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1. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中， $ ∠ C = 90^{\circ} $， $ a $、 $ b $、 $ c $ 分别是 $ ∠ A $、 $ ∠ B $、 $ ∠ C $ 的对边.
（1）已知 $ a = 3 $， $ b = 3 $，求 $ ∠ A $；
（2）已知 $ c = 8 $， $ b = 4 $，求 $ a $ 及 $ ∠ A $；
（3）已知 $ c = 8 $， $ ∠ A = 45^{\circ} $，求 $ a $ 及 $ b $.
（1）已知 $ a = 3 $， $ b = 3 $，求 $ ∠ A $；
（2）已知 $ c = 8 $， $ b = 4 $，求 $ a $ 及 $ ∠ A $；
（3）已知 $ c = 8 $， $ ∠ A = 45^{\circ} $，求 $ a $ 及 $ b $.
答案
解：$(1)c=3\sqrt 2$，$sinA=\frac {\sqrt 2}2$，∠A=45°
$(2)a=\sqrt {8^2-4^2}=4\sqrt 3$，$tan A=\sqrt 3$，∠A=60°
(3)∠B=45°，$a=8×sin 45°=4\sqrt 2$，$b=a=4\sqrt 2$
$(2)a=\sqrt {8^2-4^2}=4\sqrt 3$，$tan A=\sqrt 3$，∠A=60°
(3)∠B=45°，$a=8×sin 45°=4\sqrt 2$，$b=a=4\sqrt 2$
解析
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$a=3$，$b=3$，
由勾股定理得$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
则$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$∠ A=45^{\circ}$；
（2）在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$c=8$，$b=4$，
由勾股定理得$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
$\tan A=\frac{a}{b}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$，故$∠ A=60^{\circ}$；
（3）在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A=45^{\circ}$，
则$∠ B=90^{\circ}-∠ A=45^{\circ}$，所以$a=b$，
$a=c·\sin45^{\circ}=8×\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$，故$b=4\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$∠ A=45^{\circ}$；
（2）$a=4\sqrt{3}$，$∠ A=60^{\circ}$；
（3）$a=4\sqrt{2}$，$b=4\sqrt{2}$。
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数、特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查直角三角形的边角计算，需熟练运用勾股定理和锐角三角函数定义，牢记特殊角的三角函数值是解题关键，同时注意等腰直角三角形的性质应用。
（1）在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$a=3$，$b=3$，
由勾股定理得$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
则$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$∠ A=45^{\circ}$；
（2）在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$c=8$，$b=4$，
由勾股定理得$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
$\tan A=\frac{a}{b}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$，故$∠ A=60^{\circ}$；
（3）在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A=45^{\circ}$，
则$∠ B=90^{\circ}-∠ A=45^{\circ}$，所以$a=b$，
$a=c·\sin45^{\circ}=8×\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$，故$b=4\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$∠ A=45^{\circ}$；
（2）$a=4\sqrt{3}$，$∠ A=60^{\circ}$；
（3）$a=4\sqrt{2}$，$b=4\sqrt{2}$。
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数、特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查直角三角形的边角计算，需熟练运用勾股定理和锐角三角函数定义，牢记特殊角的三角函数值是解题关键，同时注意等腰直角三角形的性质应用。
2. 一根长 $ 4 \mathrm{ m} $ 的竹竿斜靠在墙上.
（1）如果竹竿与地面成 $ 60^{\circ} $ 角，那么竹竿下端离墙脚有多远？
（2）如果竹竿上端离地面的高度为 $ 2.4 \mathrm{ m} $，那么此时竹竿与地面所成锐角的大小是多少（精确到 $ 0.1^{\circ} $）？
（1）如果竹竿与地面成 $ 60^{\circ} $ 角，那么竹竿下端离墙脚有多远？
（2）如果竹竿上端离地面的高度为 $ 2.4 \mathrm{ m} $，那么此时竹竿与地面所成锐角的大小是多少（精确到 $ 0.1^{\circ} $）？
答案
解：$(1)4×cos 60°=2(\mathrm {m})$
答：竹竿下端离墙角2m远。
(2)设竹竿与地面所成的锐角为θ
$sin θ=\frac {2.4}4=0.6$
θ≈36.9°
答：竹竿与地面所成的锐角是36.9°。
答：竹竿下端离墙角2m远。
(2)设竹竿与地面所成的锐角为θ
$sin θ=\frac {2.4}4=0.6$
θ≈36.9°
答：竹竿与地面所成的锐角是36.9°。
解析
【解析】
(1) 竹竿斜靠墙面构成直角三角形，竹竿长度为斜边（4m），竹竿与地面成60°角，求竹竿下端离墙脚的距离即求该直角三角形的邻边长度，根据余弦函数定义可得：$4×cos60°=2(\mathrm{m})$。
(2) 设竹竿与地面所成锐角为$θ$，已知竹竿上端离地面高度为直角三角形的对边（2.4m），斜边为4m，根据正弦函数定义：$\sinθ=\frac{2.4}{4}=0.6$，通过计算可得$θ\approx36.9^{\circ}$。
【答案】
(1) 2m；
(2) $36.9^{\circ}$
【知识点】
锐角三角函数的应用、直角三角形边角关系
【点评】
本题考查三角函数在直角三角形中的实际应用，需熟练掌握正弦、余弦函数的定义，能利用三角函数准确求解边长与角度，注意角度计算的精度要求。
(1) 竹竿斜靠墙面构成直角三角形，竹竿长度为斜边（4m），竹竿与地面成60°角，求竹竿下端离墙脚的距离即求该直角三角形的邻边长度，根据余弦函数定义可得：$4×cos60°=2(\mathrm{m})$。
(2) 设竹竿与地面所成锐角为$θ$，已知竹竿上端离地面高度为直角三角形的对边（2.4m），斜边为4m，根据正弦函数定义：$\sinθ=\frac{2.4}{4}=0.6$，通过计算可得$θ\approx36.9^{\circ}$。
【答案】
(1) 2m；
(2) $36.9^{\circ}$
【知识点】
锐角三角函数的应用、直角三角形边角关系
【点评】
本题考查三角函数在直角三角形中的实际应用，需熟练掌握正弦、余弦函数的定义，能利用三角函数准确求解边长与角度，注意角度计算的精度要求。
3. 把一根长 $ 1.35 \mathrm{ m} $ 的铁丝弯成顶角为 $ 120^{\circ} $ 的等腰三角形，求此三角形的各边长（精确到 $ 0.01 \mathrm{ m} $）.
答案
解：设底边上的高为xm，则腰长为$\frac x{cos 60°}=2x$
底边长为$\frac {2x}{tan 60°}=2\sqrt 3x$
∴$2x+2\sqrt 3x=1.35$
解得$x=1.35-\frac {1.35×\sqrt 3}2$
∴2x≈0.36，$2\sqrt 3x≈0.63$
答：腰长为0.36m，底边长为0.63m。
底边长为$\frac {2x}{tan 60°}=2\sqrt 3x$
∴$2x+2\sqrt 3x=1.35$
解得$x=1.35-\frac {1.35×\sqrt 3}2$
∴2x≈0.36，$2\sqrt 3x≈0.63$
答：腰长为0.36m，底边长为0.63m。
解析
【解析】
设该等腰三角形底边上的高为$ x \, \mathrm{m} $。
已知等腰三角形顶角为$ 120° $，作底边上的高后，将等腰三角形分为两个全等的直角三角形，每个直角三角形的一个锐角为$ 60° $。
根据三角函数定义：
腰长$ = \frac{x}{\cos60°} = 2x \, \mathrm{m} $，
底边长的一半$ = x · \tan60° = \sqrt{3}x \, \mathrm{m} $，因此底边长为$ 2\sqrt{3}x \, \mathrm{m} $。
由铁丝总长（即三角形周长）为$ 1.35 \, \mathrm{m} $，可列方程：
$ 2 × 2x + 2\sqrt{3}x = 1.35 $，
化简得$ 2x(2 + \sqrt{3}) = 1.35 $，
解得$ x = 1.35 - \frac{1.35\sqrt{3}}{2} $。
将$ x $代入计算：
腰长$ 2x \approx 0.36 \, \mathrm{m} $，
底边长$ 2\sqrt{3}x \approx 0.63 \, \mathrm{m} $。
【答案】
腰长约为$ 0.36 \, \mathrm{m} $，底边长约为$ 0.63 \, \mathrm{m} $。
【知识点】
等腰三角形性质、特殊角三角函数、一元一次方程求解
【点评】
本题通过作等腰三角形的高将其转化为直角三角形，利用三角函数表示各边长，结合周长列方程求解，考查了转化思想的应用，需熟练掌握特殊角的三角函数值及等腰三角形的性质。
设该等腰三角形底边上的高为$ x \, \mathrm{m} $。
已知等腰三角形顶角为$ 120° $，作底边上的高后，将等腰三角形分为两个全等的直角三角形，每个直角三角形的一个锐角为$ 60° $。
根据三角函数定义：
腰长$ = \frac{x}{\cos60°} = 2x \, \mathrm{m} $，
底边长的一半$ = x · \tan60° = \sqrt{3}x \, \mathrm{m} $，因此底边长为$ 2\sqrt{3}x \, \mathrm{m} $。
由铁丝总长（即三角形周长）为$ 1.35 \, \mathrm{m} $，可列方程：
$ 2 × 2x + 2\sqrt{3}x = 1.35 $，
化简得$ 2x(2 + \sqrt{3}) = 1.35 $，
解得$ x = 1.35 - \frac{1.35\sqrt{3}}{2} $。
将$ x $代入计算：
腰长$ 2x \approx 0.36 \, \mathrm{m} $，
底边长$ 2\sqrt{3}x \approx 0.63 \, \mathrm{m} $。
【答案】
腰长约为$ 0.36 \, \mathrm{m} $，底边长约为$ 0.63 \, \mathrm{m} $。
【知识点】
等腰三角形性质、特殊角三角函数、一元一次方程求解
【点评】
本题通过作等腰三角形的高将其转化为直角三角形，利用三角函数表示各边长，结合周长列方程求解，考查了转化思想的应用，需熟练掌握特殊角的三角函数值及等腰三角形的性质。
