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重难点 3 旋转对称图形
【典例 3】如图是由一个弯月绕某点旋转若干次而生成的，每次旋转的度数是（B）
A. $ 30^{\circ} $
B. $ 60^{\circ} $
C. $ 80^{\circ} $
D. $ 90^{\circ} $
解析：$ \because $ 题图是由一个弯月绕旋转中心旋转 $ 6 $ 次而生成的，$ \therefore $ 每次旋转的度数可以为 $ 360^{\circ} ÷ 6 = 60^{\circ} $，故选 B.
【典例 3】如图是由一个弯月绕某点旋转若干次而生成的，每次旋转的度数是（B）
A. $ 30^{\circ} $
B. $ 60^{\circ} $
C. $ 80^{\circ} $
D. $ 90^{\circ} $
解析：$ \because $ 题图是由一个弯月绕旋转中心旋转 $ 6 $ 次而生成的，$ \therefore $ 每次旋转的度数可以为 $ 360^{\circ} ÷ 6 = 60^{\circ} $，故选 B.
答案
B
解析
题目中的图形是由一个弯月绕某点旋转若干次生成的，共有6个相同的弯月形状，均匀分布在一个圆周上。根据旋转对称图形的性质，旋转的度数可以通过将圆周360°除以旋转次数得到。因此，每次旋转的度数为$360° ÷ 6 = 60°$。
【对点训练】
3. 把如图所示的五角星图案绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合. 则旋转角至少为()
A. $ 30^{\circ} $
B. $ 45^{\circ} $
C. $ 60^{\circ} $
D. $ 72^{\circ} $
3. 把如图所示的五角星图案绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合. 则旋转角至少为()
A. $ 30^{\circ} $
B. $ 45^{\circ} $
C. $ 60^{\circ} $
D. $ 72^{\circ} $
答案
D
解析
五角星图案绕中心旋转后能与自身重合，其旋转角为周角$360^{\circ}$除以五角星的边数5，即$360^{\circ}÷5 = 72^{\circ}$，所以旋转角至少为$72^{\circ}$。
基础巩固
1. 下列运动中，属于旋转运动的是()
A. 小明向北走了 $ 4 $ 米
B. 小明在荡秋千
C. 电梯从 $ 1 $ 楼到 $ 12 $ 楼
D. 一物体从高空落下
2. 将下图绕点 $ O $ 按顺时针方向旋转 $ 60^{\circ} $ 后可得到的图形是()
A.
B.
C.
D.
3. 如图，将 $ △ ABC $ 绕着点 $ C $ 顺时针旋转 $ 45^{\circ} $ 后得到 $ △ A'B'C $. 若 $ ∠ A = 45^{\circ} $，$ ∠ B' = 110^{\circ} $，则 $ ∠ BCA' $ 的度数是()
A. $ 30^{\circ} $
B. $ 70^{\circ} $
C. $ 80^{\circ} $
D. $ 110^{\circ} $
4. 如图，该图形围绕点 $ O $ 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是()
A. $ 72^{\circ} $
B. $ 108^{\circ} $
C. $ 144^{\circ} $
D. $ 216^{\circ} $
5. 如图，把 $ △ ABC $ 以点 $ A $ 为中心逆时针旋转得到 $ △ ADE $，点 $ B $，$ C $ 的对应点分别为点 $ D $，$ E $，且点 $ E $ 在 $ BC $ 的延长线上，连结 $ BD $，则下列结论一定正确的是()
A. $ ∠ ACE = ∠ ADE $
B. $ AB = AE $
C. $ ∠ CAE = ∠ BAD $
D. $ CE = BD $
6. 如图所示的图案由三个叶片组成，绕点 $ O $ 旋转 $ 120^{\circ} $ 后可以和自身重合，$ ∠ AOB = 120^{\circ} $，若每个叶片的面积为 $ 4 \, \mathrm{cm}^2 $，则图中阴影部分的面积为$ \mathrm{cm}^2 $.
1. 下列运动中，属于旋转运动的是()
A. 小明向北走了 $ 4 $ 米
B. 小明在荡秋千
C. 电梯从 $ 1 $ 楼到 $ 12 $ 楼
D. 一物体从高空落下
2. 将下图绕点 $ O $ 按顺时针方向旋转 $ 60^{\circ} $ 后可得到的图形是()
A.
B.
C.
D.
3. 如图，将 $ △ ABC $ 绕着点 $ C $ 顺时针旋转 $ 45^{\circ} $ 后得到 $ △ A'B'C $. 若 $ ∠ A = 45^{\circ} $，$ ∠ B' = 110^{\circ} $，则 $ ∠ BCA' $ 的度数是()
A. $ 30^{\circ} $
B. $ 70^{\circ} $
C. $ 80^{\circ} $
D. $ 110^{\circ} $
4. 如图，该图形围绕点 $ O $ 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是()
A. $ 72^{\circ} $
B. $ 108^{\circ} $
C. $ 144^{\circ} $
D. $ 216^{\circ} $
5. 如图，把 $ △ ABC $ 以点 $ A $ 为中心逆时针旋转得到 $ △ ADE $，点 $ B $，$ C $ 的对应点分别为点 $ D $，$ E $，且点 $ E $ 在 $ BC $ 的延长线上，连结 $ BD $，则下列结论一定正确的是()
A. $ ∠ ACE = ∠ ADE $
B. $ AB = AE $
C. $ ∠ CAE = ∠ BAD $
D. $ CE = BD $
6. 如图所示的图案由三个叶片组成，绕点 $ O $ 旋转 $ 120^{\circ} $ 后可以和自身重合，$ ∠ AOB = 120^{\circ} $，若每个叶片的面积为 $ 4 \, \mathrm{cm}^2 $，则图中阴影部分的面积为$ \mathrm{cm}^2 $.
答案
1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.4
解析
1. 旋转是绕固定点圆周运动，荡秋千符合，选B。
2. 绕O顺时针旋转60°，阴影部分位置对应选项C。
3. △ABC中，∠ACB=180°-45°-110°=25°，旋转角∠ACA'=45°，∠BCA'=25°+45°=70°，选B。
4. 图形含5个相同部分，最小旋转角72°，108°非72°倍数，不能重合，选B。
5. 旋转得∠BAC=∠DAE，故∠CAE=∠BAD，选C。
6. 三叶片旋转120°重合，阴影部分面积等于一个叶片面积4cm²。
2. 绕O顺时针旋转60°，阴影部分位置对应选项C。
3. △ABC中，∠ACB=180°-45°-110°=25°，旋转角∠ACA'=45°，∠BCA'=25°+45°=70°，选B。
4. 图形含5个相同部分，最小旋转角72°，108°非72°倍数，不能重合，选B。
5. 旋转得∠BAC=∠DAE，故∠CAE=∠BAD，选C。
6. 三叶片旋转120°重合，阴影部分面积等于一个叶片面积4cm²。
素养提升
7.（推理能力）如图 1，将一副直角三角板放在同一条直线 $ AB $ 上，其中 $ ∠ ONM = 30^{\circ} $，$ ∠ OCD = 45^{\circ} $.
(1) 观察猜想：将图 1 中的三角尺 $ OCD $ 沿 $ AB $ 方向平移至图 2 的位置，使得点 $ O $ 与点 $ N $ 重合，$ CD $ 与 $ MN $ 相交于点 $ E $，则 $ ∠ CEN = $；
(2) 操作探究：将图 1 中的三角尺 $ OCD $ 绕点 $ O $ 按顺时针方向旋转，使一边 $ OD $ 在 $ ∠ MON $ 的内部，如图 3，且 $ OD $ 恰好平分 $ ∠ MON $，$ CD $ 与 $ NM $ 相交于点 $ E $，求 $ ∠ CEN $ 的度数；
(3) 深化拓展：将图 1 中的三角尺 $ OCD $ 绕点 $ O $ 沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边 $ OC $ 旋转多少度时，边 $ CD $ 恰好与边 $ MN $ 平行？
7.（推理能力）如图 1，将一副直角三角板放在同一条直线 $ AB $ 上，其中 $ ∠ ONM = 30^{\circ} $，$ ∠ OCD = 45^{\circ} $.
(1) 观察猜想：将图 1 中的三角尺 $ OCD $ 沿 $ AB $ 方向平移至图 2 的位置，使得点 $ O $ 与点 $ N $ 重合，$ CD $ 与 $ MN $ 相交于点 $ E $，则 $ ∠ CEN = $；
(2) 操作探究：将图 1 中的三角尺 $ OCD $ 绕点 $ O $ 按顺时针方向旋转，使一边 $ OD $ 在 $ ∠ MON $ 的内部，如图 3，且 $ OD $ 恰好平分 $ ∠ MON $，$ CD $ 与 $ NM $ 相交于点 $ E $，求 $ ∠ CEN $ 的度数；
(3) 深化拓展：将图 1 中的三角尺 $ OCD $ 绕点 $ O $ 沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边 $ OC $ 旋转多少度时，边 $ CD $ 恰好与边 $ MN $ 平行？
答案
(1)105°；(2)15°；(3)135°或315°
解析
(1) 由题意知，∠ONM=30°，∠OCD=45°。平移后点O与N重合，在△NEC中，∠NCE=45°，∠CNE=30°，则∠CEN=180°-45°-30°=105°。
(2) ∠MON=60°，OD平分∠MON得∠DOM=30°。∠COD=90°，则OC与OM夹角为120°。MN⊥AB，CD与水平夹角75°，MN与水平夹角90°，故∠CEN=90°-75°=15°。
(3) MN竖直，CD需竖直。OC顺时针旋转θ，CD方向由OC方向决定。当CD竖直时，tanθ=-1，θ=135°或315°。
(2) ∠MON=60°，OD平分∠MON得∠DOM=30°。∠COD=90°，则OC与OM夹角为120°。MN⊥AB，CD与水平夹角75°，MN与水平夹角90°，故∠CEN=90°-75°=15°。
(3) MN竖直，CD需竖直。OC顺时针旋转θ，CD方向由OC方向决定。当CD竖直时，tanθ=-1，θ=135°或315°。
