrm { L } + $ 注入的水量.
【规范解答】（1）因为每分钟注入的水量是 $ 15 \mathrm { L } $，所以注水 $ t \mathrm { min } $ 时的注水量为 $ 15 t \mathrm { L } $，所以 $ Q $ 与 $ t $ 的函数解析式为 $ Q = 200 + 15 t $.
（2）当 $ Q = 800 $ 时，$ 200 + 15 t = 800 $，所以 $ t = 40 $.
即 $ 40 \mathrm { min } $ 可以将水池注满.
（3）当 $ t = 0.2 \mathrm { h } = 12 \mathrm { min } $ 时，$ Q = 200 + 15 × 12 = 380 $.即当注水 $ 0.2 \mathrm { h } $ 时，水池中的水量为 $ 380 \mathrm { L } $.

答题卡：
（1）由题意，得$Q = 200 + 15t$。
（2）当$Q = 800$时，$800 = 200 + 15t$，解得$t = 40$。
所以$40\mathrm{ min}$可以把水池注满。
（3）当$t = 0.2\mathrm{ h} = 12\mathrm{ min}$时，$Q = 200 + 15 × 12 = 380$。
所以当注水时间为$0.2\mathrm{ h}$时，池中水量为$380\mathrm{ L}$。

1. 函数 $ y = ( k - 1 ) x + k ^ { 2 } - 1 $，当 $ k $时，它是一次函数；当 $ k = $时，它是正比例函数.

第一空：$k ≠ 1$
第二空：$-1$（即填盒号对应的答案位置）

1. 当函数为一次函数时，其形式应为 $y = ax + b$，其中 $a ≠ 0$。
对于函数 $y = (k - 1)x + k^2 - 1$，需要满足 $k - 1 ≠ 0$，即 $k ≠ 1$。
2. 当函数为正比例函数时，其形式应为 $y = ax$，其中 $a ≠ 0$，且没有常数项。
对于函数 $y = (k - 1)x + k^2 - 1$，需要满足 $k - 1 ≠ 0$ 且 $k^2 - 1 = 0$。
由 $k^2 - 1 = 0$ 可得 $k = \pm 1$，但 $k ≠ 1$，所以 $k = -1$。

2. 写出下列各题中 $ y $ 与 $ x $ 之间的解析式，并判断 $ y $ 是否是 $ x $ 的一次函数.
(1)在时速为 $ 70 \mathrm { km } $ 的匀速运动中，路程 $ y $(单位：$ \mathrm { km } $)与时间 $ x $(单位：$ \mathrm { h } $)的函数解析式为；
(2)汽车开始行驶时，油箱中有油 $ 55 \mathrm { L } $，如果每小时耗油 $ 7 \mathrm { L } $，油箱内剩余油量 $ y $(单位：$ \mathrm { L } $)与行驶时间 $ t $(单位：$ \mathrm { h } $)的函数解析式为.

(1)
解题步骤：
根据匀速运动中路程，速度，时间的关系：路程$=$速度$×$时间。
已知速度为$70km/h$，时间为$x h$，路程为$y km$，则$y$与$x$之间的解析式为$y = 70x$。
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数，在$y = 70x$中，$k = 70≠0$，$b = 0$，所以$y$是$x$的一次函数。
答案：$y = 70x$，$y$是$x$的一次函数。
(2)
解题步骤：
已知汽车开始行驶时油箱中有油$55L$，每小时耗油$7L$，行驶时间为$t h$，剩余油量为$y L$。
则$y$与$t$之间的解析式为$y = 55 - 7t$。
根据一次函数的定义，在$y = 55 - 7t$中，$k = - 7≠0$，$b = 55$，所以$y$是$t$的一次函数。
答案：$y = 55 - 7t$，$y$是$t$的一次函数。