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6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $ABCO$ 为菱形，已知点 $C$ 的坐标是 $(3,4)$，则点 $B$ 的坐标是
(8,4)
。答案
6.(8,4)
解析
【解析】
1. 由点$C(3,4)$，根据勾股定理可得$OC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 因为四边形$ABCO$是菱形，所以$OA=OC=5$，且$BC// OA$，$BC=OA=5$。
3. 由于$OA$在$x$轴上，点$B$纵坐标与点$C$相同为$4$，横坐标为$3+5=8$，故点$B$的坐标为$(8,4)$。
【答案】
$(8,4)$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题结合菱形性质与平面直角坐标系，核心是利用菱形邻边相等、对边平行的性质，借助勾股定理求出边长，进而确定点的坐标。
【难度系数】
0.7
1. 由点$C(3,4)$，根据勾股定理可得$OC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 因为四边形$ABCO$是菱形，所以$OA=OC=5$，且$BC// OA$，$BC=OA=5$。
3. 由于$OA$在$x$轴上，点$B$纵坐标与点$C$相同为$4$，横坐标为$3+5=8$，故点$B$的坐标为$(8,4)$。
【答案】
$(8,4)$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题结合菱形性质与平面直角坐标系，核心是利用菱形邻边相等、对边平行的性质，借助勾股定理求出边长，进而确定点的坐标。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$∠ BCD = 100°$，$BA = BE$，则 $∠ EAD$ 的度数为
30°
。答案
7.30°
解析
【解析】
1. 因为四边形$ABCD$是菱形，所以$∠BAD=∠BCD=100°$，$BD$平分$∠ABC$，且$∠ABC+∠BCD=180°$。
2. 计算得$∠ABC=180°-100°=80°$，故$∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=40°$。
3. 由于$BA=BE$，在$△ ABE$中，$∠BAE=∠BEA=\frac{180°-∠ABD}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
4. 因此$∠EAD=∠BAD - ∠BAE=100°-70°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形与等腰三角形的性质，需熟练运用菱形的对角相等、邻角互补等性质，结合等腰三角形内角计算求解，属于基础综合题。
【难度系数】
0.6
1. 因为四边形$ABCD$是菱形，所以$∠BAD=∠BCD=100°$，$BD$平分$∠ABC$，且$∠ABC+∠BCD=180°$。
2. 计算得$∠ABC=180°-100°=80°$，故$∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=40°$。
3. 由于$BA=BE$，在$△ ABE$中，$∠BAE=∠BEA=\frac{180°-∠ABD}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
4. 因此$∠EAD=∠BAD - ∠BAE=100°-70°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形与等腰三角形的性质，需熟练运用菱形的对角相等、邻角互补等性质，结合等腰三角形内角计算求解，属于基础综合题。
【难度系数】
0.6
8. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在 $AB$ 上，点 $F$ 在 $BC$ 上，且 $AE = CF$，连接 $DE$，$DF$，$EF$。求证：$∠ DEF=∠ DFE$。
答案
8.证明:因为四边形$ABCD$是菱形,
所以$AD = CD$,$∠A = ∠C$.
在$△ADE$与$△CDF$中,
$\{\begin{array}{l} AD = CD,\\ ∠A = ∠C,\\ AE = CF,\end{array} $
所以$△ADE ≌ △CDF(SAS)$,
所以$DE = DF$,
所以$∠DEF = ∠DFE$.
所以$AD = CD$,$∠A = ∠C$.
在$△ADE$与$△CDF$中,
$\{\begin{array}{l} AD = CD,\\ ∠A = ∠C,\\ AE = CF,\end{array} $
所以$△ADE ≌ △CDF(SAS)$,
所以$DE = DF$,
所以$∠DEF = ∠DFE$.
解析
【解析】
证明:因为四边形$ABCD$是菱形,
所以$AD = CD$,$∠A = ∠C$.
在$△ADE$与$△CDF$中,
$\{\begin{array}{l} AD = CD,\\ ∠A = ∠C,\\ AE = CF,\end{array} $
所以$△ADE ≌ △CDF(SAS)$,
所以$DE = DF$,
所以$∠DEF = ∠DFE$.
【答案】
$∠ DEF=∠ DFE$得证
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定（SAS）、等腰三角形的性质
【点评】
本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质的综合运用，解题关键是通过证明三角形全等得到对应边相等，进而利用等腰三角形的性质完成证明。
【难度系数】
0.6
证明:因为四边形$ABCD$是菱形,
所以$AD = CD$,$∠A = ∠C$.
在$△ADE$与$△CDF$中,
$\{\begin{array}{l} AD = CD,\\ ∠A = ∠C,\\ AE = CF,\end{array} $
所以$△ADE ≌ △CDF(SAS)$,
所以$DE = DF$,
所以$∠DEF = ∠DFE$.
【答案】
$∠ DEF=∠ DFE$得证
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定（SAS）、等腰三角形的性质
【点评】
本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质的综合运用，解题关键是通过证明三角形全等得到对应边相等，进而利用等腰三角形的性质完成证明。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$∠ BAD = 120°$，$E$，$F$ 分别是边 $BC$，$CD$ 上一点，若 $CE = DF$。
（1）求证：$AE = AF$。
（2）若菱形边长为 $4$，$CE = 1$，求 $△ AEF$ 的周长。
（1）求证：$AE = AF$。
（2）若菱形边长为 $4$，$CE = 1$，求 $△ AEF$ 的周长。
答案
9.(1)证明:如图,连接$AC$.
在菱形$ABCD$中,$∠BAD = 120°$,
所以$∠B = ∠D = ∠BAC = ∠CAD = 60°$,
$AB = AD = BC = CD$,
所以$△ABC$与$△ADC$是等边三角形,
所以$AC = AD$,$∠ACB = ∠D = 60°$.
因为$CE = DF$,
所以$△CAE ≌ △DAF(SAS)$,
所以$AE = AF$.
(2)解:$△AEF$的周长为$3\sqrt{13}$.
解析
【解析】
（1）证明：连接$AC$。
在菱形$ABCD$中，$∠BAD = 120°$，
所以$∠B = ∠D = 60°$，$AB = AD = BC = CD$，
因此$△ABC$与$△ADC$是等边三角形，
所以$AC = AD$，$∠ACB = ∠D = 60°$。
又因为$CE = DF$，
所以$△CAE ≌ △DAF(SAS)$，
故$AE = AF$。
（2）解：因为菱形边长为4，$CE = 1$，所以$BE = BC - CE = 4 - 1 = 3$。
过点$A$作$AH⊥BC$于点$H$，
在$Rt△ABH$中，$∠B = 60°$，$AB = 4$，则$BH = \frac{1}{2}AB = 2$，$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$。
$EH = BE - BH = 3 - 2 = 1$，
在$Rt△AHE$中，$AE = \sqrt{AH^2 + EH^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{13}$。
由（1）知$△CAE ≌ △DAF$，所以$∠CAE = ∠DAF$，
则$∠EAF = ∠CAD = 60°$，又$AE = AF$，所以$△AEF$是等边三角形，
因此$△AEF$的周长为$3AE = 3\sqrt{13}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{3\sqrt{13}}$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形、全等三角形及等边三角形的相关性质，熟练掌握菱形的性质，准确证明三角形全等是解题的核心，同时利用勾股定理求解线段长度是关键步骤。
【难度系数】
0.6
（1）证明：连接$AC$。
在菱形$ABCD$中，$∠BAD = 120°$，
所以$∠B = ∠D = 60°$，$AB = AD = BC = CD$，
因此$△ABC$与$△ADC$是等边三角形，
所以$AC = AD$，$∠ACB = ∠D = 60°$。
又因为$CE = DF$，
所以$△CAE ≌ △DAF(SAS)$，
故$AE = AF$。
（2）解：因为菱形边长为4，$CE = 1$，所以$BE = BC - CE = 4 - 1 = 3$。
过点$A$作$AH⊥BC$于点$H$，
在$Rt△ABH$中，$∠B = 60°$，$AB = 4$，则$BH = \frac{1}{2}AB = 2$，$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$。
$EH = BE - BH = 3 - 2 = 1$，
在$Rt△AHE$中，$AE = \sqrt{AH^2 + EH^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{13}$。
由（1）知$△CAE ≌ △DAF$，所以$∠CAE = ∠DAF$，
则$∠EAF = ∠CAD = 60°$，又$AE = AF$，所以$△AEF$是等边三角形，
因此$△AEF$的周长为$3AE = 3\sqrt{13}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{3\sqrt{13}}$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形、全等三角形及等边三角形的相关性质，熟练掌握菱形的性质，准确证明三角形全等是解题的核心，同时利用勾股定理求解线段长度是关键步骤。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$BE⊥ CD$ 于点 $E$，$DF⊥ BC$ 于点 $F$。
（1）求证：$BF = DE$。
（2）若 $∠ A = 45°$，$DF = 1$，求 $DE$ 的值。
（1）求证：$BF = DE$。
（2）若 $∠ A = 45°$，$DF = 1$，求 $DE$ 的值。
答案
10.(1)证明:因为四边形$ABCD$是菱形,
所以$BC = DC$.
因为$BE ⊥ CD$于点$E$,$DF ⊥ BC$于点$F$,
所以$∠BEC = ∠DFC = 90°$.
在$△BEC$与$△DFC$中,
$\{\begin{array}{l} ∠BEC = ∠DFC,\\ ∠C = ∠C,\\ BC = DC,\end{array} $
所以$△BEC ≌ △DFC(AAS)$,
所以$CE = CF$,
所以$BC - CF = DC - CE$,所以$BF = DE$.
(2)解:$DE = \sqrt{2} - 1$.
所以$BC = DC$.
因为$BE ⊥ CD$于点$E$,$DF ⊥ BC$于点$F$,
所以$∠BEC = ∠DFC = 90°$.
在$△BEC$与$△DFC$中,
$\{\begin{array}{l} ∠BEC = ∠DFC,\\ ∠C = ∠C,\\ BC = DC,\end{array} $
所以$△BEC ≌ △DFC(AAS)$,
所以$CE = CF$,
所以$BC - CF = DC - CE$,所以$BF = DE$.
(2)解:$DE = \sqrt{2} - 1$.
解析
【解析】
（1）证明：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$BC = DC$。
因为$BE⊥CD$于点$E$，$DF⊥BC$于点$F$，所以$∠BEC = ∠DFC = 90°$。
在$△BEC$和$△DFC$中，
$\begin{cases}∠BEC = ∠DFC \\∠C = ∠C \\BC = DC\end{cases}$
所以$△BEC≌△DFC(AAS)$，则$CE = CF$。
因为$BC - CF = DC - CE$，所以$BF = DE$。
（2）解：
因为四边形$ABCD$是菱形，$∠A = 45°$，所以$∠C = ∠A = 45°$，$DC = BC$。
因为$DF⊥BC$，$DF = 1$，在$Rt△DFC$中，$∠C = 45°$，故$△DFC$是等腰直角三角形，$DF = FC = 1$。
由勾股定理得$DC = \sqrt{DF^2 + FC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，即$BC = \sqrt{2}$。
由（1）知$BF = DE$，又$BF = BC - FC = \sqrt{2} - 1$，所以$DE = \sqrt{2} - 1$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{\sqrt{2}-1}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形、全等三角形及等腰直角三角形的相关知识，需熟练掌握菱形的边与角的性质，灵活运用全等三角形判定定理及等腰直角三角形的性质求解。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$BC = DC$。
因为$BE⊥CD$于点$E$，$DF⊥BC$于点$F$，所以$∠BEC = ∠DFC = 90°$。
在$△BEC$和$△DFC$中，
$\begin{cases}∠BEC = ∠DFC \\∠C = ∠C \\BC = DC\end{cases}$
所以$△BEC≌△DFC(AAS)$，则$CE = CF$。
因为$BC - CF = DC - CE$，所以$BF = DE$。
（2）解：
因为四边形$ABCD$是菱形，$∠A = 45°$，所以$∠C = ∠A = 45°$，$DC = BC$。
因为$DF⊥BC$，$DF = 1$，在$Rt△DFC$中，$∠C = 45°$，故$△DFC$是等腰直角三角形，$DF = FC = 1$。
由勾股定理得$DC = \sqrt{DF^2 + FC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，即$BC = \sqrt{2}$。
由（1）知$BF = DE$，又$BF = BC - FC = \sqrt{2} - 1$，所以$DE = \sqrt{2} - 1$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{\sqrt{2}-1}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形、全等三角形及等腰直角三角形的相关知识，需熟练掌握菱形的边与角的性质，灵活运用全等三角形判定定理及等腰直角三角形的性质求解。
【难度系数】
0.6
