登录
1. (★) 有下列数学表达式：①$-1 ＜ 0$，②$x = 1$，③$x^2 - xy$，④$x ≠ -2$，⑤$x + 1 ＜ 2x - 1$，其中是不等式的有【 】
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
答案
B
解析
根据不等式的定义，用不等号（如“$＜$”，“$＞$”，“$≤$”，“$≥$”，“$≠$”）连接两个数或代数表达式的式子叫做不等式。
①$-1 ＜ 0$，用不等号连接，是不等式。
②$x = 1$，是等式，不是不等式。
③$x^2 - xy$，只是一个代数式，没有不等号，不是不等式。
④$x ≠ -2$，用不等号连接，是不等式。
⑤$x + 1 ＜ 2x - 1$，用不等号连接，是不等式。
所以①④⑤是不等式，共3个。
①$-1 ＜ 0$，用不等号连接，是不等式。
②$x = 1$，是等式，不是不等式。
③$x^2 - xy$，只是一个代数式，没有不等号，不是不等式。
④$x ≠ -2$，用不等号连接，是不等式。
⑤$x + 1 ＜ 2x - 1$，用不等号连接，是不等式。
所以①④⑤是不等式，共3个。
2. (★) 在$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$这五个数中，是不等式$2x + 3 ＞ 0$解的共有个.
答案
4
解析
解不等式$2x + 3 ＞ 0$，得$2x＞-3$，$x＞-1.5$。
在$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$这五个数中，大于$-1.5$的数有$-1$，$0$，$1$，$2$，共$4$个。
在$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$这五个数中，大于$-1.5$的数有$-1$，$0$，$1$，$2$，共$4$个。
3. (★) 已知$m ＜ n$，$a$为任意实数，下列式子正确的是【 】
A.$-m ＜ -n$
B.$-m + a ＞ -n + a$
C.$m ＜ -n$
D.$a^2m ＜ a^2n$
A.$-m ＜ -n$
B.$-m + a ＞ -n + a$
C.$m ＜ -n$
D.$a^2m ＜ a^2n$
答案
B
解析
A. 因为$m＜n$，两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$-m＞-n$，A错误；
B. 由$-m＞-n$，两边同加$a$，不等号方向不变，得$-m+a＞-n+a$，B正确；
C. $m＜n$无法直接得出$m＜-n$，例如$m=1$，$n=2$时，$1＞-2$，C错误；
D. 当$a=0$时，$a^2=0$，则$a^2m=a^2n=0$，D错误。
B. 由$-m＞-n$，两边同加$a$，不等号方向不变，得$-m+a＞-n+a$，B正确；
C. $m＜n$无法直接得出$m＜-n$，例如$m=1$，$n=2$时，$1＞-2$，C错误；
D. 当$a=0$时，$a^2=0$，则$a^2m=a^2n=0$，D错误。
4. (★) 下列不等式变形正确的是【 】
A.由$a ＞ b$，得$am ＞ bm$
B.由$a ＞ b$，得$a - 2025 ＜ b - 2025$
C.由$ab ＞ ac$，得$b ＜ c$
D.由$\frac{b}{a^2 + 1} ＞ \frac{c}{a^2 + 1}$，得$b ＞ c$
A.由$a ＞ b$，得$am ＞ bm$
B.由$a ＞ b$，得$a - 2025 ＜ b - 2025$
C.由$ab ＞ ac$，得$b ＜ c$
D.由$\frac{b}{a^2 + 1} ＞ \frac{c}{a^2 + 1}$，得$b ＞ c$
答案
D
解析
A.当m≤0时，不等号方向改变，故A错误；B.不等式两边减同一个数，不等号方向不变，应为a - 2025 ＞ b - 2025，故B错误；C.当a＜0时，不等号方向改变，应为b＜c，当a＞0时，b＞c，因a符号未知，故C错误；D.因为a²+1＞0，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，得b＞c，故D正确。
5. (★) 下列不等式是一元一次不等式的是【 】
A.$3 ＜ 5$
B.$x ＜ y + 2$
C.$2x - 1 ＞ 3$
D.$x^2 - 2x + 5 ≥ 0$
A.$3 ＜ 5$
B.$x ＜ y + 2$
C.$2x - 1 ＞ 3$
D.$x^2 - 2x + 5 ≥ 0$
答案
C
解析
一元一次不等式指的是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式，$A$选项不含有未知数，所以不是一元一次不等式；$B$选项含有两个未知数，所以不是一元一次不等式；$C$选项含有一个未知数且未知数次数为$1$，所以是一元一次不等式；$D$选项未知数次数为$2$，所以不是一元一次不等式。
6. (★) 将不等式$2(x + 1) - 1 ＞ 3x$的解集表示在数轴上，为图中的【 】
答案
B
解析
解不等式$2(x + 1) - 1 ＞ 3x$：
1. 去括号：$2x + 2 - 1 ＞ 3x$
2. 化简：$2x + 1 ＞ 3x$
3. 移项：$1 ＞ 3x - 2x$
4. 合并同类项：$1 ＞ x$，即$x ＜ 1$
在数轴上表示解集$x ＜ 1$，应是从1出发向左的射线，且1处为空心圆圈。对应选项B。
1. 去括号：$2x + 2 - 1 ＞ 3x$
2. 化简：$2x + 1 ＞ 3x$
3. 移项：$1 ＞ 3x - 2x$
4. 合并同类项：$1 ＞ x$，即$x ＜ 1$
在数轴上表示解集$x ＜ 1$，应是从1出发向左的射线，且1处为空心圆圈。对应选项B。
7. (★) 用不等式表示“$x$的$\frac{1}{3}$加 6 大于$-4$”：.
答案
$\frac{1}{3}x + 6 ＞ -4$
8. (★) 不等式$2x - 5 ＜ 4x - 1$的最小整数解是.
答案
首先对不等式 $2x - 5 ＜ 4 x - 1$进行移项：
$2x - 4x ＜ - 1+5$，
合并同类项得：
$-2x ＜ 4$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变：
$x ＞ - 2$，
满足该不等式的最小整数为$-1$。
故答案为$-1$。
$2x - 4x ＜ - 1+5$，
合并同类项得：
$-2x ＜ 4$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变：
$x ＞ - 2$，
满足该不等式的最小整数为$-1$。
故答案为$-1$。
9. (★) 某批电子产品的进价为 200 元/件，售价为 350 元/件. 为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于 5%，则该批电子产品最多可降价【 】
A.120 元
B.132.5 元
C.140 元
D.142.5 元
A.120 元
B.132.5 元
C.140 元
D.142.5 元
答案
C
解析
设降价$x$元，则售价为（$350 - x$）元，利润为（$350 - x - 200$）元。
根据单件利润率不低于$5\%$，可得：
$\frac{350 - x - 200}{200} ≥ 0.05$。
化简得：
$150 - x ≥ 10$（两边同时乘200）。
解得：
$x ≤ 140$。
所以最多可降价$140$元。
根据单件利润率不低于$5\%$，可得：
$\frac{350 - x - 200}{200} ≥ 0.05$。
化简得：
$150 - x ≥ 10$（两边同时乘200）。
解得：
$x ≤ 140$。
所以最多可降价$140$元。
10. (★) 某射箭运动员在一次比赛中前 6 次射击共击中 52 环，如果他要打破 89 环(10 次射击，每次射击最高中 10 环)的纪录，那么他第 7 次射击不能少于【 】
A.6 环
B.7 环
C.8 环
D.9 环
A.6 环
B.7 环
C.8 环
D.9 环
答案
C
解析
设第7次射击为x环，后3次最高共30环。要打破89环，需52 + x + 30 ＞ 89，解得x ＞ 7，所以x至少为8。
11. (★★) 已知一个长方形相邻两边长分别为$x$和 10，若它的周长小于 80，面积大于 100，则$x$的取值范围是.
答案
由题意得：
$\begin{cases}2(x + 10) ＜ 80 \\10x ＞ 100\end{cases}$
解第一个不等式：
$2(x + 10) ＜ 80 \\x + 10 ＜ 40 \\x ＜ 30$
解第二个不等式：
$10x ＞ 100 \\x ＞ 10$
综上，$x$的取值范围是$10 ＜ x ＜ 30$。
$10 ＜ x ＜ 30$
$\begin{cases}2(x + 10) ＜ 80 \\10x ＞ 100\end{cases}$
解第一个不等式：
$2(x + 10) ＜ 80 \\x + 10 ＜ 40 \\x ＜ 30$
解第二个不等式：
$10x ＞ 100 \\x ＞ 10$
综上，$x$的取值范围是$10 ＜ x ＜ 30$。
$10 ＜ x ＜ 30$
12. (★★) 不等式组$\begin{cases}2x + 4 ＜ 0, \\ \frac{1}{2}(x + 8) - 2 ＞ 0\end{cases}$的解集为 ______ ，其整数解是 ______ .
答案
答题卡：
解不等式 $2x + 4 ＜ 0$，得：$x ＜ -2$。
解不等式 $\frac{1}{2}(x + 8) - 2 ＞ 0$：
$\frac{1}{2}(x + 8) ＞ 2$，
$x + 8 ＞ 4$，
$x ＞ -4$，
因此，不等式组的解集为：$-4 ＜ x ＜ -2$。
其整数解为：$x = -3$。
故答案为：$-4 ＜ x ＜ -2$；$-3$。
解不等式 $2x + 4 ＜ 0$，得：$x ＜ -2$。
解不等式 $\frac{1}{2}(x + 8) - 2 ＞ 0$：
$\frac{1}{2}(x + 8) ＞ 2$，
$x + 8 ＞ 4$，
$x ＞ -4$，
因此，不等式组的解集为：$-4 ＜ x ＜ -2$。
其整数解为：$x = -3$。
故答案为：$-4 ＜ x ＜ -2$；$-3$。
13. (★★) 关于$x$的不等式组$\begin{cases}3x + 2 ＞ m, \\ \frac{x - 1}{2} ≤ 1\end{cases}$有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数$m$的和为【 】
A.11
B.15
C.18
D.21
A.11
B.15
C.18
D.21
答案
C
解析
先解不等式组：
$\begin{cases}3x + 2 ＞ m, \\frac{x - 1}{2} ≤ 1\end{cases}$
由$3x + 2＞ m$，可得$x＞\frac{m - 2}{3}$；
由$\frac{x - 1}{2} ≤ 1$，可得$x - 1≤ 2$，即$x≤ 3$。
所以不等式组的解集为$\frac{m - 2}{3} ＜ x≤ 3$。
因为不等式组有且只有两个整数解，所以$1≤\frac{m - 2}{3} ＜ 2$。
解不等式$1≤\frac{m - 2}{3}$，可得$3≤ m - 2$，即$m≥ 5$；
解不等式$\frac{m - 2}{3} ＜ 2$，可得$m - 2＜ 6$，即$m＜ 8$。
所以$5≤ m＜ 8$，又因为$m$为整数，所以$m$的值为$5$，$6$，$7$。
则符合条件的所有整数$m$的和为$5 + 6 + 7 = 18$。
$\begin{cases}3x + 2 ＞ m, \\frac{x - 1}{2} ≤ 1\end{cases}$
由$3x + 2＞ m$，可得$x＞\frac{m - 2}{3}$；
由$\frac{x - 1}{2} ≤ 1$，可得$x - 1≤ 2$，即$x≤ 3$。
所以不等式组的解集为$\frac{m - 2}{3} ＜ x≤ 3$。
因为不等式组有且只有两个整数解，所以$1≤\frac{m - 2}{3} ＜ 2$。
解不等式$1≤\frac{m - 2}{3}$，可得$3≤ m - 2$，即$m≥ 5$；
解不等式$\frac{m - 2}{3} ＜ 2$，可得$m - 2＜ 6$，即$m＜ 8$。
所以$5≤ m＜ 8$，又因为$m$为整数，所以$m$的值为$5$，$6$，$7$。
则符合条件的所有整数$m$的和为$5 + 6 + 7 = 18$。
