11. 已知$x = \frac{3 - \sqrt{2}}{2},y = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$，求下列各式的值：
（1）$x^{2}-y^{2}$；
（2）$x^{2}-2xy + y^{2}$.

解：(1)当$x = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$，$y = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$时，
原式$=(x + y)(x - y) = (\frac{3 - \sqrt{2}}{2} + \frac{1 + \sqrt{2}}{2}) \times (\frac{3 - \sqrt{2}}{2} - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}) = 2 \times (1 - \sqrt{2}) = 2 - 2\sqrt{2}$。
(2)当$x = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$，$y = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$时，
原式$=(x - y)^2 = (\frac{3 - \sqrt{2}}{2} - \frac{1 + \sqrt{2}}{2})^2 = (1 - \sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$。

12. 请在如图所示的$5\times5$的网格（每个小正方形的边长均为1）内画$\triangle ABC$，使它的顶点都在格点（网格线的交点）上，且三边长分别为$2,2\sqrt{5},4\sqrt{\frac{1}{2}}$.
求：（1）$\triangle ABC$的面积；
（2）最长边上的高.

解：(答案不唯一)如答图所示。

(1)$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。
(2)最长边上的高为$\frac{2 \times 2}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。

13.（2023·鼓楼区期末）已知$a,b$都是实数，$k$为整数，若$\frac{a + b}{2}=k$，则称$a$与$b$是关于$k$的一组“关联数”.
（1）$-2$与________是关于1的一组“关联数”；
（2）$\sqrt{2}+1$与________是关于3的一组“关联数”；
（3）若$a = \sqrt{2}+1,b = \sqrt{2}-1$，判断$a^{2}$与$b^{2}$是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由.

(1)4
(2)$5 - \sqrt{2}$
(3)解：$a^2$与$b^2$是关于3的一组“关联数”，
理由：$\because a = \sqrt{2} + 1$，$b = \sqrt{2} - 1$，
$\therefore \frac{a^2 + b^2}{2} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2 + (\sqrt{2} - 1)^2}{2} = \frac{3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{6}{2} = 3$，
$\therefore a^2$与$b^2$是关于3的一组“关联数”。