13. (★★)每一个多边形都可分割(分割方法如图)成若干个三角形。根据这种方法，八边形可以分割成个三角形，$n$ 边形可以分割成个三角形。

八边形可以分割成 6 个三角形，n 边形可以分割成 (n-2) 个三角形。

根据图中所示的多边形分割方法，可以从四边形、五边形和六边形的分割数推导出一般规律。
四边形(4条边)可以分割成2个(4-2)三角形，五边形(5条边)可以分割成3个(5-2)三角形，六边形(6条边)可以分割成4个(6-2)三角形。由此可知，一个n边形可以分割成(n-2)个三角形。
对于八边形(8条边)，可以分割成(8-2)=6个三角形。

14. (★★)(2025·眉山)如图，直线 $l$ 与正五边形 $ABCDE$ 的边 $AB$，$DE$ 分别交于点 $M$，$N$，则 $∠ 1 + ∠ 2$ 的度数为【 】


A.$216^{\circ}$
B.$180^{\circ}$
C.$144^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

C

正五边形内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，每个内角为$540^{\circ}÷5=108^{\circ}$。设直线$l$与$AB$交于$M$，与$DE$交于$N$，则五边形$MBCDN$内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$。该五边形内角包括：$∠ B=108^{\circ}$，$∠ C=108^{\circ}$，$∠ D=108^{\circ}$，$∠ BMN=180^{\circ}-∠1$，$∠ DNM=180^{\circ}-∠2$。故$108^{\circ}+108^{\circ}+108^{\circ}+(180^{\circ}-∠1)+(180^{\circ}-∠2)=540^{\circ}$，解得$∠1+∠2=144^{\circ}$。

15. (★★)一个正多边形的每个内角比相邻的外角大 $36^{\circ}$，求这个多边形的边数。

5

设这个正多边形的每个外角为$x$，则每个内角为$x + 36°$。
因为多边形的一个内角与相邻外角互补，所以：
$x + (x + 36°) = 180°$
解得：$2x = 144°$，$x = 72°$。
由于多边形外角和为$360°$，边数$n = \frac{360°}{\mathrm{每个外角度数}} = \frac{360°}{72°} = 5$。

16. (★★★)一个多边形除去一个内角后，其余内角之和为 $1680^{\circ}$，求这个多边形的边数。

答题卡：
设多边形的边数为 $n$，除去的一个内角为 $α$。
根据多边形的内角和公式，有：
$(n - 2) × 180^{\circ} = 1680^{\circ} + α$，
由于 $0^{\circ} ＜ α ＜ 180^{\circ}$，可以将等式改写为：
$0^{\circ} ＜ (n - 2) × 180^{\circ} - 1680^{\circ} ＜ 180^{\circ}$，
进一步化简，得到：
$1680^{\circ} ＜ (n - 2) × 180^{\circ} ＜ 1680^{\circ} + 180^{\circ}$，
$1680^{\circ} ＜ (n - 2) × 180^{\circ} ＜ 1860^{\circ}$，
$\frac{1680^{\circ}}{180^{\circ}} ＜ n - 2 ＜ \frac{1860^{\circ}}{180^{\circ}$，
$\frac{28}{3} ＜ n - 2 ＜ \frac{31}{3}$,
$\frac{34}{3} ＜ n ＜ \frac{37}{3}$,
由于 $n$ 必须是正整数，因此 $n = 12$。
故这个多边形的边数为 $12$。

17. (★★★)某数学课外兴趣小组在探究“$n$ 边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：

(1)探究：若你是该小组的成员，请把你研究的结果填入上表。
(2)猜想：随着边数的增加，多边形对角线的条数会越来越多，从 $n$ 边形的一个顶点出发可引的对角线条数为，$n$ 边形对角线的总条数为。若一个多边形共有 $90$ 条对角线，则这个多边形是边形。
(3)应用：一个十八边形共有多少条对角线？

(1)
| 多边形的边数 $n$ | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 从多边形的一个顶点出发可引的对角线条数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| 多边形对角线的总条数 | 2 | 5 | 9 | 14 | 20 | … |
(2)
从 $n$ 边形的一个顶点出发可引的对角线条数为 $n - 3$；
$n$ 边形对角线的总条数为$\frac{n(n - 3)}{2}$；
令$\frac{n(n - 3)}{2}=90$，
即$n^2 - 3n - 180 = 0$，
因式分解得$(n - 15)(n + 12)=0$，
解得$n = 15$或$n=-12$（边数不能为负舍去），
所以这个多边形是十五边形。
(3)
当$n = 18$时，$\frac{n(n - 3)}{2}=\frac{18×(18 - 3)}{2}=135$（条）
综上，答案依次为：(1)1、2、3、4、5；2、5、9、14、20；(2)$n - 3$；$\frac{n(n - 3)}{2}$；十五；(3)135条。