5. 某包装厂承接一批礼品盒制作业务, 他们以规格 $ 200\ \mathrm{cm} × 40\ \mathrm{cm} $ 的标准板材作为原材料, 每张标准板材按照截法一或截法二裁下 A 型与 B 型两种板材, 如图 10.3 - 3 所示(单位: cm).

(1) 求出图 10.3 - 3 中 $ a $ 与 $ b $ 的值.
(2) 若将 625 张标准板材用截法一裁剪, 125 张标准板材用截法二裁剪, 再将得到的 A 型与 B 型板材作为侧面或底面, 刚好可以做成如图 10.3 - 4 所示的竖式与横式两种无盖礼品盒. 求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个.

解：​ (1)​根据截法一可得：​3a + b + 10 = 200，​即​3a + b = 190；​
根据截法二可得：​a + 3b + 30 = 200，​即​a + 3b = 170；​
联立方程组：
$​ \begin {cases}3a + b = 190 \\a + 3b = 170\end {cases}​$
​ ①×3 - ②​得：​9a + 3b - a - 3b = 570 - 170，​
​ 8a = 400，​解得​a = 50，​
​ ​将​a = 50​代入​①​得：​3×50 + b = 190，​
​ ​解得​b = 40，​
答：​a​的值为​50，​​b​的值为​40。​
​ (2)A​型板材总数为​625×3 + 125×1 = 1875 + 125 = 2000(​块​)，​
​ B​型板材总数为​625×1 + 125×3 = 625 + 375 = 1000(​块​)，​
​ ​设竖式无盖礼品盒​x​个，横式无盖礼品盒​y​个，根据题意得
$​ \begin {cases}4x + 3y = 2000 \\x + 2y = 1000\end {cases}​$
解得：$​{{\begin {cases} {{x=200}} \\{y=400} \end {cases}}}​$
答：可以做竖式无盖礼品盒​200​个，横式无盖礼品盒​400​个。