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1. (2024·六安)若$x = - 1是方程2x + m - 6 = 0$的解,则$m$的值是( )
A.$- 4$
B.$4$
C.$- 8$
D.$8$
A.$- 4$
B.$4$
C.$- 8$
D.$8$
答案
D
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先明确方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=-1是给定方程的解，因此将x=-1代入原方程后等式仍然成立，会得到一个仅含未知数m的一元一次方程；接下来解这个新的一元一次方程，就能求出m的取值。
【解析】
把x=-1代入方程2x + m - 6 = 0，可得：
$\begin{aligned}2×(-1) + m -6 &= 0 \\-2 + m -6 &= 0 \\m -8 &= 0 \\m &=8\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，核心考查方程解的应用，只要掌握“将方程的解代入原方程等式成立”的规律，即可快速列式求解，计算难度低，易得分。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为两步：首先明确方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=-1是给定方程的解，因此将x=-1代入原方程后等式仍然成立，会得到一个仅含未知数m的一元一次方程；接下来解这个新的一元一次方程，就能求出m的取值。
【解析】
把x=-1代入方程2x + m - 6 = 0，可得：
$\begin{aligned}2×(-1) + m -6 &= 0 \\-2 + m -6 &= 0 \\m -8 &= 0 \\m &=8\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，核心考查方程解的应用，只要掌握“将方程的解代入原方程等式成立”的规律，即可快速列式求解，计算难度低，易得分。
【难度系数】
0.9
2. 有下列方程：①$3x - y = 2$；②$x + \frac{1}{x} + 2 = 0$；③$\frac{x}{2} = 1$；④$x = 0$；⑤$3x - 1 \geq 5$；⑥$x^{2} - 2x - 3 = 0$；⑦$\frac{2x + 1}{3} = \frac{1}{6}x$。其中一元一次方程有( )
A.$5$个
B.$4$个
C.$3$个
D.$2$个
A.$5$个
B.$4$个
C.$3$个
D.$2$个
答案
C
解析
【分析】
解本题的核心是先明确一元一次方程的三个判定条件：1. 只含有1个未知数；2. 未知数的最高次数为1；3. 等号两边都是整式（分母不含未知数）。接下来我们逐个验证题干给出的式子，排除不符合条件的，统计符合一元一次方程定义的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的等式叫做一元一次方程。
逐个分析每个式子：
①$3x - y = 2$：含有x、y两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不是一元一次方程；
②$x + \frac{1}{x} + 2 = 0$：分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
③$\frac{x}{2} = 1$：只含未知数x，x的最高次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程定义；
④$x = 0$：只含未知数x，x的最高次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程定义；
⑤$3x - 1 ≥ 5$：是不等式，不是等式，不属于方程，不符合要求；
⑥$x^{2} - 2x - 3 = 0$：未知数x的最高次数为2，属于一元二次方程，不符合要求；
⑦$\frac{2x + 1}{3} = \frac{1}{6}x$：只含未知数x，x的最高次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程定义。
综上，符合条件的一元一次方程是③④⑦，共3个。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的判定、整式的概念、方程与不等式的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握一元一次方程的三个核心判定条件，注意区分分式方程、高次方程、不等式等易混概念，避免因概念记忆模糊出错。
【难度系数】
0.7
解本题的核心是先明确一元一次方程的三个判定条件：1. 只含有1个未知数；2. 未知数的最高次数为1；3. 等号两边都是整式（分母不含未知数）。接下来我们逐个验证题干给出的式子，排除不符合条件的，统计符合一元一次方程定义的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的等式叫做一元一次方程。
逐个分析每个式子：
①$3x - y = 2$：含有x、y两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不是一元一次方程；
②$x + \frac{1}{x} + 2 = 0$：分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
③$\frac{x}{2} = 1$：只含未知数x，x的最高次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程定义；
④$x = 0$：只含未知数x，x的最高次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程定义；
⑤$3x - 1 ≥ 5$：是不等式，不是等式，不属于方程，不符合要求；
⑥$x^{2} - 2x - 3 = 0$：未知数x的最高次数为2，属于一元二次方程，不符合要求；
⑦$\frac{2x + 1}{3} = \frac{1}{6}x$：只含未知数x，x的最高次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程定义。
综上，符合条件的一元一次方程是③④⑦，共3个。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的判定、整式的概念、方程与不等式的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握一元一次方程的三个核心判定条件，注意区分分式方程、高次方程、不等式等易混概念，避免因概念记忆模糊出错。
【难度系数】
0.7
3. 小明解方程时,不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚,被污染的方程是$2y - 1 = y - ●$。怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案,知此方程的解是$y = - 3$,于是小明很快补上了这个常数,这个常数应是______。
答案
4
解析
【分析】
方程的解是能让方程左右两边相等的未知数的值，要计算被污染的常数，我们可以先设这个常数为未知参数，再把已知的方程解$y=-3$代入原方程，就能得到一个关于这个未知参数的一元一次方程，解这个方程即可求出常数的值。
【解析】
设被污染的常数为$a$。
已知$y=-3$是方程$2y - 1 = y - a$的解，将$y=-3$代入方程，可得：
$\begin{aligned}2×(-3)-1&=-3 -a\\-6-1&=-3 -a\\-7&=-3 -a\end{aligned}$
移项计算得：
$a=-3+7=4$
【答案】
4
【知识点】
方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是方程类的基础题型，核心考查方程解的概念的应用，将已知解代入原方程求未知参数是方程问题中非常常用的解题思路，掌握该方法就能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
方程的解是能让方程左右两边相等的未知数的值，要计算被污染的常数，我们可以先设这个常数为未知参数，再把已知的方程解$y=-3$代入原方程，就能得到一个关于这个未知参数的一元一次方程，解这个方程即可求出常数的值。
【解析】
设被污染的常数为$a$。
已知$y=-3$是方程$2y - 1 = y - a$的解，将$y=-3$代入方程，可得：
$\begin{aligned}2×(-3)-1&=-3 -a\\-6-1&=-3 -a\\-7&=-3 -a\end{aligned}$
移项计算得：
$a=-3+7=4$
【答案】
4
【知识点】
方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是方程类的基础题型，核心考查方程解的概念的应用，将已知解代入原方程求未知参数是方程问题中非常常用的解题思路，掌握该方法就能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
4. 已知方程$(m - 3)x^{\vert m\vert - 2} - 5 = 0是关于x$的一元一次方程。
(1)求$m$的值,并写出这个方程；
(2)判断$x = - 1$,$x = -\frac{5}{6}$,$x = - 9$是不是方程的解。
(1)求$m$的值,并写出这个方程；
(2)判断$x = - 1$,$x = -\frac{5}{6}$,$x = - 9$是不是方程的解。
答案
(1)因为(m-3)x^|m|-2 -5=0是关于x的一元一次方程,所以m-3≠0且|m|-2=1,解得m=-3.把m=-3代入,得此方程为-6x-5=0.
(2)分别把x=-1,x=-5/6,x=-9代入原方程,得x=-5/6使方程左边=右边,所以x=-5/6是方程的解,x=-1,x=-9不是方程的解.
解析
【分析】
解决第(1)问需紧扣一元一次方程的定义：一元一次方程需满足三个条件：①只含1个未知数，②未知数的最高次数为1，③未知数的系数不为0。结合题目条件，可得x的指数|m|-2=1，且x的系数m-3≠0，联立两个条件即可求出m的值，代入原式就能得到对应的方程。第(2)问判断某数是否为方程的解，采用代入检验法即可：将x的取值代入方程左边计算结果，与右边的数值比较，若相等则是方程的解，反之则不是。
【解析】
(1) 因为方程$(m - 3)x^{\vert m\vert - 2} - 5 = 0$是关于x的一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}m - 3 ≠ 0 \\ |m| - 2 = 1\end{cases}$
解$|m| - 2 = 1$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$；
结合$m - 3 ≠ 0$，即$m ≠ 3$，因此$m=-3$。
将$m=-3$代入原方程，得：$(-3 - 3)x - 5 = 0$，即$-6x - 5 = 0$。
(2) 分别将三个x值代入方程$-6x - 5 = 0$的左边计算：
① 当$x=-1$时，左边$=-6×(-1) - 5 = 6 - 5 = 1$，右边$=0$，左边≠右边，因此$x=-1$不是方程的解；
② 当$x=-\frac{5}{6}$时，左边$=-6×(-\frac{5}{6}) - 5 = 5 - 5 = 0$，右边$=0$，左边=右边，因此$x=-\frac{5}{6}$是方程的解；
③ 当$x=-9$时，左边$=-6×(-9) - 5 = 54 - 5 = 49$，右边$=0$，左边≠右边，因此$x=-9$不是方程的解。
【答案】
(1)$m=-3$，方程为$-6x - 5 = 0$；
(2)$x=-\frac{5}{6}$是方程的解，$x=-1$、$x=-9$不是方程的解。
【知识点】
1.一元一次方程的定义
2.方程的解的判定
【点评】
本题侧重考查一元一次方程的基础概念，解题时需注意不要遗漏一次项系数不为0的限制条件，代入检验法是判断方程解的常用方法，属于概念应用型题目。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问需紧扣一元一次方程的定义：一元一次方程需满足三个条件：①只含1个未知数，②未知数的最高次数为1，③未知数的系数不为0。结合题目条件，可得x的指数|m|-2=1，且x的系数m-3≠0，联立两个条件即可求出m的值，代入原式就能得到对应的方程。第(2)问判断某数是否为方程的解，采用代入检验法即可：将x的取值代入方程左边计算结果，与右边的数值比较，若相等则是方程的解，反之则不是。
【解析】
(1) 因为方程$(m - 3)x^{\vert m\vert - 2} - 5 = 0$是关于x的一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}m - 3 ≠ 0 \\ |m| - 2 = 1\end{cases}$
解$|m| - 2 = 1$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$；
结合$m - 3 ≠ 0$，即$m ≠ 3$，因此$m=-3$。
将$m=-3$代入原方程，得：$(-3 - 3)x - 5 = 0$，即$-6x - 5 = 0$。
(2) 分别将三个x值代入方程$-6x - 5 = 0$的左边计算：
① 当$x=-1$时，左边$=-6×(-1) - 5 = 6 - 5 = 1$，右边$=0$，左边≠右边，因此$x=-1$不是方程的解；
② 当$x=-\frac{5}{6}$时，左边$=-6×(-\frac{5}{6}) - 5 = 5 - 5 = 0$，右边$=0$，左边=右边，因此$x=-\frac{5}{6}$是方程的解；
③ 当$x=-9$时，左边$=-6×(-9) - 5 = 54 - 5 = 49$，右边$=0$，左边≠右边，因此$x=-9$不是方程的解。
【答案】
(1)$m=-3$，方程为$-6x - 5 = 0$；
(2)$x=-\frac{5}{6}$是方程的解，$x=-1$、$x=-9$不是方程的解。
【知识点】
1.一元一次方程的定义
2.方程的解的判定
【点评】
本题侧重考查一元一次方程的基础概念，解题时需注意不要遗漏一次项系数不为0的限制条件，代入检验法是判断方程解的常用方法，属于概念应用型题目。
【难度系数】
0.8
5. (易错题)有下列说法：
①若$a + b = 0$,且$ab \neq 0$,则$x = 1是方程ax + b = 0$的解；
②若$a - b = 0$,且$ab \neq 0$,则$x = - 1是方程ax + b = 0$的解；
③若$ax + b = 0$,则$x = 0是方程ax + b = 0$的解。
其中正确的说法是( )
A.只有①②
B.只有①③
C.只有②③
D.①②③
①若$a + b = 0$,且$ab \neq 0$,则$x = 1是方程ax + b = 0$的解；
②若$a - b = 0$,且$ab \neq 0$,则$x = - 1是方程ax + b = 0$的解；
③若$ax + b = 0$,则$x = 0是方程ax + b = 0$的解。
其中正确的说法是( )
A.只有①②
B.只有①③
C.只有②③
D.①②③
答案
A
解析
【分析】
要判断题目中的三个说法是否正确，核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时我们逐个分析每个说法：首先结合给出的a、b的关系，再把对应的x值代入方程ax+b=0，验证左边计算结果是否等于右边的0即可，同时注意ab≠0的条件说明a、b均不为0，可排除系数为0的特殊情况。
【解析】
我们逐个验证3个说法：
1. 验证说法①：
已知a+b=0，且ab≠0，说明a≠0，b≠0。把x=1代入方程ax+b=0的左边，得左边=a×1 + b = a+b = 0，和右边相等，因此x=1是方程ax+b=0的解，①正确。
2. 验证说法②：
已知a-b=0，即a=b，且ab≠0，说明a≠0，b≠0。把x=-1代入方程ax+b=0的左边，得左边=a×(-1) + b = -a + b，因为a=b，所以-a+b = -b + b = 0，和右边相等，因此x=-1是方程ax+b=0的解，②正确。
3. 验证说法③：
方程ax+b=0中，并没有给出a、b的取值限制。如果把x=0代入左边，得左边=a×0 + b = b，只有当b=0时左边才等于0，题目没有说明b=0，因此x=0不一定是该方程的解，③错误。
综上，正确的说法是①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 代入法验证方程的解
【点评】
本题属于易错题，易错点是判断③时默认b=0，忽略了题目没有给出a、b的取值限制。解题关键是牢记验证方程的解的核心方法：将未知数的值代入方程，判断左右两边是否相等，不要仅凭经验臆断。
【难度系数】
0.7
要判断题目中的三个说法是否正确，核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时我们逐个分析每个说法：首先结合给出的a、b的关系，再把对应的x值代入方程ax+b=0，验证左边计算结果是否等于右边的0即可，同时注意ab≠0的条件说明a、b均不为0，可排除系数为0的特殊情况。
【解析】
我们逐个验证3个说法：
1. 验证说法①：
已知a+b=0，且ab≠0，说明a≠0，b≠0。把x=1代入方程ax+b=0的左边，得左边=a×1 + b = a+b = 0，和右边相等，因此x=1是方程ax+b=0的解，①正确。
2. 验证说法②：
已知a-b=0，即a=b，且ab≠0，说明a≠0，b≠0。把x=-1代入方程ax+b=0的左边，得左边=a×(-1) + b = -a + b，因为a=b，所以-a+b = -b + b = 0，和右边相等，因此x=-1是方程ax+b=0的解，②正确。
3. 验证说法③：
方程ax+b=0中，并没有给出a、b的取值限制。如果把x=0代入左边，得左边=a×0 + b = b，只有当b=0时左边才等于0，题目没有说明b=0，因此x=0不一定是该方程的解，③错误。
综上，正确的说法是①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 代入法验证方程的解
【点评】
本题属于易错题，易错点是判断③时默认b=0，忽略了题目没有给出a、b的取值限制。解题关键是牢记验证方程的解的核心方法：将未知数的值代入方程，判断左右两边是否相等，不要仅凭经验臆断。
【难度系数】
0.7
6. 若$x = 2是关于x的一元一次方程ax - b - 4 = 0$的解,则$1 - 4a + 2b$的值是______。
答案
-7
解析
【分析】
解题的核心思路是先利用一元一次方程解的定义，将x=2代入已知方程得到a与b的数量关系，再观察所求代数式的结构特征，对得到的数量关系变形后整体代入计算即可，无需单独求出a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵x=2是关于x的一元一次方程$ax - b - 4 = 0$的解
∴将x=2代入方程得：$2a - b - 4 = 0$
整理可得：$2a - b = 4$
对所求代数式变形：
$1 - 4a + 2b = 1 - 2(2a - b)$
将$2a - b = 4$代入上式：
原式$=1 - 2×4 = 1 - 8 = -7$
【答案】
-7
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题重点考察方程解的应用和整体代入的数学思想，解题关键是通过方程的解得到a、b的关系式，再结合所求代数式的结构做整体代入，能有效减少计算量，避免不必要的复杂运算。
【难度系数】
0.7
解题的核心思路是先利用一元一次方程解的定义，将x=2代入已知方程得到a与b的数量关系，再观察所求代数式的结构特征，对得到的数量关系变形后整体代入计算即可，无需单独求出a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵x=2是关于x的一元一次方程$ax - b - 4 = 0$的解
∴将x=2代入方程得：$2a - b - 4 = 0$
整理可得：$2a - b = 4$
对所求代数式变形：
$1 - 4a + 2b = 1 - 2(2a - b)$
将$2a - b = 4$代入上式：
原式$=1 - 2×4 = 1 - 8 = -7$
【答案】
-7
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题重点考察方程解的应用和整体代入的数学思想，解题关键是通过方程的解得到a、b的关系式，再结合所求代数式的结构做整体代入，能有效减少计算量，避免不必要的复杂运算。
【难度系数】
0.7
7. (1)若方程$(k - 1)x^{\vert k - 2\vert} = 3是关于x$的一元一次方程,则$k$是( )
A.$1$
B.$2$
C.$- 1$
D.$3$
A.$1$
B.$2$
C.$- 1$
D.$3$
答案
D
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆一元一次方程的核心判定条件：一是只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1；二是含未知数的项的系数不能为0，否则方程将不含未知数。我们先根据次数要求列绝对值方程求出k的可能值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，就能得到正确结果。
【解析】
已知方程$(k - 1)x^{\vert k - 2\vert} = 3$是关于x的一元一次方程，根据定义分步推导：
1. 未知数x的次数为1，可得：
$\vert k - 2\vert = 1$
解绝对值方程：
当$k-2=1$时，$k=3$；当$k-2=-1$时，$k=1$
2. 含x的项的系数不为0，可得：
$k - 1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$
综上排除$k=1$，最终得$k=3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的定义；绝对值方程求解
【点评】
本题考察一元一次方程的基础概念，解题时要注意不要遗漏“一次项系数不为0”的隐含条件，避免误选错误选项。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先回忆一元一次方程的核心判定条件：一是只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1；二是含未知数的项的系数不能为0，否则方程将不含未知数。我们先根据次数要求列绝对值方程求出k的可能值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，就能得到正确结果。
【解析】
已知方程$(k - 1)x^{\vert k - 2\vert} = 3$是关于x的一元一次方程，根据定义分步推导：
1. 未知数x的次数为1，可得：
$\vert k - 2\vert = 1$
解绝对值方程：
当$k-2=1$时，$k=3$；当$k-2=-1$时，$k=1$
2. 含x的项的系数不为0，可得：
$k - 1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$
综上排除$k=1$，最终得$k=3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的定义；绝对值方程求解
【点评】
本题考察一元一次方程的基础概念，解题时要注意不要遗漏“一次项系数不为0”的隐含条件，避免误选错误选项。
【难度系数】
0.7
(2)若方程$(m^{2} - 4)x^{2} - (m - 2)x + 2 = 0是关于x$的一元一次方程,求$m$的值。
答案
因为方程(m²-4)x²-(m-2)x+2=0是关于x的一元一次方程,所以m²-4=0,且-(m-2)≠0,解得m=-2.
解析
【分析】
要判定方程为一元一次方程，需满足三个核心条件：只含1个未知数、未知数的最高次数为1、一次项系数不为0。本题方程中存在$x^2$项，因此首先要让二次项的系数为0，消去二次项，再保证剩下的一次项系数不为0，据此列条件求解即可。
【解析】
解：
∵方程$(m^{2} - 4)x^{2} - (m - 2)x + 2 = 0$是关于$x$的一元一次方程
∴需同时满足二次项系数为0，一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2 - 4 = 0 \\-(m - 2) ≠ 0 \end{cases}$
解$m^2 - 4 = 0$可得$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$；
解$-(m - 2) ≠ 0$可得$m-2≠0$，即$m≠2$。
综上可得$m=-2$。
【答案】
$m=-2$
【知识点】
1.一元一次方程的定义
2.含参数方程求解
【点评】
本题重点考查对一元一次方程概念的理解，易错点是容易遗漏一次项系数不能为0的限制条件，误将$m=2$纳入结果，解题时要全面覆盖一元一次方程的构成条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要判定方程为一元一次方程，需满足三个核心条件：只含1个未知数、未知数的最高次数为1、一次项系数不为0。本题方程中存在$x^2$项，因此首先要让二次项的系数为0，消去二次项，再保证剩下的一次项系数不为0，据此列条件求解即可。
【解析】
解：
∵方程$(m^{2} - 4)x^{2} - (m - 2)x + 2 = 0$是关于$x$的一元一次方程
∴需同时满足二次项系数为0，一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2 - 4 = 0 \\-(m - 2) ≠ 0 \end{cases}$
解$m^2 - 4 = 0$可得$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$；
解$-(m - 2) ≠ 0$可得$m-2≠0$，即$m≠2$。
综上可得$m=-2$。
【答案】
$m=-2$
【知识点】
1.一元一次方程的定义
2.含参数方程求解
【点评】
本题重点考查对一元一次方程概念的理解，易错点是容易遗漏一次项系数不能为0的限制条件，误将$m=2$纳入结果，解题时要全面覆盖一元一次方程的构成条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
