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【例 2】下列方程中哪些是一元一次方程？不是的,请说明理由。
(1)$2x + 1 = 5$；
(2)$\frac{1}{x} + 1 = 5$；
(3)$2x^{2} = 8$；
(4)$\frac{4x + 1}{3} + 2 = 2x$；
(5)$2x + 3y = 2$；
(6)$(m - 3)x = 2$。
(1)$2x + 1 = 5$；
(2)$\frac{1}{x} + 1 = 5$；
(3)$2x^{2} = 8$；
(4)$\frac{4x + 1}{3} + 2 = 2x$；
(5)$2x + 3y = 2$；
(6)$(m - 3)x = 2$。
答案
(1)方程2x+1=5是一元一次方程.
(2)因为1/x+1=5分母中有未知数,所以1/x+1=5不是一元一次方程.
(3)因为2x²=8未知数的次数是2,所以2x²=8不是一元一次方程.
(4)方程(4x+1)/3+2=2x是一元一次方程.
(5)因为2x+3y=2含有两个未知数,所以2x+3y=2不是一元一次方程.
(6)当m=3时,(m-3)x=2不是一元一次方程;当m≠3时,(m-3)x=2是一元一次方程.
解析
【分析】
要判断一个方程是不是一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③等号两边都是整式。解题时我们逐个将6个方程和这三个条件对照，全部满足就是一元一次方程，不符合任意一个就不是，遇到含参数的方程还要讨论未知数的系数是否为0，避免漏判。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。我们逐个判断：
(1) 方程$2x + 1 = 5$：只含有未知数$x$，$x$的次数是1，等号两边都是整式，满足一元一次方程的全部条件，是一元一次方程。
(2) 方程$\frac{1}{x} + 1 = 5$：分母中含有未知数$x$，不属于整式方程，不满足一元一次方程的条件，不是一元一次方程。
(3) 方程$2x^{2} = 8$：未知数$x$的最高次数是2，不满足次数为1的要求，不是一元一次方程。
(4) 方程$\frac{4x + 1}{3} + 2 = 2x$：只含有未知数$x$，化简后$x$的次数是1，等号两边都是整式，满足全部条件，是一元一次方程。
(5) 方程$2x + 3y = 2$：含有$x$、$y$两个未知数，不满足只含1个未知数的要求，不是一元一次方程。
(6) 方程$(m - 3)x = 2$：需要分情况讨论：当$m=3$时，$x$的系数为0，方程变为$0=2$，不成立且不存在一次项，不是一元一次方程；当$m≠3$时，只含有未知数$x$，$x$的次数是1，等号两边都是整式，是一元一次方程。
【答案】
(1)方程$2x+1=5$是一元一次方程.
(2)因为$\frac{1}{x}+1=5$分母中有未知数,所以$\frac{1}{x}+1=5$不是一元一次方程.
(3)因为$2x²=8$未知数的次数是2,所以$2x²=8$不是一元一次方程.
(4)方程$\frac{4x + 1}{3} + 2 = 2x$是一元一次方程.
(5)因为$2x+3y=2$含有两个未知数,所以$2x+3y=2$不是一元一次方程.
(6)当$m=3$时,$(m-3)x=2$不是一元一次方程;当$m≠3$时,$(m-3)x=2$是一元一次方程.
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 整式方程判定
3. 含参数方程分类讨论
【点评】
本题是一元一次方程判定的基础题型，核心是牢记一元一次方程的三个判定要点，尤其要注意区分整式方程和分式方程，不要忽略含参数方程中未知数系数不能为0的前提，避免出现漏判、错判。
【难度系数】
0.7
要判断一个方程是不是一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③等号两边都是整式。解题时我们逐个将6个方程和这三个条件对照，全部满足就是一元一次方程，不符合任意一个就不是，遇到含参数的方程还要讨论未知数的系数是否为0，避免漏判。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。我们逐个判断：
(1) 方程$2x + 1 = 5$：只含有未知数$x$，$x$的次数是1，等号两边都是整式，满足一元一次方程的全部条件，是一元一次方程。
(2) 方程$\frac{1}{x} + 1 = 5$：分母中含有未知数$x$，不属于整式方程，不满足一元一次方程的条件，不是一元一次方程。
(3) 方程$2x^{2} = 8$：未知数$x$的最高次数是2，不满足次数为1的要求，不是一元一次方程。
(4) 方程$\frac{4x + 1}{3} + 2 = 2x$：只含有未知数$x$，化简后$x$的次数是1，等号两边都是整式，满足全部条件，是一元一次方程。
(5) 方程$2x + 3y = 2$：含有$x$、$y$两个未知数，不满足只含1个未知数的要求，不是一元一次方程。
(6) 方程$(m - 3)x = 2$：需要分情况讨论：当$m=3$时，$x$的系数为0，方程变为$0=2$，不成立且不存在一次项，不是一元一次方程；当$m≠3$时，只含有未知数$x$，$x$的次数是1，等号两边都是整式，是一元一次方程。
【答案】
(1)方程$2x+1=5$是一元一次方程.
(2)因为$\frac{1}{x}+1=5$分母中有未知数,所以$\frac{1}{x}+1=5$不是一元一次方程.
(3)因为$2x²=8$未知数的次数是2,所以$2x²=8$不是一元一次方程.
(4)方程$\frac{4x + 1}{3} + 2 = 2x$是一元一次方程.
(5)因为$2x+3y=2$含有两个未知数,所以$2x+3y=2$不是一元一次方程.
(6)当$m=3$时,$(m-3)x=2$不是一元一次方程;当$m≠3$时,$(m-3)x=2$是一元一次方程.
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 整式方程判定
3. 含参数方程分类讨论
【点评】
本题是一元一次方程判定的基础题型，核心是牢记一元一次方程的三个判定要点，尤其要注意区分整式方程和分式方程，不要忽略含参数方程中未知数系数不能为0的前提，避免出现漏判、错判。
【难度系数】
0.7
3. 下列各式中,哪些是等式？哪些是方程？哪些是一元一次方程？
①$\frac{x}{3} = - 2$；
②$9 - 3 = 8 - 2$；
③$x^{2} - x = 0$；
④$2x - 9$；
⑤$\vert xy\vert - 1 = 0$；
⑥$\frac{2y - 1}{2} = \frac{1}{3}$；
⑦$\frac{2}{x} = 2$；
⑧$x + 3 ＞ 2$；
⑨$4z - 3(z + 2) = 1$；
⑩$x = 2$。
①$\frac{x}{3} = - 2$；
②$9 - 3 = 8 - 2$；
③$x^{2} - x = 0$；
④$2x - 9$；
⑤$\vert xy\vert - 1 = 0$；
⑥$\frac{2y - 1}{2} = \frac{1}{3}$；
⑦$\frac{2}{x} = 2$；
⑧$x + 3 ＞ 2$；
⑨$4z - 3(z + 2) = 1$；
⑩$x = 2$。
答案
①②③⑤⑥⑦⑨⑩是等式;①③⑤⑥⑦⑨⑩是方程;①⑥⑨⑩是一元一次方程.
解析
【分析】
解题时需先明确三类式子的核心判定特征，按照“先筛选等式→再从等式中筛选方程→最后从方程中筛选一元一次方程”的层级逻辑逐步判断：1. 等式的核心是含有等号，表示相等关系，先排除无等号、带不等号的式子；2. 方程的核心是“含有未知数+是等式”，从等式中排除不含未知数的纯数字恒等式；3. 一元一次方程的核心是“仅含1个未知数+未知数次数为1+等号两边都是整式+是方程”，再排除不符合要求的方程即可。
【解析】
我们结合定义逐个判断：
1. 判断等式：等式是含有等号、表示相等关系的式子。
观察各式：④是不含等号的代数式，⑧是带“＞”的不等式，均不是等式；其余①②③⑤⑥⑦⑨⑩都含等号，符合等式的特征，是等式。
2. 判断方程：方程是含有未知数的等式。
上述等式中，②是不含未知数的纯数字恒等式（9-3=6，8-2=6），不属于方程；其余①③⑤⑥⑦⑨⑩都含有未知数且是等式，符合方程的特征，是方程。
3. 判断一元一次方程：只含有1个未知数，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程是一元一次方程。
上述方程中：③的未知数最高次数为2，不符合；⑤含2个未知数且乘积项次数为2，不符合；⑦分母含未知数，属于分式方程不是整式方程，不符合；其余①仅含x、次数为1、是整式，⑥仅含y、次数为1、是整式，⑨仅含z、化简后次数为1、是整式，⑩仅含x、次数为1、是整式，均符合一元一次方程的特征。
【答案】
①②③⑤⑥⑦⑨⑩是等式;①③⑤⑥⑦⑨⑩是方程;①⑥⑨⑩是一元一次方程.
【知识点】
等式的定义，方程的定义，一元一次方程的定义
【点评】
本题是基础的概念辨析题，核心考查对三类相关概念的区分度，按层级逐步筛选即可得分，需注意不要混淆整式与分式、未知数的个数与次数这些易混淆的判定点。
【难度系数】
0.8
解题时需先明确三类式子的核心判定特征，按照“先筛选等式→再从等式中筛选方程→最后从方程中筛选一元一次方程”的层级逻辑逐步判断：1. 等式的核心是含有等号，表示相等关系，先排除无等号、带不等号的式子；2. 方程的核心是“含有未知数+是等式”，从等式中排除不含未知数的纯数字恒等式；3. 一元一次方程的核心是“仅含1个未知数+未知数次数为1+等号两边都是整式+是方程”，再排除不符合要求的方程即可。
【解析】
我们结合定义逐个判断：
1. 判断等式：等式是含有等号、表示相等关系的式子。
观察各式：④是不含等号的代数式，⑧是带“＞”的不等式，均不是等式；其余①②③⑤⑥⑦⑨⑩都含等号，符合等式的特征，是等式。
2. 判断方程：方程是含有未知数的等式。
上述等式中，②是不含未知数的纯数字恒等式（9-3=6，8-2=6），不属于方程；其余①③⑤⑥⑦⑨⑩都含有未知数且是等式，符合方程的特征，是方程。
3. 判断一元一次方程：只含有1个未知数，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程是一元一次方程。
上述方程中：③的未知数最高次数为2，不符合；⑤含2个未知数且乘积项次数为2，不符合；⑦分母含未知数，属于分式方程不是整式方程，不符合；其余①仅含x、次数为1、是整式，⑥仅含y、次数为1、是整式，⑨仅含z、化简后次数为1、是整式，⑩仅含x、次数为1、是整式，均符合一元一次方程的特征。
【答案】
①②③⑤⑥⑦⑨⑩是等式;①③⑤⑥⑦⑨⑩是方程;①⑥⑨⑩是一元一次方程.
【知识点】
等式的定义，方程的定义，一元一次方程的定义
【点评】
本题是基础的概念辨析题，核心考查对三类相关概念的区分度，按层级逐步筛选即可得分，需注意不要混淆整式与分式、未知数的个数与次数这些易混淆的判定点。
【难度系数】
0.8
