9. 摄影时，为了寻找拍摄画面中的黄金分割点，摄影师常大致构造一个黄金矩形：在正方形ABCD中，以AB的中点E为圆心，线段EC为半径画弧，交AB的延长线于点F，图中便出现了黄金矩形.请指出图中的黄金分割点和黄金矩形，并加以说明.

(第9题)

解：​B​为线段​AF​的黄金分割点，​C​为线段​DG​的黄金分割点，
矩形​AFGD​和矩形​CBFG​都是黄金矩形，证明如下：
设正方形​ABCD​的边长为​a，​则​AB=BC=a​
∵点​E​是​AB​的中点
∴$​BE=\frac 12AB=\frac {a}2​$
在​Rt△BCE​中，∵$​BE=\frac {a}2，$​​BC=a​
∴$​CE=\sqrt {BE^2+BC^2}=\frac {\sqrt 5}2a​$
∴$​EF=\frac {\sqrt 5}2a，$$​​AF=\frac {\sqrt 5+1}2a，$$​​BF=\frac {\sqrt 5-1}2a​$
∴$​\frac {AB}{AF}=\frac a{\frac {\sqrt 5+1}2a}=\frac {\sqrt 5-1}2≈0.618​$
∴点​B​是线段​AF​的黄金分割点
∵$​\frac {DC}{DG}=\frac {AB}{AF}≈0.618​$
∴点​C​是线段​DG​的黄金分割点
∵$​\frac {AD}{AF}=\frac {AB}{AF}≈0.618，$$​​\frac {BF}{BC}=\frac {\frac {\sqrt 5-1}2a}{a}=\frac {\sqrt 5-1}2≈0.618​$
∴矩形​AFGD​和矩形​CBFG​都是黄金矩形

10. 在$△ABC$中，$AB=AC,∠A=36^{\circ }$，像这样，顶角为$36^{\circ }$的等腰三角形称为黄金三角形.
(1) 请你利用图①和图②设计两种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使分成的三角形中含有两个黄金三角形(标出所得三角形的内角度数，不要求写画法)；

(第10题)
(2) 在图③中，BF平分$∠ABC$交AC于点F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于点M.判断CM与AB之间的数量关系，并说明理由.

解：​(1)​如图所示
$​(2)\ \mathrm {CM}=AB，$​理由如下：
连接​MA​
∵​∠BAC=36°，​​AB=AC​
∴​∠ABC=∠ACB=72°​
∵​BF ​平分​∠ABC​
∴​∠l=∠2=36°​
∵​∠1=∠BAC​
∴​BF=AF，​​△ABF ​为等腰三角形
∵​E​是​AB​中点
∴​FE⊥AB​
∴​ME​是​AB​的垂直平分线
∴​MA =MB​
∴​∠MAB=∠MBA=72°​
∵​∠BAC=36°​
∴​∠MAC=36°​
∵​∠ACB=72°​
∴​∠AMC=36°=∠MAC​
∴​CM=AC=AB​

11. 用纸折出黄金分割点：在一张正方形纸片ABCD中，先折出边BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使线段EB落在线段EA上，点B落在点$B'$处，$EB'=EB$；类似地，在AB上找出点$B''$，使$AB''=AB'$(如图).这时点$B''$就是AB的黄金分割点.请说明理由.

(第11题)

解：设​BE=1，​则​BC=AB=2，$​​AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt 5​$
∵​EB'=EB​
∴$​AB''=AB'=\sqrt{5} -1​$
∴$​AB''∶AB=(\sqrt{5} -1)∶2​$
∴​B''​是​AB​的黄金分割点