11. (★) 已知 $△ ABC$ 的三边长分别为 $a$，$b$，$c$，则下列不能判断 $△ ABC$ 为直角三角形的是 【 】

A.$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$
B.$a:b:c = 5:13:12$
C.$a = 1$，$b = \sqrt{2}$，$c = \sqrt{3}$
D.$a = 5$，$b = 6$，$c = 7$

D

A 选项：
因为$3^{2}+4^{2}=9 + 16 = 25=5^{2}$，满足勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边），所以$△ ABC$是直角三角形。
B 选项：
设$a = 5x$，$b = 13x$（这里应该是$b = 12x$，$c = 13x$），$a = 5x$，$b = 12x$，$c = 13x$，则$a^{2}+b^{2}=(5x)^{2}+(12x)^{2}=25x^{2}+144x^{2}=169x^{2}=(13x)^{2}=c^{2}$，满足勾股定理，所以$△ ABC$是直角三角形。
C 选项：
因为$1^{2}+(\sqrt{2})^{2}=1 + 2 = 3=(\sqrt{3})^{2}$，满足勾股定理，所以$△ ABC$是直角三角形。
D 选项：
$5^{2}+6^{2}=25 + 36 = 61≠49 = 7^{2}$，不满足勾股定理，所以$△ ABC$不是直角三角形。

12. (★★) 已知 $△ ABC$ 的三边长 $a$，$b$，$c$ 满足 $a^{4}-b^{4}+b^{2}c^{2}-a^{2}c^{2} = 0$，那么 $△ ABC$ 的形状为 【 】

A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形

D

对等式$a^{4}-b^{4}+b^{2}c^{2}-a^{2}c^{2}=0$因式分解：
左边$=(a^{4}-b^{4})+(b^{2}c^{2}-a^{2}c^{2})=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})-c^{2}(a^{2}-b^{2})=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})$，
即$(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0$，
则$a^{2}-b^{2}=0$或$a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$，
当$a^{2}-b^{2}=0$时，$a=b$，$△ ABC$为等腰三角形；
当$a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$时，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$△ ABC$为直角三角形。
综上，$△ ABC$为等腰三角形或直角三角形。

13. (★★) 观察下列几组勾股数：$3$，$4$，$5$；$5$，$12$，$13$；$7$，$24$，$25$；$9$，$40$，$41$；$···$ 按此规律，当直角三角形的较短直角边长是 $11$ 时，较长直角边长是 ；当直角三角形的较短直角边长是 $2n + 1$($n$ 为正整数)时，较长直角边长是 。

$60$；$2n^{2} + 2n$。

观察给出的勾股数序列：
$3$,$4$,$5$；
$5$,$12$,$13$；
$7$,$24$,$25$；
$9$,$40$,$41$；
$···$
可以发现，最短边（$a$）为奇数，且递增，较长边（$b$）和斜边（$c$）满足关系式：
$c = b + 1$，
且满足勾股定理：
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，
将$c = b + 1$代入$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，得到：
$a^{2} =2b + 1$，
当$a = 11$时，代入上式，可得：
$ 121= 2b + 1$，
解得$b = 60$，$c=61$，
所以当直角三角形的较短直角边长是$11$时，较长直角边为$60$，
对于一般情况，当直角三角形的较短直角边长是$2n + 1$时，将其代入$a^{2} =2b + 1$，得到：
$(2n + 1)^{2} =2b + 1$，
解得$b = 2n^{2} + 2n$，$c=2n^{2} + 2n+1$，
所以当直角三角形的较短直角边长是$2n + 1$时，较长直角边为$2n^{2} + 2n$，

14. (★★) 已知两条线段的长分别为 $15\mathrm{cm}$ 和 $8\mathrm{cm}$，当第三条线段的长取整数 $\mathrm{cm}$ 时，这三条线段能组成一个直角三角形。

$17$

设第三条线段的长为 $x\mathrm{cm}$，分两种情况：
1. 当$15\mathrm{cm}$为斜边时，根据勾股定理 $8^{2}+x^{2}=15^{2}$，即 $64 + x^{2}=225$，$x^{2}=225 - 64=161$，$x=\sqrt{161}\approx12.69$，不是整数，舍去。
2. 当$x$为斜边时，根据勾股定理 $8^{2}+15^{2}=x^{2}$，即 $x^{2}=64 + 225 = 289$，$x = 17$（$x=-17$舍去）。

15. (★★) 如图，正方形网格的每个小方格边长均为 $1$，$△ ABC$ 的顶点在格点上。
(1) 求 $△ ABC$ 的周长；

(2) 判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由。

(1) 由勾股定理得：
$AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，
$BC = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，
$AC = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，
周长为 $AB + BC + AC = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$。
(2) $△ABC$ 是等腰三角形。
理由：$AB = AC = 2\sqrt{5}$，故 $△ABC$ 为等腰三角形。