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18. 如图①是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成.图②是其侧面结构示意图，面板 $ AB $ 固定在支撑轴端点 $ C $ 处，$ CD ⊥ AB $，支撑轴长 $ CD = 16 \mathrm{ cm} $，支撑轴 $ CD $ 与底座 $ DE $ 所成的角 $ ∠ CDE = 45° $.
（1）求端点 $ C $ 到底座 $ DE $ 的距离.
（2）如图③，为了阅读舒适，将 $ CD $ 绕点 $ D $ 逆时针旋转 $ 15° $ 后，点 $ B $ 恰好落在直线 $ DE $ 上，则端点 $ C $ 到底座 $ DE $ 的距离减少了多少？
（1）求端点 $ C $ 到底座 $ DE $ 的距离.
（2）如图③，为了阅读舒适，将 $ CD $ 绕点 $ D $ 逆时针旋转 $ 15° $ 后，点 $ B $ 恰好落在直线 $ DE $ 上，则端点 $ C $ 到底座 $ DE $ 的距离减少了多少？
答案
解：
（1）过点$C$作$CF ⊥ DE$于点$F$，
在$\mathrm{Rt} △ CDF$中，$∠ CFD=90°$，$∠ CDF=45°$，$CD=16\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CF=CD· \sin45°=16×\frac{\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
答：端点$C$到底座$DE$的距离为$8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
（2）过点$C$作$CF' ⊥ DE$于点$F'$，
旋转后$∠ CDF'=45°+15°=60°$，
在$\mathrm{Rt} △ CDF'$中，$∠ CF'D=90°$，$CD=16\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CF'=CD· \sin30°=16×\frac{1}{2}=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$ 减少的距离为$8\sqrt{2}-8\ \mathrm{cm}$。
答：端点$C$到底座$DE$的距离减少了$(8\sqrt{2}-8)\ \mathrm{cm}$。
（1）过点$C$作$CF ⊥ DE$于点$F$，
在$\mathrm{Rt} △ CDF$中，$∠ CFD=90°$，$∠ CDF=45°$，$CD=16\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CF=CD· \sin45°=16×\frac{\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
答：端点$C$到底座$DE$的距离为$8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
（2）过点$C$作$CF' ⊥ DE$于点$F'$，
旋转后$∠ CDF'=45°+15°=60°$，
在$\mathrm{Rt} △ CDF'$中，$∠ CF'D=90°$，$CD=16\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CF'=CD· \sin30°=16×\frac{1}{2}=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$ 减少的距离为$8\sqrt{2}-8\ \mathrm{cm}$。
答：端点$C$到底座$DE$的距离减少了$(8\sqrt{2}-8)\ \mathrm{cm}$。
19. 在数轴上，如果点 $ A $ 表示的数为 $ a $，点 $ B $ 表示的数为 $ b $，那么 $ AB $ 的长度等于 $ |a - b| $，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点 $ P_{1}(x_{1}, y_{1}) $，$ P_{2}(x_{2}, y_{2}) $ 之间的距离.小明构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则 $ P_{1} $，$ P_{2} $ 两点间的距离 $ P_{1}P_{2} = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}} $.
(1)根据上面结论，已知点 $ A(2, 4) $，$ B(-4, -4) $，则 $ AB $ 的长度为.
(2)已知点 $ A $，$ B $ 所在的直线平行于 $ y $ 轴，点 $ A $ 的纵坐标为 -5，点 $ B $ 的纵坐标为 1，则 $ A $，$ B $ 两点间的距离为；当两点 $ P_{1}(x_{1}, y_{1}) $，$ P_{2}(x_{2}, y_{2}) $ 所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离为.
(3)已知 $ M(-3, 2) $，$ N(2, 2) $，在 $ y $ 轴上找到点 $ Q $，使 $ △ MNQ $ 是以 $ MN $ 为腰的等腰三角形，求点 $ Q $ 的坐标.
(1)根据上面结论，已知点 $ A(2, 4) $，$ B(-4, -4) $，则 $ AB $ 的长度为.
(2)已知点 $ A $，$ B $ 所在的直线平行于 $ y $ 轴，点 $ A $ 的纵坐标为 -5，点 $ B $ 的纵坐标为 1，则 $ A $，$ B $ 两点间的距离为；当两点 $ P_{1}(x_{1}, y_{1}) $，$ P_{2}(x_{2}, y_{2}) $ 所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离为.
(3)已知 $ M(-3, 2) $，$ N(2, 2) $，在 $ y $ 轴上找到点 $ Q $，使 $ △ MNQ $ 是以 $ MN $ 为腰的等腰三角形，求点 $ Q $ 的坐标.
答案
解：
(1)
$AB=\sqrt{(2 - (-4))^2 + (4 - (-4))^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
(2)
$AB=|1 - (-5)|=6$；
两点间的距离为$\boldsymbol{|x_1 - x_2|}$或$\boldsymbol{|y_1 - y_2|}$
(3)
设点$Q$的坐标为$(0, y)$，
$\because M(-3,2)$，$N(2,2)$，纵坐标相同，
$\therefore MN=|2 - (-3)|=5$
①当$MN=MQ$时：
$\sqrt{(-3 - 0)^2 + (2 - y)^2}=5$
两边平方得：$9+(2-y)^2=25$
$(2-y)^2=16$
$2-y=\pm4$
解得$y=-2$或$y=6$，
$\therefore Q$的坐标为$(0,-2)$或$(0,6)$
②当$MN=NQ$时：
$\sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - y)^2}=5$
两边平方得：$4+(2-y)^2=25$
$(2-y)^2=21$
$2-y=\pm\sqrt{21}$
解得$y=2+\sqrt{21}$或$y=2-\sqrt{21}$，
$\therefore Q$的坐标为$(0,2+\sqrt{21})$或$(0,2-\sqrt{21})$
综上，点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(0,-2)}$、$\boldsymbol{(0,6)}$、$\boldsymbol{(0,2+\sqrt{21})}$、$\boldsymbol{(0,2-\sqrt{21})}$。
(1)
$AB=\sqrt{(2 - (-4))^2 + (4 - (-4))^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
(2)
$AB=|1 - (-5)|=6$；
两点间的距离为$\boldsymbol{|x_1 - x_2|}$或$\boldsymbol{|y_1 - y_2|}$
(3)
设点$Q$的坐标为$(0, y)$，
$\because M(-3,2)$，$N(2,2)$，纵坐标相同，
$\therefore MN=|2 - (-3)|=5$
①当$MN=MQ$时：
$\sqrt{(-3 - 0)^2 + (2 - y)^2}=5$
两边平方得：$9+(2-y)^2=25$
$(2-y)^2=16$
$2-y=\pm4$
解得$y=-2$或$y=6$，
$\therefore Q$的坐标为$(0,-2)$或$(0,6)$
②当$MN=NQ$时：
$\sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - y)^2}=5$
两边平方得：$4+(2-y)^2=25$
$(2-y)^2=21$
$2-y=\pm\sqrt{21}$
解得$y=2+\sqrt{21}$或$y=2-\sqrt{21}$，
$\therefore Q$的坐标为$(0,2+\sqrt{21})$或$(0,2-\sqrt{21})$
综上，点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(0,-2)}$、$\boldsymbol{(0,6)}$、$\boldsymbol{(0,2+\sqrt{21})}$、$\boldsymbol{(0,2-\sqrt{21})}$。
