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5. 某市积极推进全国文明城市建设，对城内部分河道进行整治. 现有一段长 1 200 米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成. 甲工程队每天整治 40 米，乙工程队每天整治 50 米，共用时 28 天. 求甲、乙两工程队分别整治河道多少米. 淇淇和嘉嘉所列的方程组分别如下所示，下列判断正确的是 (
| 淇淇 | 嘉嘉 |
| --- | --- |
| 解：设甲工程队整治河道 x 米，乙工程队整治河道 y 米. 由题意，得$\begin{cases}x+\dfrac{2}{90}y=28,\\x+y=1200\end{cases}$ | 解：设甲工程队工作了 m 天，乙工程队工作了 n 天. 由题意，得$\begin{cases}40m+50n=1200,\\m+n=28\end{cases}$ |
A.只有淇淇列的方程组正确
B.只有嘉嘉列的方程组正确
C.淇淇和嘉嘉列的方程组都正确
D.淇淇和嘉嘉列的方程组都不正确
B
)| 淇淇 | 嘉嘉 |
| --- | --- |
| 解：设甲工程队整治河道 x 米，乙工程队整治河道 y 米. 由题意，得$\begin{cases}x+\dfrac{2}{90}y=28,\\x+y=1200\end{cases}$ | 解：设甲工程队工作了 m 天，乙工程队工作了 n 天. 由题意，得$\begin{cases}40m+50n=1200,\\m+n=28\end{cases}$ |
A.只有淇淇列的方程组正确
B.只有嘉嘉列的方程组正确
C.淇淇和嘉嘉列的方程组都正确
D.淇淇和嘉嘉列的方程组都不正确
答案
5. B
解析
【解析】
先分析淇淇的方程组：设甲整治x米，乙整治y米，甲工作时间应为$\frac{x}{40}$天，乙工作时间应为$\frac{y}{50}$天，总时间28天，正确方程应为$\frac{x}{40}+\frac{y}{50}=28$，而淇淇所列的$\begin{cases}x+\dfrac{2}{90}y=28,\\x+y=1200\end{cases}$错误；
再分析嘉嘉的方程组：设甲工作m天，乙工作n天，总天数$m+n=28$，甲整治长度$40m$米，乙整治长度$50n$米，总长度1200米，故$\begin{cases}40m+50n=1200,\\m+n=28\end{cases}$正确。因此只有嘉嘉列的方程组正确。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题考查二元一次方程组在工程问题中的应用，关键是根据不同设元方式找准等量关系列方程组，需明确时间、工作效率、工作量的关系。
【难度系数】
0.6
先分析淇淇的方程组：设甲整治x米，乙整治y米，甲工作时间应为$\frac{x}{40}$天，乙工作时间应为$\frac{y}{50}$天，总时间28天，正确方程应为$\frac{x}{40}+\frac{y}{50}=28$，而淇淇所列的$\begin{cases}x+\dfrac{2}{90}y=28,\\x+y=1200\end{cases}$错误；
再分析嘉嘉的方程组：设甲工作m天，乙工作n天，总天数$m+n=28$，甲整治长度$40m$米，乙整治长度$50n$米，总长度1200米，故$\begin{cases}40m+50n=1200,\\m+n=28\end{cases}$正确。因此只有嘉嘉列的方程组正确。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题考查二元一次方程组在工程问题中的应用，关键是根据不同设元方式找准等量关系列方程组，需明确时间、工作效率、工作量的关系。
【难度系数】
0.6
6. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图 1，图 2. 图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y 的系数与相应的常数项. 把图 1 所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是$\begin{cases}3x+2y=19,\\x+4y=23.\end{cases}$在图 2 所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图 2 所表示的方程组中 x 的值为 3，则被墨水所覆盖的图形为 ( )
A.|
B.||
C.|||
D.||||
A.|
B.||
C.|||
D.||||
答案
6. A
解析
【解析】
设被墨水覆盖的图形表示的数为$a$，根据算筹图的表示规则，图2对应的方程组为$\begin{cases}2x + 3y = 12\\x + 4y = 10 + a\end{cases}$。
1. 将$x = 3$代入$2x + 3y = 12$，得$2×3 + 3y = 12$，解得$y = 2$；
2. 把$x = 3$，$y = 2$代入第二个方程，得$3 + 4×2 = 10 + a$，即$11 = 10 + a$，解得$a = 1$；
3. 算筹中数字1用一根竖线“|”表示，因此被墨水覆盖的图形为“|”。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用，算筹计数法
【点评】
本题以《九章算术》算筹图为背景，融合古代数学文化与现代代数知识，解题需先根据算筹规则列方程组，再利用已知$x$值求解未知参数，考查方程组的求解能力与数学文化的理解。
【难度系数】
0.4
设被墨水覆盖的图形表示的数为$a$，根据算筹图的表示规则，图2对应的方程组为$\begin{cases}2x + 3y = 12\\x + 4y = 10 + a\end{cases}$。
1. 将$x = 3$代入$2x + 3y = 12$，得$2×3 + 3y = 12$，解得$y = 2$；
2. 把$x = 3$，$y = 2$代入第二个方程，得$3 + 4×2 = 10 + a$，即$11 = 10 + a$，解得$a = 1$；
3. 算筹中数字1用一根竖线“|”表示，因此被墨水覆盖的图形为“|”。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用，算筹计数法
【点评】
本题以《九章算术》算筹图为背景，融合古代数学文化与现代代数知识，解题需先根据算筹规则列方程组，再利用已知$x$值求解未知参数，考查方程组的求解能力与数学文化的理解。
【难度系数】
0.4
7. 在端午节来临之际，某商店订购了 A 型和 B 型两种粽子，A 型粽子 28 元/kg，B 型粽子 24 元/kg，若 B 型粽子的购买量比 A 型粽子的 2 倍少 20 kg，购进两种粽子共用了 2 560 元，求两种型号粽子各多少千克.
答案
7. 解：设 A 型粽子 x 千克，B 型粽子 y 千克，
根据题意，得$\begin{cases}y = 2x - 20,\\28x + 24y = 2560.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 40,\\y = 60.\end{cases}$
答：A 型粽子 40 千克，B 型粽子 60 千克。
根据题意，得$\begin{cases}y = 2x - 20,\\28x + 24y = 2560.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 40,\\y = 60.\end{cases}$
答：A 型粽子 40 千克，B 型粽子 60 千克。
解析
【解析】
设A型粽子x千克，B型粽子y千克，根据题意列出方程组：
$\begin{cases}y = 2x - 20,\\28x + 24y = 2560.\end{cases}$
将$y = 2x - 20$代入$28x + 24y = 2560$，得$28x + 24(2x - 20) = 2560$，展开计算得$28x + 48x - 480 = 2560$，合并同类项后解得$x = 40$；把$x = 40$代入$y = 2x - 20$，得$y = 60$。
【答案】
A型粽子40千克，B型粽子60千克。
【知识点】
二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际购物问题中的应用，解题关键是准确提取题目中的两个等量关系，列出正确的方程组求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
设A型粽子x千克，B型粽子y千克，根据题意列出方程组：
$\begin{cases}y = 2x - 20,\\28x + 24y = 2560.\end{cases}$
将$y = 2x - 20$代入$28x + 24y = 2560$，得$28x + 24(2x - 20) = 2560$，展开计算得$28x + 48x - 480 = 2560$，合并同类项后解得$x = 40$；把$x = 40$代入$y = 2x - 20$，得$y = 60$。
【答案】
A型粽子40千克，B型粽子60千克。
【知识点】
二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际购物问题中的应用，解题关键是准确提取题目中的两个等量关系，列出正确的方程组求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
