5. [算理理解]比较$\frac{5}{6}$和$\frac{6}{7}$的大小，三位同学的比较方法如下：
乐乐：$\frac{5}{6}=\frac{5\times7}{6\times7}=\frac{35}{42}$
笑笑：$\frac{5}{6}=\frac{5\times6}{6\times6}=\frac{30}{36}$
天天：$1 - \frac{5}{6}=\frac{1}{6}$
$\frac{6}{7}=\frac{6\times6}{7\times6}=\frac{36}{42}$
$\frac{6}{7}=\frac{6\times5}{7\times5}=\frac{30}{35}$
$1 - \frac{6}{7}=\frac{1}{7}$
$\frac{35}{42}＜\frac{36}{42}$ $\frac{5}{6}＜\frac{6}{7}$
$\frac{30}{36}＜\frac{30}{35}$ $\frac{5}{6}＜\frac{6}{7}$
$\frac{1}{6}＞\frac{1}{7}$ $\frac{5}{6}＜\frac{6}{7}$

(1)上面方法正确的有(　　　)个。
(2)用你喜欢的方法比较$\frac{111}{1234567}$和$\frac{666}{7654321}$的大小。

（1）3 提示：本题考查异分母分数大小的比较，分数的分母相同，分子越大，这个分数越大，比较$\frac{5}{6}$和$\frac{6}{7}$的大小时，乐乐先依据分数的基本性质，将$\frac{5}{6}$的分子分母同时乘7得$\frac{5}{6}=\frac{5\times7}{6\times7}=\frac{35}{42}$，将$\frac{6}{7}$的分子分母同时乘6得$\frac{6}{7}=\frac{6\times6}{7\times6}=\frac{36}{42}$，则有$\frac{35}{42}＜\frac{36}{42}$，故$\frac{5}{6}＜\frac{6}{7}$，乐乐方法正确；分数的分子相同，分母越大，这个分数就越小，笑笑先依据分数的基本性质将$\frac{5}{6}$的分子分母同时乘6得$\frac{5}{6}=\frac{5\times6}{6\times6}=\frac{30}{36}$，将$\frac{6}{7}$的分子分母同时乘5得$\frac{6}{7}=\frac{6\times5}{7\times5}=\frac{30}{35}$，则有$\frac{30}{36}＜\frac{30}{35}$，所以$\frac{5}{6}＜\frac{6}{7}$，笑笑方法正确；可以与自然数1作差比较分数的大小，与1相差的值越大，则这个分数就越小，依据$1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$，$1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}$，$\frac{1}{6}＞\frac{1}{7}$，则有$\frac{5}{6}＜\frac{6}{7}$，故天天方法正确。
（2）$\frac{111}{1234567}＞\frac{666}{7654321}$ 提示：本题考查分数大小的比较，分子相同时，分数的分母越大，这个分数就越小，由分数的基本性质，得$\frac{111}{1234567}=\frac{111\times6}{1234567\times6}=\frac{666}{7407402}$，$7407402＜7654321$，故$\frac{666}{7407402}＞\frac{666}{7654321}$，即$\frac{111}{1234567}＞\frac{666}{7654321}$。

6. (1)一个假分数，分子和分母同时除以5之后，分子比分母大1。如果原来这个假分数的分子与分母的和是75，那么原来这个假分数是(　　　)。
(2)有一个假分数，将它化成带分数后，整数部分、分数部分的分子和分母刚好是三个连续的自然数，且它们的和是9。这个假分数最大是(　　　)。
(3)有8个数，$0.\dot{5}\dot{1}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{5}{9}$、$0.5\dot{1}$、$\frac{24}{47}$、$\frac{13}{25}$是其中6个，如果按照从小到大的顺序排列，第4个数是$0.5\dot{1}$，那么按照从大到小的顺序排列时，第4个数是(　　　)。

（1）$\frac{40}{35}$ 提示：分子和分母同时除以5之后，分子比分母大1，说明原来这个假分数的分子比分母大5。再根据原来这个假分数的分子与分母的和是75，$75 + 5 = 80$，$80\div2 = 40$，求出分子是40，分母就是$40 - 5 = 35$，所以原来这个假分数是$\frac{40}{35}$。
（2）$\frac{14}{3}$ 提示：$9\div3 = 3$，因此三个连续的自然数分别是2、3和4。要使这个假分数最大，整数部分应该是4。带分数的分数部分必须是真分数，所以分母是3，分子是2。因此这个带分数是$4\frac{2}{3}$，化成假分数是$\frac{14}{3}$。
（3）$0.\dot{5}\dot{1}$ 提示：$\frac{2}{3}=0.\dot{6}$，$\frac{5}{9}=0.\dot{5}$，$\frac{24}{47}\approx0.5106$，$\frac{13}{25}=0.52$，显然有$0.5106＜0.\dot{5}\dot{1}＜0.\dot{5}\dot{1}＜0.52＜0.\dot{5}＜0.\dot{6}$，即$\frac{24}{47}＜0.\dot{5}\dot{1}＜0.\dot{5}\dot{1}＜\frac{13}{25}＜\frac{5}{9}＜\frac{2}{3}$，因为这8个数按照从小到大的顺序排列时，第4个数是$0.\dot{5}\dot{1}$，所以其他两个数均比$0.\dot{5}\dot{1}$小，所以这8个数按照从大到小的顺序排列时，第4个数是$0.\dot{5}\dot{1}$。

7. [推理意识]把20以内的质数分别填入$\square$中(每个质数只用一次)。使$A$是整数，$A$最大是(　　　)。
$A=\frac{\square + \square + \square + \square + \square + \square + \square}{\square}$

10 提示：要使A最大，分母应最小。当分母是质数2、3、5时，A不是整数；当分母是7时，$A=\frac{2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 17 + 19}{7}=10$。

8. 分母是91的最简真分数有多少个？

$91 - 1 = 90$（个） $91 = 7\times13$ $13 - 1 = 12$（个） $7 - 1 = 6$（个） $90 - 12 - 6 = 72$（个） 提示：真分数是指分子小于分母的分数，最简真分数是指分子与分母互质的真分数。分母是91的真分数一共有$91 - 1 = 90$（个），它们的分子是1~90的自然数。要求最简真分数，那么分子中凡是91的质因数的倍数都应去掉。而$91 = 7\times13$，在1~90的自然数中，7的倍数有$13 - 1 = 12$（个），13的倍数有$7 - 1 = 6$（个），这样分子可取的数一共有$90 - 12 - 6 = 72$（个）。

9. 小林计算$M\div37$得到的结果四舍五入后保留六位小数是9.684469，其中$M$是一个自然数，小林得到的结果的整数部分是正确的，小数部分中的六个数字也没有错，只是顺序写错了，那么正确的计算结果应是多少？

正确的计算结果是9.648649。 提示：因为分数$\frac{1}{37}=0.\dot{0}2\dot{7}$，所以$M\div37$的商的循环节也有3位，且商为纯循环小数。因为9.684469的小数部分有2个4、2个6、1个8和1个9，所以循环节应是46或64$\square$。根据剩下的1个8和1个9可知，四舍五入时有进位，所以循环节应是648。