20. (本小题 12 分)在正方形$ABCD$中，点$E$在射线$BD$上，点$M$在$BC$的延长线上，$CN$为$∠ DCM$的平分线，$F$为射线$CN$上一点，且$CE = FE$.
(1)如图，当点$E$在线段$BD$上时，补全图形，求证：$2∠ BEC + ∠ CEF = 180^{\circ}$；
(2)在(1)的条件下，用等式表示线段$CF$，$DE$，$BE$之间的数量关系，并给出证明；
(3)若$AB = 4$，$BE = 3DE$，请直接写出线段$CF$的长.

(1) 补全图形（略）。证明：设∠BEC=α，在△BEC中，∠EBC=45°，则∠BCE=180°-45°-α=135°-α。∵CN平分∠DCM，∠DCM=90°，∴∠DCN=45°。∠ECD=∠BCD-∠BCE=90°-(135°-α)=α-45°，∴∠ECF=∠ECD+∠DCN=α-45°+45°=α。∵CE=FE，∴∠EFC=α。在△CEF中，∠CEF=180°-∠ECF-∠EFC=180°-2α，∴2α+∠CEF=180°，即2∠BEC+∠CEF=180°。
(2) CF=BE-DE。证明：以C为原点，BC为x轴，CD为y轴建立坐标系，设正方形边长为a，B(-a,0)，D(0,a)，BD：y=x+a。设E(t,t+a)，F(m,m)(m＞0)。由CE=FE得t²+(t+a)²=(m-t)²+(m-t-a)²，化简得m=2t+a。CF=√(m²+m²)=√2m=√2(2t+a)。BE=√2(t+a)，DE=√2(-t)，∴BE-DE=√2(t+a)+√2t=√2(2t+a)=CF，即CF=BE-DE。
(3) 2√2或8√2。