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3. 项目学习小组，将一个瓶身为柱状体的空塑料瓶，去掉瓶盖及上端，在瓶底处系上一块质量合适的石块，做好密封，然后将其放置在盛有适量水的容器里，即可制作出浮力秤，其总质量为25 g。不放物体时，待浮力秤静止，液面对应瓶子的位置标记为“0”刻度，如图所示。（g 取10 N/kg，$\rho_{\mathrm{水}}=1.0\ \mathrm{g/cm}^{3}$）
（1）空载时浮力秤所受的浮力是多少？
（2）若浮力秤圆柱状部分的横截面积为40 cm²，则图中“2”刻度右边对应的质量应标上多少？
（3）将该浮力秤放在水中时，液面距离瓶底的距离为$h_{1}$，若在某液体中液面距离瓶底的距离为$h_{2}$，则该液体的密度$\rho_{\mathrm{液}}$是多少？（忽略石块的体积，用物理量符号$\rho_{\mathrm{水}}$、$h_{1}$、$h_{2}$表示$\rho_{\mathrm{液}}$）
（1）空载时浮力秤所受的浮力是多少？
（2）若浮力秤圆柱状部分的横截面积为40 cm²，则图中“2”刻度右边对应的质量应标上多少？
（3）将该浮力秤放在水中时，液面距离瓶底的距离为$h_{1}$，若在某液体中液面距离瓶底的距离为$h_{2}$，则该液体的密度$\rho_{\mathrm{液}}$是多少？（忽略石块的体积，用物理量符号$\rho_{\mathrm{水}}$、$h_{1}$、$h_{2}$表示$\rho_{\mathrm{液}}$）
答案
（1）空载时浮力秤漂浮，依据平衡条件可知$F_{浮} = G_{秤} = m_{秤}g = 0.025kg × 10N/kg = 0.25N$ （2）浮力秤浸到“2”刻度漂浮时，秤内被测物的质量为$m_{测}$，依据漂浮时受力平衡，不放被测物时$G_{秤} = F_{浮} = \rho_{水}gV_{0}$，放入被测物时，$F_{浮}' = G_{秤} + m_{测}g$，由阿基米德原理可知$F_{浮}' = \rho_{水}gV_{0} + \rho_{水}g\Delta V_{排}$，则$G_{秤} + m_{测}g = \rho_{水}gV_{0} + \rho_{水}g\Delta V_{排}$，即$m_{测}g = \rho_{水}gV_{0} + \rho_{水}g\Delta V_{排} - G_{秤} = \rho_{水}gV_{0} + \rho_{水}g\Delta V_{排} - F_{浮} = \rho_{水}gV_{0} + \rho_{水}g\Delta V_{排} - \rho_{水}gV_{0}$，$m_{测} = \rho_{水}\Delta V_{排} = \rho_{水}S\Delta h = 1.0g/cm^{3} × 40cm^{2} × 2cm = 80g$ （3）在水和液体中浮力秤均漂浮，浮力等于重力，则$\rho_{水}gSh_{1} = \rho_{液}gSh_{2}$，故$\rho_{液} = \rho_{水}\frac{h_{1}}{h_{2}}$
解析
【分析】
1. 第（1）问：空载时浮力秤静止在水中，处于漂浮状态，根据漂浮条件，浮力等于自身重力，因此先计算浮力秤的重力，即可得到空载时的浮力。
2. 第（2）问：放入被测物体后，浮力秤仍漂浮，此时浮力等于浮力秤重力与被测物体重力之和。结合阿基米德原理，浮力的增加量等于被测物体的重力，进而推导得出被测物体的质量等于排开水的质量，利用排开水的体积（横截面积×刻度高度变化）和水的密度计算出物体质量。
3. 第（3）问：浮力秤在水和待测液体中均漂浮，浮力都等于总重力，根据阿基米德原理分别列出两次的浮力表达式，联立即可推导出液体密度的表达式。
【解析】
（1）空载时浮力秤漂浮，根据漂浮条件$F_{浮}=G_{秤}$，
已知浮力秤总质量$m_{秤}=25g=0.025kg$，
则$G_{秤}=m_{秤}g=0.025kg×10N/kg=0.25N$，
所以空载时浮力$F_{浮}=0.25N$。
（2）设被测物体质量为$m_{测}$，放入物体后浮力秤仍漂浮，此时浮力$F_{浮}'=G_{秤}+m_{测}g$。
由阿基米德原理可知，空载时$G_{秤}=F_{浮}=\rho_{水}gV_{0}$，放入物体后$F_{浮}'=\rho_{水}g(V_{0}+\Delta V_{排})$，
联立可得：$G_{秤}+m_{测}g=\rho_{水}g(V_{0}+\Delta V_{排})$，
代入$G_{秤}=\rho_{水}gV_{0}$，化简得$m_{测}g=\rho_{水}g\Delta V_{排}$，即$m_{测}=\rho_{水}\Delta V_{排}$。
已知圆柱状部分横截面积$S=40cm^{2}$，刻度高度$\Delta h=2cm$，则$\Delta V_{排}=S\Delta h=40cm^{2}×2cm=80cm^{3}$，
所以$m_{测}=\rho_{水}\Delta V_{排}=1.0g/cm^{3}×80cm^{3}=80g$。
（3）浮力秤在水中和待测液体中均漂浮，浮力等于总重力，即$F_{浮水}=F_{浮液}=G_{总}$。
根据阿基米德原理：
在水中时，$F_{浮水}=\rho_{水}gSh_{1}$；
在液体中时，$F_{浮液}=\rho_{液}gSh_{2}$；
联立可得$\rho_{水}gSh_{1}=\rho_{液}gSh_{2}$，
约去$g$和$S$，解得$\rho_{液}=\rho_{水}\frac{h_{1}}{h_{2}}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{0.25N}$
（2）$\boldsymbol{80g}$
（3）$\boldsymbol{\rho_{液}=\rho_{水}\frac{h_{1}}{h_{2}}}$
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、密度公式应用
【点评】
本题综合考查浮力相关知识，核心是利用漂浮条件和阿基米德原理分析浮力秤的工作原理，需要学生理清物体的受力情况，灵活运用公式进行推导和计算，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 第（1）问：空载时浮力秤静止在水中，处于漂浮状态，根据漂浮条件，浮力等于自身重力，因此先计算浮力秤的重力，即可得到空载时的浮力。
2. 第（2）问：放入被测物体后，浮力秤仍漂浮，此时浮力等于浮力秤重力与被测物体重力之和。结合阿基米德原理，浮力的增加量等于被测物体的重力，进而推导得出被测物体的质量等于排开水的质量，利用排开水的体积（横截面积×刻度高度变化）和水的密度计算出物体质量。
3. 第（3）问：浮力秤在水和待测液体中均漂浮，浮力都等于总重力，根据阿基米德原理分别列出两次的浮力表达式，联立即可推导出液体密度的表达式。
【解析】
（1）空载时浮力秤漂浮，根据漂浮条件$F_{浮}=G_{秤}$，
已知浮力秤总质量$m_{秤}=25g=0.025kg$，
则$G_{秤}=m_{秤}g=0.025kg×10N/kg=0.25N$，
所以空载时浮力$F_{浮}=0.25N$。
（2）设被测物体质量为$m_{测}$，放入物体后浮力秤仍漂浮，此时浮力$F_{浮}'=G_{秤}+m_{测}g$。
由阿基米德原理可知，空载时$G_{秤}=F_{浮}=\rho_{水}gV_{0}$，放入物体后$F_{浮}'=\rho_{水}g(V_{0}+\Delta V_{排})$，
联立可得：$G_{秤}+m_{测}g=\rho_{水}g(V_{0}+\Delta V_{排})$，
代入$G_{秤}=\rho_{水}gV_{0}$，化简得$m_{测}g=\rho_{水}g\Delta V_{排}$，即$m_{测}=\rho_{水}\Delta V_{排}$。
已知圆柱状部分横截面积$S=40cm^{2}$，刻度高度$\Delta h=2cm$，则$\Delta V_{排}=S\Delta h=40cm^{2}×2cm=80cm^{3}$，
所以$m_{测}=\rho_{水}\Delta V_{排}=1.0g/cm^{3}×80cm^{3}=80g$。
（3）浮力秤在水中和待测液体中均漂浮，浮力等于总重力，即$F_{浮水}=F_{浮液}=G_{总}$。
根据阿基米德原理：
在水中时，$F_{浮水}=\rho_{水}gSh_{1}$；
在液体中时，$F_{浮液}=\rho_{液}gSh_{2}$；
联立可得$\rho_{水}gSh_{1}=\rho_{液}gSh_{2}$，
约去$g$和$S$，解得$\rho_{液}=\rho_{水}\frac{h_{1}}{h_{2}}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{0.25N}$
（2）$\boldsymbol{80g}$
（3）$\boldsymbol{\rho_{液}=\rho_{水}\frac{h_{1}}{h_{2}}}$
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、密度公式应用
【点评】
本题综合考查浮力相关知识，核心是利用漂浮条件和阿基米德原理分析浮力秤的工作原理，需要学生理清物体的受力情况，灵活运用公式进行推导和计算，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
4. （2025·宿迁校级一模）如图甲所示，在容器底部固定一个轻质弹簧，在弹簧上端连有一棱长为0.1 m的实心正方体物块A，当容器中水的深度为20 cm时，物块A有$\frac{3}{5}$的体积露出水面，此时弹簧恰好处于自然伸长状态。求：（已知水的密度为$1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$，g 取10 N/kg）
（1）物块A受到的浮力。
（2）物块A的密度。
（3）往容器中缓慢加水（水未溢出）至物块A恰好浸没时水面升高的高度（整个过程弹簧受到的拉力跟弹簧的伸长量的关系如图乙所示）。
（1）物块A受到的浮力。
（2）物块A的密度。
（3）往容器中缓慢加水（水未溢出）至物块A恰好浸没时水面升高的高度（整个过程弹簧受到的拉力跟弹簧的伸长量的关系如图乙所示）。
答案
（1）正方体物块$A$的体积$V = (0.1m)^{3} = 0.001m^{3}$，排开水的体积$V_{排} = V - V_{露} = V - \frac{3}{5}V = \frac{2}{5}V = \frac{2}{5} × 0.001m^{3} = 4 × 10^{-4}m^{3}$，所以物块$A$受到的浮力$F_{浮} = \rho_{水}gV_{排} = 1 × 10^{3}kg/m^{3} × 10N/kg × 4 × 10^{-4}m^{3} = 4N$ （2）弹簧恰好处于自然状态时没有发生形变，此时物块漂浮，所以$F_{浮} = G$，即$\rho_{水}gV_{排} = \rho_{物}gV$，所以物块$A$的密度$\rho_{物} = \frac{V_{排}}{V}\rho_{水} = \frac{2}{5} × 1 × 10^{3}kg/m^{3} = 0.4 × 10^{3}kg/m^{3}$ （3）物块$A$刚好浸没时，弹簧的拉力$F_{1} = F_{浮}' - G = \rho_{水}gV - \rho_{物}gV = 1 × 10^{3}kg/m^{3} × 10N/kg × 0.001m^{3} - 0.4 × 10^{3}kg/m^{3} × 10N/kg × 0.001m^{3} = 6N$，由图乙可知，此时弹簧伸长了$6cm$，当容器中水的深度为$20cm$时，物块$A$有$\frac{3}{5}$的体积露出水面，此时弹簧恰好处于自然伸长状态，则弹簧的原长$L_{0} = h_{1} - h_{A浸} = 20cm - (1 - \frac{3}{5}) × 10cm = 16cm$，所以，物块$A$刚好浸没时弹簧的长度$L' = L_{0} + \Delta L = 16cm + 6cm = 22cm$；则浸没时水面的高度$h_{2} = L' + L_{A} = 22cm + 10cm = 32cm$，所以水面升高的高度$\Delta h = h_{2} - h_{1} = 32cm - 20cm = 12cm$
解析
【分析】
1. 第（1）问：先根据正方体棱长计算物块总体积，结合露出水面的体积比例求出排开水的体积，再利用阿基米德原理计算浮力。
2. 第（2）问：弹簧自然伸长时物块漂浮，浮力等于重力，通过浮力与重力的等量关系推导物块密度。
3. 第（3）问：先计算物块完全浸没时浮力与重力的差值得到弹簧拉力，结合图像找到对应伸长量；再根据初始状态算出弹簧原长，进而得到浸没时弹簧长度和水面高度，最终求出水面升高的高度。
【解析】
（1）计算物块A的体积：
正方体物块A的棱长$a=0.1\ \mathrm{m}$，则体积$V=a^{3}=(0.1\ \mathrm{m})^{3}=0.001\ \mathrm{m}^{3}$。
物块排开水的体积：
已知物块有$\frac{3}{5}$的体积露出水面，所以$V_{排}=V-\frac{3}{5}V=\frac{2}{5}V=\frac{2}{5}×0.001\ \mathrm{m}^{3}=4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}$。
根据阿基米德原理计算浮力：
$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}=4\ \mathrm{N}$。
（2）弹簧处于自然伸长状态，物块漂浮，浮力等于重力，即$F_{浮}=G$，则：
$\rho_{水}gV_{排}=\rho_{物}gV$
变形可得物块的密度：
$\rho_{物}=\frac{V_{排}}{V}\rho_{水}=\frac{2}{5}×1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}=0.4×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
（3）物块A恰好浸没时，受到的浮力：
$F_{浮}'=\rho_{水}gV=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.001\ \mathrm{m}^{3}=10\ \mathrm{N}$
物块的重力：
$G=\rho_{物}gV=0.4×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.001\ \mathrm{m}^{3}=4\ \mathrm{N}$
弹簧的拉力：
$F_{1}=F_{浮}'-G=10\ \mathrm{N}-4\ \mathrm{N}=6\ \mathrm{N}$
由图乙可知，当拉力为6N时，弹簧的伸长量$\Delta L=6\ \mathrm{cm}$。
计算弹簧的原长：
初始时水的深度$h_{1}=20\ \mathrm{cm}$，物块浸入水中的深度$h_{A浸}=(1-\frac{3}{5})×10\ \mathrm{cm}=4\ \mathrm{cm}$，则弹簧原长$L_{0}=h_{1}-h_{A浸}=20\ \mathrm{cm}-4\ \mathrm{cm}=16\ \mathrm{cm}$。
物块浸没时弹簧的长度：
$L'=L_{0}+\Delta L=16\ \mathrm{cm}+6\ \mathrm{cm}=22\ \mathrm{cm}$
此时水面的高度：
$h_{2}=L'+L_{A}=22\ \mathrm{cm}+10\ \mathrm{cm}=32\ \mathrm{cm}$
水面升高的高度：
$\Delta h=h_{2}-h_{1}=32\ \mathrm{cm}-20\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
（1）物块A受到的浮力为$\boldsymbol{4\ \mathrm{N}}$；
（2）物块A的密度为$\boldsymbol{0.4×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}}$；
（3）水面升高的高度为$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
阿基米德原理、物体的浮沉条件、弹簧弹力与伸长量的关系
【点评】
本题综合考查浮力、浮沉条件与弹簧弹力的相关知识，需要结合图像分析物理过程，注重物理量间的逻辑推导，对学生的综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 第（1）问：先根据正方体棱长计算物块总体积，结合露出水面的体积比例求出排开水的体积，再利用阿基米德原理计算浮力。
2. 第（2）问：弹簧自然伸长时物块漂浮，浮力等于重力，通过浮力与重力的等量关系推导物块密度。
3. 第（3）问：先计算物块完全浸没时浮力与重力的差值得到弹簧拉力，结合图像找到对应伸长量；再根据初始状态算出弹簧原长，进而得到浸没时弹簧长度和水面高度，最终求出水面升高的高度。
【解析】
（1）计算物块A的体积：
正方体物块A的棱长$a=0.1\ \mathrm{m}$，则体积$V=a^{3}=(0.1\ \mathrm{m})^{3}=0.001\ \mathrm{m}^{3}$。
物块排开水的体积：
已知物块有$\frac{3}{5}$的体积露出水面，所以$V_{排}=V-\frac{3}{5}V=\frac{2}{5}V=\frac{2}{5}×0.001\ \mathrm{m}^{3}=4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}$。
根据阿基米德原理计算浮力：
$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}=4\ \mathrm{N}$。
（2）弹簧处于自然伸长状态，物块漂浮，浮力等于重力，即$F_{浮}=G$，则：
$\rho_{水}gV_{排}=\rho_{物}gV$
变形可得物块的密度：
$\rho_{物}=\frac{V_{排}}{V}\rho_{水}=\frac{2}{5}×1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}=0.4×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
（3）物块A恰好浸没时，受到的浮力：
$F_{浮}'=\rho_{水}gV=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.001\ \mathrm{m}^{3}=10\ \mathrm{N}$
物块的重力：
$G=\rho_{物}gV=0.4×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.001\ \mathrm{m}^{3}=4\ \mathrm{N}$
弹簧的拉力：
$F_{1}=F_{浮}'-G=10\ \mathrm{N}-4\ \mathrm{N}=6\ \mathrm{N}$
由图乙可知，当拉力为6N时，弹簧的伸长量$\Delta L=6\ \mathrm{cm}$。
计算弹簧的原长：
初始时水的深度$h_{1}=20\ \mathrm{cm}$，物块浸入水中的深度$h_{A浸}=(1-\frac{3}{5})×10\ \mathrm{cm}=4\ \mathrm{cm}$，则弹簧原长$L_{0}=h_{1}-h_{A浸}=20\ \mathrm{cm}-4\ \mathrm{cm}=16\ \mathrm{cm}$。
物块浸没时弹簧的长度：
$L'=L_{0}+\Delta L=16\ \mathrm{cm}+6\ \mathrm{cm}=22\ \mathrm{cm}$
此时水面的高度：
$h_{2}=L'+L_{A}=22\ \mathrm{cm}+10\ \mathrm{cm}=32\ \mathrm{cm}$
水面升高的高度：
$\Delta h=h_{2}-h_{1}=32\ \mathrm{cm}-20\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
（1）物块A受到的浮力为$\boldsymbol{4\ \mathrm{N}}$；
（2）物块A的密度为$\boldsymbol{0.4×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}}$；
（3）水面升高的高度为$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
阿基米德原理、物体的浮沉条件、弹簧弹力与伸长量的关系
【点评】
本题综合考查浮力、浮沉条件与弹簧弹力的相关知识，需要结合图像分析物理过程，注重物理量间的逻辑推导，对学生的综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
