3. 如图，在平地上的 $ C $ 处，测得山顶 $ A $ 的仰角为 $ 30^{\circ} $，沿 $ CD $ 方向前进 $ 20 \, \mathrm{m} $ 到达 $ D $ 处后，又测得山顶 $ A $ 的仰角为 $ 45^{\circ} $。求山高 $ AB $。

解：设​AB​为​xm​
则​BD=xm，$​​BC=\sqrt 3x​$
∵$​CD=BC-BD=\sqrt 3x-x=20​$
∴$​(\sqrt 3-1)x=20​$
$​x=10\sqrt 3+10​$
答：山高​AB​为$​(10\sqrt 3+10)​$米。

【解析】
设山高$AB$为$x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=45^{\circ}$，故$BD=AB=x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=30^{\circ}$，由$\tan C=\frac{AB}{BC}$，得$BC=\frac{AB}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
因为$CD=BC-BD=20\ \mathrm{m}$，所以$\sqrt{3}x - x=20$，即$(\sqrt{3}-1)x=20$。
解得$x=\frac{20}{\sqrt{3}-1}=10\sqrt{3}+10$。
【答案】
山高$AB$为$(10\sqrt{3}+10)$米。
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值
【点评】
本题通过构造直角三角形，结合仰角定义与特殊角的三角函数值，将线段长度用未知数表示，再根据已知线段长度列方程求解，体现了方程思想在解直角三角形问题中的应用。

4. 如图，在半径为 $ 20 \, \mathrm{km} $ 的暗礁群的中央 $ P $ 处建有一座灯塔，一艘货轮由东向西航行，第一次在 $ A $ 处观测此灯塔在北偏西 $ 60^{\circ} $，航行了 $ 20 \, \mathrm{km} $ 后到达 $ B $ 处，观测到灯塔在北偏西 $ 30^{\circ} $。问：货轮继续沿原方向航行有无触礁的危险？

解：​∠PAB=90°-60°=30°​
​∠P=60°-∠PAB=30°=∠PAB​
∴​PB=BA=20​
设点​P​到​AB​的距离为$​h\mathrm {km}​$
则$​h=PB · sin 60°=10\sqrt 3＜20​$
答：有触礁的危险。

【解析】
1. 根据方位角的定义，计算角度：$∠ PAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$；
2. 由B处观测的方位角可得$∠ PBH = 60^{\circ}$，进而推出$∠ P = 60^{\circ} - ∠ PAB = 30^{\circ}$，因此$∠ P = ∠ PAB$，根据等腰三角形的判定，得$PB = BA = 20\ \mathrm{km}$；
3. 过点$P$作$PH ⊥ AB$于$H$，设$PH = h\ \mathrm{km}$，在$\mathrm{Rt}△ PBH$中，$h = PB · \sin60^{\circ} = 20 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$；
4. 比较距离：$10\sqrt{3} \approx 17.32 ＜ 20$，故货轮继续航行有触礁危险。
【答案】
有触礁的危险
【知识点】
等腰三角形判定、解直角三角形、方位角应用
【点评】
本题将方位角转化为三角形内角，结合等腰三角形判定与解直角三角形，通过计算点到直线的距离与暗礁群半径比较，判断是否触礁，考查了方位角的理解和直角三角形的实际应用能力。