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4. 三角形的一个外角等于与它相邻的内角的 4 倍，又等于与它不相邻的一个内角的 2 倍.求这个三角形各内角的度数.
答案
解:
∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，
∴可设这一内角为x°,则它的外角为4x°,
∴有x+4x=180°,
则x=36,4x=144,
又
∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，
∴这个与它不相邻的内角为:144°÷2=72°,
∴三角形的另一个内角为
180°-72°-36°=72°,
则这个三角形各内角的度数分别是36°、72°、72°.
∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，
∴可设这一内角为x°,则它的外角为4x°,
∴有x+4x=180°,
则x=36,4x=144,
又
∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，
∴这个与它不相邻的内角为:144°÷2=72°,
∴三角形的另一个内角为
180°-72°-36°=72°,
则这个三角形各内角的度数分别是36°、72°、72°.
5. 已知：如图，$ ∠ A = 35^{\circ} $，$ ∠ B = 30^{\circ} $，$ ∠ C = 45^{\circ} $.求 $ ∠ DFE $ 的度数.
答案
10.解:
∵∠B=30°,∠C=45°,
∴∠ADB=∠B+∠C=30°+45°=75°,
∵∠A=35°,
∴∠DFE=∠A+∠ADB=35°+75°=110°.
∵∠B=30°,∠C=45°,
∴∠ADB=∠B+∠C=30°+45°=75°,
∵∠A=35°,
∴∠DFE=∠A+∠ADB=35°+75°=110°.
1. 如图，$ CD $ 是 $ △ ABC $ 的高线，$ E $ 为 $ BC $ 边上的一点，连接 $ AE $ 交 $ CD $ 于点 $ F $，$ ∠ BCD = 10^{\circ} $，$ ∠ AEB = 75^{\circ} $.
（1）求 $ ∠ BAE $ 的度数；
（2）若 $ AE $ 平分 $ ∠ BAC $，求 $ ∠ ACD $ 的度数.
（1）求 $ ∠ BAE $ 的度数；
（2）若 $ AE $ 平分 $ ∠ BAC $，求 $ ∠ ACD $ 的度数.
答案
1.(1)
∵∠BCD=10°,∠AEB=75°,
∠AEB=∠BCD+∠CFE,
∴∠CFE=75°-10°=65°,
∴∠AFD=∠CFE=65°,
∵CD是△ABC的高线，
∴∠ADC=90°,
∴∠BAE+∠AFD=90°,
∴∠BAE=90°-65°=25°;
(2)
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAE=50°,
∴∠ACD=90°-∠DAC=40°.
∵∠BCD=10°,∠AEB=75°,
∠AEB=∠BCD+∠CFE,
∴∠CFE=75°-10°=65°,
∴∠AFD=∠CFE=65°,
∵CD是△ABC的高线，
∴∠ADC=90°,
∴∠BAE+∠AFD=90°,
∴∠BAE=90°-65°=25°;
(2)
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAE=50°,
∴∠ACD=90°-∠DAC=40°.
2. 如图，$ CE $ 平分 $ △ ABC $ 的外角 $ ∠ ACD $，且 $ CE $ 交 $ BA $ 的延长线于点 $ E $.
（1）若 $ ∠ B = 32^{\circ} $，$ ∠ E = 36^{\circ} $，求 $ ∠ BAC $ 的度数；
（2）试猜想 $ ∠ BAC $，$ ∠ B $，$ ∠ E $ 三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想.
（1）若 $ ∠ B = 32^{\circ} $，$ ∠ E = 36^{\circ} $，求 $ ∠ BAC $ 的度数；
（2）试猜想 $ ∠ BAC $，$ ∠ B $，$ ∠ E $ 三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想.
答案
2.(1)由条件可知
∠ECD=∠B+∠E=32°+36°=68°,
∵EC平分∠ACD,
∴∠ACE=∠ECD=68°,
∴∠BAC=∠ACE+∠E=68°+36°=104°;
(2)∠BAC=∠B+2∠E,证明如下:
由条件可知∠ACE=∠ECD,
又
∵∠ECD=∠B+∠E,
∴∠BAC=∠ACE+∠E=∠ECD+∠E
=∠B+∠E+∠E
=∠B+2∠E,
即∠BAC=∠B+2∠E.
∠ECD=∠B+∠E=32°+36°=68°,
∵EC平分∠ACD,
∴∠ACE=∠ECD=68°,
∴∠BAC=∠ACE+∠E=68°+36°=104°;
(2)∠BAC=∠B+2∠E,证明如下:
由条件可知∠ACE=∠ECD,
又
∵∠ECD=∠B+∠E,
∴∠BAC=∠ACE+∠E=∠ECD+∠E
=∠B+∠E+∠E
=∠B+2∠E,
即∠BAC=∠B+2∠E.
