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1. 填空
(1) 一个长 8cm、宽 7cm、高 4cm 的长方体，它的占地面积最少是()，体积是()。
(2) 一个正方体的棱长是 4dm，它的棱长之和是()，占地面积是()，表面积是()，体积是()。
(3) 一个正方体的每条棱长都扩大到原来的 2 倍，棱长之和扩大到原来的()倍，表面积扩大到原来的()倍，体积扩大到原来的()倍。
(1) 一个长 8cm、宽 7cm、高 4cm 的长方体，它的占地面积最少是()，体积是()。
(2) 一个正方体的棱长是 4dm，它的棱长之和是()，占地面积是()，表面积是()，体积是()。
(3) 一个正方体的每条棱长都扩大到原来的 2 倍，棱长之和扩大到原来的()倍，表面积扩大到原来的()倍，体积扩大到原来的()倍。
答案
(1) $28cm²$；$224cm³$
(2) $48dm$；$16dm²$；$96dm²$；$64dm³$
(3) $2$；$4$；$8$
(2) $48dm$；$16dm²$；$96dm²$；$64dm³$
(3) $2$；$4$；$8$
解析
(1) 求占地面积最少，需计算长方体最小面的面积：$7×4=28(cm²)$；体积根据公式计算：$8×7×4=224(cm³)$。
(2) 正方体棱长之和：$4×12=48(dm)$；占地面积即一个面的面积：$4×4=16(dm²)$；表面积：$4×4×6=96(dm²)$；体积：$4×4×4=64(dm³)$。
(3) 设原正方体棱长为$a$，棱长之和扩大倍数：$(12×2a)÷(12a)=2$；表面积扩大倍数：$[6×(2a)²]÷(6a²)=4$；体积扩大倍数：$(2a)³÷a³=8$。
(2) 正方体棱长之和：$4×12=48(dm)$；占地面积即一个面的面积：$4×4=16(dm²)$；表面积：$4×4×6=96(dm²)$；体积：$4×4×4=64(dm³)$。
(3) 设原正方体棱长为$a$，棱长之和扩大倍数：$(12×2a)÷(12a)=2$；表面积扩大倍数：$[6×(2a)²]÷(6a²)=4$；体积扩大倍数：$(2a)³÷a³=8$。
2. 计算体积
答案
第一个图形：
$16×20=320$（立方厘米）
答：体积是320立方厘米。
第二个图形：
$2×2×2=8$（立方分米）
答：体积是8立方分米。
第三个图形：
$1.5×1×0.5=0.75$（立方米）
答：体积是0.75立方米。
$16×20=320$（立方厘米）
答：体积是320立方厘米。
第二个图形：
$2×2×2=8$（立方分米）
答：体积是8立方分米。
第三个图形：
$1.5×1×0.5=0.75$（立方米）
答：体积是0.75立方米。
解析
【分析】
我们需要分别计算三个立体图形的体积：
1. 第一个是长方体，已知它的底面积是16平方厘米，对应的长（可看作高）是20厘米，根据长方体体积公式“体积=底面积×高”，直接用底面积乘对应长度就能算出体积。
2. 第二个是正方体，已知棱长为2分米，正方体是特殊的长方体，体积公式为“体积=棱长×棱长×棱长”，代入棱长数值计算即可。
3. 第三个是长方体，已知长1.5米、宽1米、高0.5米，根据长方体体积公式“体积=长×宽×高”，把三个数值相乘就能得到体积。
【解析】
1. 第一个图形（长方体）：
已知底面积$S=16$平方厘米，高$h=20$厘米，根据长方体体积公式$V=S×h$，
$V=16×20=320$（立方厘米）
答：该长方体体积是320立方厘米。
2. 第二个图形（正方体）：
已知棱长$a=2$分米，根据正方体体积公式$V=a×a×a$，
$V=2×2×2=8$（立方分米）
答：该正方体体积是8立方分米。
3. 第三个图形（长方体）：
已知长$a=1.5$米，宽$b=1$米，高$h=0.5$米，根据长方体体积公式$V=a×b×h$，
$V=1.5×1×0.5=0.75$（立方米）
答：该长方体体积是0.75立方米。
【答案】
第一个图形体积是320立方厘米；第二个图形体积是8立方分米；第三个图形体积是0.75立方米。
【知识点】
长方体体积计算、正方体体积计算
【点评】
本题考查长方体和正方体体积公式的实际应用，需根据图形给出的不同条件，选择对应的体积公式计算，注意计算时单位统一。
【难度系数】
0.8
我们需要分别计算三个立体图形的体积：
1. 第一个是长方体，已知它的底面积是16平方厘米，对应的长（可看作高）是20厘米，根据长方体体积公式“体积=底面积×高”，直接用底面积乘对应长度就能算出体积。
2. 第二个是正方体，已知棱长为2分米，正方体是特殊的长方体，体积公式为“体积=棱长×棱长×棱长”，代入棱长数值计算即可。
3. 第三个是长方体，已知长1.5米、宽1米、高0.5米，根据长方体体积公式“体积=长×宽×高”，把三个数值相乘就能得到体积。
【解析】
1. 第一个图形（长方体）：
已知底面积$S=16$平方厘米，高$h=20$厘米，根据长方体体积公式$V=S×h$，
$V=16×20=320$（立方厘米）
答：该长方体体积是320立方厘米。
2. 第二个图形（正方体）：
已知棱长$a=2$分米，根据正方体体积公式$V=a×a×a$，
$V=2×2×2=8$（立方分米）
答：该正方体体积是8立方分米。
3. 第三个图形（长方体）：
已知长$a=1.5$米，宽$b=1$米，高$h=0.5$米，根据长方体体积公式$V=a×b×h$，
$V=1.5×1×0.5=0.75$（立方米）
答：该长方体体积是0.75立方米。
【答案】
第一个图形体积是320立方厘米；第二个图形体积是8立方分米；第三个图形体积是0.75立方米。
【知识点】
长方体体积计算、正方体体积计算
【点评】
本题考查长方体和正方体体积公式的实际应用，需根据图形给出的不同条件，选择对应的体积公式计算，注意计算时单位统一。
【难度系数】
0.8
3. 解决问题
(1) 一块体积为 80dm³ 的木料，横截面是一个边长为 2dm 的正方形。这根木料有多长？
(2) 如图，将这个长方体截成一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？截去多少立方厘米？
(1) 一块体积为 80dm³ 的木料，横截面是一个边长为 2dm 的正方形。这根木料有多长？
(2) 如图，将这个长方体截成一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？截去多少立方厘米？
答案
(1)
$2×2=4(\mathrm{dm}^2)$
$80÷4=20(\mathrm{dm})$
答：这根木料长20dm。
(2)
$8×8×8=512(\mathrm{cm}^3)$
$21×10×8=1680(\mathrm{cm}^3)$
$1680-512=1168(\mathrm{cm}^3)$
答：这个正方体的体积是512立方厘米，截去1168立方厘米。
$2×2=4(\mathrm{dm}^2)$
$80÷4=20(\mathrm{dm})$
答：这根木料长20dm。
(2)
$8×8×8=512(\mathrm{cm}^3)$
$21×10×8=1680(\mathrm{cm}^3)$
$1680-512=1168(\mathrm{cm}^3)$
答：这个正方体的体积是512立方厘米，截去1168立方厘米。
解析
【分析】
（1）这是一道利用长方体体积公式逆推求长度的题目。长方体体积公式为$V = S_{底}×h$（这里木料的长相当于公式里的高$h$），已知体积和横截面（即底面积）的形状是边长2dm的正方形，先计算出横截面的面积，再用体积除以横截面面积就能得到木料的长度。
（2）要在长方体中截出最大的正方体，正方体的棱长最大只能等于长方体三条棱中最短的那条，观察长方体的长宽高21cm、10cm、8cm，最短的棱是8cm，所以正方体棱长为8cm。先根据正方体体积公式计算正方体体积，再计算原长方体体积，用长方体体积减去正方体体积即可得到截去部分的体积。
【解析】
(1)
第一步：计算木料横截面的面积
横截面是边长为2dm的正方形，面积为：
$2×2 = 4(\mathrm{dm}^2)$
第二步：根据长方体体积公式求木料长度
由$V = S×h$可得$h = V÷S$，代入数据：
$80÷4 = 20(\mathrm{dm})$
答：这根木料长20dm。
(2)
第一步：计算最大正方体的体积
因为正方体棱长最大为8cm，根据正方体体积公式$V = a^3$（$a$为棱长）：
$8×8×8 = 512(\mathrm{cm}^3)$
第二步：计算原长方体的体积
根据长方体体积公式$V = l×w×h$：
$21×10×8 = 1680(\mathrm{cm}^3)$
第三步：计算截去部分的体积
$1680 - 512 = 1168(\mathrm{cm}^3)$
答：这个正方体的体积是512立方厘米，截去1168立方厘米。
【答案】
(1) 这根木料长20dm；
(2) 正方体的体积是512立方厘米，截去1168立方厘米。
【知识点】
1. 长方体体积计算
2. 正方体体积计算
3. 立体图形切割问题
【点评】
本题考查长方体和正方体体积公式的实际应用，第一题需灵活逆用体积公式，第二题的关键是明确在长方体中截最大正方体时，正方体棱长等于长方体最短棱的长度，解题过程中要注意公式的准确运用和单位的统一。
【难度系数】
0.7
（1）这是一道利用长方体体积公式逆推求长度的题目。长方体体积公式为$V = S_{底}×h$（这里木料的长相当于公式里的高$h$），已知体积和横截面（即底面积）的形状是边长2dm的正方形，先计算出横截面的面积，再用体积除以横截面面积就能得到木料的长度。
（2）要在长方体中截出最大的正方体，正方体的棱长最大只能等于长方体三条棱中最短的那条，观察长方体的长宽高21cm、10cm、8cm，最短的棱是8cm，所以正方体棱长为8cm。先根据正方体体积公式计算正方体体积，再计算原长方体体积，用长方体体积减去正方体体积即可得到截去部分的体积。
【解析】
(1)
第一步：计算木料横截面的面积
横截面是边长为2dm的正方形，面积为：
$2×2 = 4(\mathrm{dm}^2)$
第二步：根据长方体体积公式求木料长度
由$V = S×h$可得$h = V÷S$，代入数据：
$80÷4 = 20(\mathrm{dm})$
答：这根木料长20dm。
(2)
第一步：计算最大正方体的体积
因为正方体棱长最大为8cm，根据正方体体积公式$V = a^3$（$a$为棱长）：
$8×8×8 = 512(\mathrm{cm}^3)$
第二步：计算原长方体的体积
根据长方体体积公式$V = l×w×h$：
$21×10×8 = 1680(\mathrm{cm}^3)$
第三步：计算截去部分的体积
$1680 - 512 = 1168(\mathrm{cm}^3)$
答：这个正方体的体积是512立方厘米，截去1168立方厘米。
【答案】
(1) 这根木料长20dm；
(2) 正方体的体积是512立方厘米，截去1168立方厘米。
【知识点】
1. 长方体体积计算
2. 正方体体积计算
3. 立体图形切割问题
【点评】
本题考查长方体和正方体体积公式的实际应用，第一题需灵活逆用体积公式，第二题的关键是明确在长方体中截最大正方体时，正方体棱长等于长方体最短棱的长度，解题过程中要注意公式的准确运用和单位的统一。
【难度系数】
0.7
4. 有一个底面是正方形的长方体，高 20 厘米，侧面展开正好是一个正方形。这个长方体的体积是多少？
答案
20÷4=5（厘米）
5×5×20=500（立方厘米）
答：这个长方体的体积是500立方厘米。
5×5×20=500（立方厘米）
答：这个长方体的体积是500立方厘米。
解析
【分析】
要解决这个问题，关键是理清长方体侧面展开图与长方体各部分的关系：长方体侧面展开后是正方形，说明该正方形的一条边长等于长方体的高（20厘米），另一条边长等于底面正方形的周长。因此底面正方形的周长为20厘米，先通过周长求出底面正方形的边长，再利用长方体体积公式计算体积。具体思考步骤如下：
1. 根据侧面展开图是正方形，得出底面正方形的周长=长方体的高=20厘米；
2. 利用正方形周长公式（边长=周长÷4），计算出底面正方形的边长；
3. 代入长方体体积公式（体积=底面积×高，底面积为正方形面积=边长×边长），算出最终体积。
【解析】
1. 计算底面正方形的边长：
因为长方体侧面展开是正方形，所以底面正方形的周长等于长方体的高20厘米。
底面边长：$20÷4=5$（厘米）
2. 计算长方体的体积：
长方体体积=底面积×高=边长×边长×高
$5×5×20=500$（立方厘米）
答：这个长方体的体积是500立方厘米。
【答案】
500立方厘米
【知识点】
长方体体积计算、长方体侧面展开特征、正方形周长公式
【点评】
本题考查长方体特征与体积计算的综合运用，核心是理解长方体侧面展开图的边长与底面周长、高的等量关系，需要学生具备一定的空间想象能力，能将立体图形的展开图与原图形的各部分对应起来，再灵活运用公式求解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，关键是理清长方体侧面展开图与长方体各部分的关系：长方体侧面展开后是正方形，说明该正方形的一条边长等于长方体的高（20厘米），另一条边长等于底面正方形的周长。因此底面正方形的周长为20厘米，先通过周长求出底面正方形的边长，再利用长方体体积公式计算体积。具体思考步骤如下：
1. 根据侧面展开图是正方形，得出底面正方形的周长=长方体的高=20厘米；
2. 利用正方形周长公式（边长=周长÷4），计算出底面正方形的边长；
3. 代入长方体体积公式（体积=底面积×高，底面积为正方形面积=边长×边长），算出最终体积。
【解析】
1. 计算底面正方形的边长：
因为长方体侧面展开是正方形，所以底面正方形的周长等于长方体的高20厘米。
底面边长：$20÷4=5$（厘米）
2. 计算长方体的体积：
长方体体积=底面积×高=边长×边长×高
$5×5×20=500$（立方厘米）
答：这个长方体的体积是500立方厘米。
【答案】
500立方厘米
【知识点】
长方体体积计算、长方体侧面展开特征、正方形周长公式
【点评】
本题考查长方体特征与体积计算的综合运用，核心是理解长方体侧面展开图的边长与底面周长、高的等量关系，需要学生具备一定的空间想象能力，能将立体图形的展开图与原图形的各部分对应起来，再灵活运用公式求解。
【难度系数】
0.6
