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【例5】化简：$(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) ÷ (\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2})$。
答案
解:原式=$(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})÷[(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})]$
=$\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=\frac{xy}{x + y}$。
=$\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=\frac{xy}{x + y}$。
解析
【分析】
首先观察式子结构，发现除数是两个分式平方的差，符合平方差公式的形式，所以先利用平方差公式将除数分解因式；接着发现被除数和分解后的除数含有相同的因式$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$（需注意该因式不为0，即$x≠y$且$x、y≠0$），可以进行约分；最后对剩下的分式$\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$进行通分化简，即可得到最简结果。整个过程的核心是通过因式分解约分简化运算，避免直接通分的繁琐步骤。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})÷[(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})]\\&=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\\&=\frac{1}{\frac{y+x}{xy}}\\&=\frac{xy}{x+y}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{xy}{x + y}$
【知识点】
分式化简、平方差公式、分式除法运算
【点评】
本题主要考察分式运算与平方差公式的综合运用，通过对除数进行因式分解，利用约分简化计算过程，比直接通分计算更简便。解题时需注意分式有意义的条件：$x≠0$，$y≠0$且$x≠y$，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
首先观察式子结构，发现除数是两个分式平方的差，符合平方差公式的形式，所以先利用平方差公式将除数分解因式；接着发现被除数和分解后的除数含有相同的因式$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$（需注意该因式不为0，即$x≠y$且$x、y≠0$），可以进行约分；最后对剩下的分式$\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$进行通分化简，即可得到最简结果。整个过程的核心是通过因式分解约分简化运算，避免直接通分的繁琐步骤。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})÷[(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})]\\&=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\\&=\frac{1}{\frac{y+x}{xy}}\\&=\frac{xy}{x+y}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{xy}{x + y}$
【知识点】
分式化简、平方差公式、分式除法运算
【点评】
本题主要考察分式运算与平方差公式的综合运用，通过对除数进行因式分解，利用约分简化计算过程，比直接通分计算更简便。解题时需注意分式有意义的条件：$x≠0$，$y≠0$且$x≠y$，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
【例6】化简：$\frac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} + \frac{1}{(x + 3)(x + 4)}$。
答案
解:原式=$(\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 2})+(\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{x + 3})+(\frac{1}{x + 3}-\frac{1}{x + 4})=\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 4}=\frac{3}{(x + 1)(x + 4)}=\frac{3}{x^2 + 5x + 4}$。
解析
【分析】
观察题目中的分式，每个分式的分母都是两个连续整式的乘积，这类分式相加的问题通常可以用裂项相消法简化计算。我们可利用规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，将每个分式拆成两个分式的差，拆分后中间项会相互抵消，仅剩下首尾两项，再对剩余项通分计算就能得到最简结果。具体思路为：先对每个分式裂项，再去括号抵消中间项，最后通分化简剩余两项。
【解析】
$\begin{aligned}&\frac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} + \frac{1}{(x + 3)(x + 4)}\\=&(\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 2})+(\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{x + 3})+(\frac{1}{x + 3}-\frac{1}{x + 4})\\=&\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 2}+\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{x + 3}+\frac{1}{x + 3}-\frac{1}{x + 4}\\=&\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 4}\\=&\frac{(x + 4)-(x + 1)}{(x + 1)(x + 4)}\\=&\frac{x + 4 - x - 1}{(x + 1)(x + 4)}\\=&\frac{3}{(x + 1)(x + 4)}\\=&\frac{3}{x^2 + 5x + 4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3}{x^2 + 5x + 4}$（或$\frac{3}{(x + 1)(x + 4)}$）
【知识点】
分式裂项相消，分式加减运算
【点评】
本题主要考查分式裂项相消法的应用，通过裂项将复杂的分式加减转化为简单的首尾项运算，极大简化了计算过程。解题时需准确掌握裂项规律，注意去括号后中间项的抵消过程，通分化简时要留意整式运算的符号规则，避免出错。
【难度系数】
0.6
观察题目中的分式，每个分式的分母都是两个连续整式的乘积，这类分式相加的问题通常可以用裂项相消法简化计算。我们可利用规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，将每个分式拆成两个分式的差，拆分后中间项会相互抵消，仅剩下首尾两项，再对剩余项通分计算就能得到最简结果。具体思路为：先对每个分式裂项，再去括号抵消中间项，最后通分化简剩余两项。
【解析】
$\begin{aligned}&\frac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} + \frac{1}{(x + 3)(x + 4)}\\=&(\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 2})+(\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{x + 3})+(\frac{1}{x + 3}-\frac{1}{x + 4})\\=&\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 2}+\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{x + 3}+\frac{1}{x + 3}-\frac{1}{x + 4}\\=&\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 4}\\=&\frac{(x + 4)-(x + 1)}{(x + 1)(x + 4)}\\=&\frac{x + 4 - x - 1}{(x + 1)(x + 4)}\\=&\frac{3}{(x + 1)(x + 4)}\\=&\frac{3}{x^2 + 5x + 4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3}{x^2 + 5x + 4}$（或$\frac{3}{(x + 1)(x + 4)}$）
【知识点】
分式裂项相消，分式加减运算
【点评】
本题主要考查分式裂项相消法的应用，通过裂项将复杂的分式加减转化为简单的首尾项运算，极大简化了计算过程。解题时需准确掌握裂项规律，注意去括号后中间项的抵消过程，通分化简时要留意整式运算的符号规则，避免出错。
【难度系数】
0.6
【例7】已知$A = \frac{2x + y}{x^2 - 2xy + y^2} · (x - y)$。
(1)化简$A$。
(2)若$x^2 - 6xy + 9y^2 = 0$，求$A$的值。
(1)化简$A$。
(2)若$x^2 - 6xy + 9y^2 = 0$，求$A$的值。
答案
解:(1)$A = \frac{2x + y}{x^2 - 2xy + y^2}·(x - y)$
=$\frac{2x + y}{(x - y)^2}·(x - y) = \frac{2x + y}{x - y}$。
(2)因为$x^2 - 6xy + 9y^2 = 0$,
所以$(x - 3y)^2 = 0$。
所以$x - 3y = 0$,故$x = 3y$。
则$A = \frac{2x + y}{x - y} = \frac{6y + y}{3y - y} = \frac{7}{2}$。
=$\frac{2x + y}{(x - y)^2}·(x - y) = \frac{2x + y}{x - y}$。
(2)因为$x^2 - 6xy + 9y^2 = 0$,
所以$(x - 3y)^2 = 0$。
所以$x - 3y = 0$,故$x = 3y$。
则$A = \frac{2x + y}{x - y} = \frac{6y + y}{3y - y} = \frac{7}{2}$。
解析
【分析】
(1) 化简$A$时，先观察分母$x^2 - 2xy + y^2$，它是完全平方公式的形式，先分解因式为$(x - y)^2$，再根据分式乘法的运算法则，约去分子分母的公因式$(x - y)$，即可得到最简分式。
(2) 求$A$的值时，先对已知方程$x^2 - 6xy + 9y^2 = 0$进行变形，利用完全平方公式将其分解为$(x - 3y)^2 = 0$，从而得出$x$与$y$的关系$x=3y$，最后将$x=3y$代入化简后的$A$的表达式，计算出结果即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}A&=\frac{2x + y}{x^2 - 2xy + y^2}·(x - y)\\&=\frac{2x + y}{(x - y)^2}·(x - y)\\&=\frac{2x + y}{x - y}\end{aligned}$
(2) 因为$x^2 - 6xy + 9y^2 = 0$，根据完全平方公式可得：
$(x - 3y)^2 = 0$，
所以$x - 3y = 0$，即$x = 3y$。
将$x = 3y$代入$\frac{2x + y}{x - y}$得：
$A=\frac{2×3y + y}{3y - y}=\frac{6y + y}{2y}=\frac{7y}{2y}=\frac{7}{2}$
【答案】
(1) $\frac{2x + y}{x - y}$；(2) $\frac{7}{2}$
【知识点】
分式的化简求值，完全平方公式
【点评】
本题考查分式的化简求值与完全平方公式的应用，解题核心是熟练运用完全平方公式分解因式简化运算，通过已知条件得到字母间的等量关系后，代入化简后的分式计算，需注意分式有意义的条件（本题中$x=3y$时$x-y≠0$，满足分式要求）。
【难度系数】
0.6
(1) 化简$A$时，先观察分母$x^2 - 2xy + y^2$，它是完全平方公式的形式，先分解因式为$(x - y)^2$，再根据分式乘法的运算法则，约去分子分母的公因式$(x - y)$，即可得到最简分式。
(2) 求$A$的值时，先对已知方程$x^2 - 6xy + 9y^2 = 0$进行变形，利用完全平方公式将其分解为$(x - 3y)^2 = 0$，从而得出$x$与$y$的关系$x=3y$，最后将$x=3y$代入化简后的$A$的表达式，计算出结果即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}A&=\frac{2x + y}{x^2 - 2xy + y^2}·(x - y)\\&=\frac{2x + y}{(x - y)^2}·(x - y)\\&=\frac{2x + y}{x - y}\end{aligned}$
(2) 因为$x^2 - 6xy + 9y^2 = 0$，根据完全平方公式可得：
$(x - 3y)^2 = 0$，
所以$x - 3y = 0$，即$x = 3y$。
将$x = 3y$代入$\frac{2x + y}{x - y}$得：
$A=\frac{2×3y + y}{3y - y}=\frac{6y + y}{2y}=\frac{7y}{2y}=\frac{7}{2}$
【答案】
(1) $\frac{2x + y}{x - y}$；(2) $\frac{7}{2}$
【知识点】
分式的化简求值，完全平方公式
【点评】
本题考查分式的化简求值与完全平方公式的应用，解题核心是熟练运用完全平方公式分解因式简化运算，通过已知条件得到字母间的等量关系后，代入化简后的分式计算，需注意分式有意义的条件（本题中$x=3y$时$x-y≠0$，满足分式要求）。
【难度系数】
0.6
【变式】(1)先化简$\frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 1} ÷ (a - \frac{2a}{a + 1})$，再从$- 1$，$0$，$1$，$2$中选择一个合适的数代入求值。
(2)已知$y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{x^2 - x}{x + 1} - \frac{1}{x} + 2025$，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论$x$为何值，$y$的值不变。
(2)已知$y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{x^2 - x}{x + 1} - \frac{1}{x} + 2025$，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论$x$为何值，$y$的值不变。
答案
解:(1)原式=$\frac{(a - 1)^2}{(a + 1)(a - 1)}÷[\frac{a(a + 1)}{a + 1}-\frac{2a}{a + 1}]$
=$\frac{(a - 1)^2}{(a + 1)(a - 1)}·\frac{a + 1}{a(a - 1)}$
=$\frac{1}{a}$。
由原式可知,$a$不能取$1,0,-1$,
所以当$a = 2$时,原式=$\frac{1}{2}$。
(2)因为$y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\frac{x^2 - x}{x + 1}-\frac{1}{x}+2025$
=$\frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)}·\frac{x + 1}{x(x - 1)}-\frac{1}{x}+2025$
=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x}+2025$
=$2025$,
所以在$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\frac{x^2 - x}{x + 1}-\frac{1}{x}+2025$有意义的条件下,不论$x$为何值,$y$的值不变。
=$\frac{(a - 1)^2}{(a + 1)(a - 1)}·\frac{a + 1}{a(a - 1)}$
=$\frac{1}{a}$。
由原式可知,$a$不能取$1,0,-1$,
所以当$a = 2$时,原式=$\frac{1}{2}$。
(2)因为$y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\frac{x^2 - x}{x + 1}-\frac{1}{x}+2025$
=$\frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)}·\frac{x + 1}{x(x - 1)}-\frac{1}{x}+2025$
=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x}+2025$
=$2025$,
所以在$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\frac{x^2 - x}{x + 1}-\frac{1}{x}+2025$有意义的条件下,不论$x$为何值,$y$的值不变。
解析
【分析】
(1)对于分式化简求值题，需遵循分式混合运算顺序：先算括号内的运算，再算除法。第一步先对分子分母进行因式分解，括号里的式子先通分计算，再将除法转化为乘法，通过约分得到最简分式；之后要依据分式有意义的条件，排除使原式中各分母为0的a值，从给定数中选取合适的数代入最简式计算。
(2)要说明y的值不变，只需对右边代数式化简，若化简结果为常数，即可证明在有意义的条件下，无论x取何值，y值均不变。先对分子分母因式分解，将除法转化为乘法约分，再进行加减运算，观察最终结果。
【解析】
(1)原式=$\frac{(a - 1)^2}{(a + 1)(a - 1)}÷[\frac{a(a + 1)}{a + 1}-\frac{2a}{a + 1}]$
=$\frac{(a - 1)^2}{(a + 1)(a - 1)}·\frac{a + 1}{a(a - 1)}$
=$\frac{1}{a}$。
由原式可知，分式分母不能为0，即$a^2-1≠0$，$a+1≠0$，$a≠0$，$a-1≠0$，所以$a$不能取$1,0,-1$，
因此当$a = 2$时，原式=$\frac{1}{2}$。
(2)$y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\frac{x^2 - x}{x + 1}-\frac{1}{x}+2025$
=$\frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)}·\frac{x + 1}{x(x - 1)}-\frac{1}{x}+2025$
=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x}+2025$
=$2025$，
所以在右边代数式有意义的条件下，不论$x$为何值，$y$的值不变。
【答案】
(1)化简结果为$\frac{1}{a}$，当$a=2$时，值为$\frac{1}{2}$；(2)化简后$y=2025$，故在有意义的条件下，$y$的值不变。
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，分式化简求值
【点评】
本题重点考查分式的混合运算与化简求值，解题关键是熟练运用因式分解进行约分，同时必须重视分式有意义的条件，避免代入使分式无意义的数值；第二问通过化简得到常数，体现了分式“定值”问题的解题思路，需掌握此类问题的分析方法。
【难度系数】
0.7
(1)对于分式化简求值题，需遵循分式混合运算顺序：先算括号内的运算，再算除法。第一步先对分子分母进行因式分解，括号里的式子先通分计算，再将除法转化为乘法，通过约分得到最简分式；之后要依据分式有意义的条件，排除使原式中各分母为0的a值，从给定数中选取合适的数代入最简式计算。
(2)要说明y的值不变，只需对右边代数式化简，若化简结果为常数，即可证明在有意义的条件下，无论x取何值，y值均不变。先对分子分母因式分解，将除法转化为乘法约分，再进行加减运算，观察最终结果。
【解析】
(1)原式=$\frac{(a - 1)^2}{(a + 1)(a - 1)}÷[\frac{a(a + 1)}{a + 1}-\frac{2a}{a + 1}]$
=$\frac{(a - 1)^2}{(a + 1)(a - 1)}·\frac{a + 1}{a(a - 1)}$
=$\frac{1}{a}$。
由原式可知，分式分母不能为0，即$a^2-1≠0$，$a+1≠0$，$a≠0$，$a-1≠0$，所以$a$不能取$1,0,-1$，
因此当$a = 2$时，原式=$\frac{1}{2}$。
(2)$y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\frac{x^2 - x}{x + 1}-\frac{1}{x}+2025$
=$\frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)}·\frac{x + 1}{x(x - 1)}-\frac{1}{x}+2025$
=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x}+2025$
=$2025$，
所以在右边代数式有意义的条件下，不论$x$为何值，$y$的值不变。
【答案】
(1)化简结果为$\frac{1}{a}$，当$a=2$时，值为$\frac{1}{2}$；(2)化简后$y=2025$，故在有意义的条件下，$y$的值不变。
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，分式化简求值
【点评】
本题重点考查分式的混合运算与化简求值，解题关键是熟练运用因式分解进行约分，同时必须重视分式有意义的条件，避免代入使分式无意义的数值；第二问通过化简得到常数，体现了分式“定值”问题的解题思路，需掌握此类问题的分析方法。
【难度系数】
0.7
