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1. 下列等式中，成立的是()
A.$ 2x^{2} · 3x^{3} = 6x^{6} $
B.$ 2x^{2} + 3x^{3} = 5x^{5} $
C.$ 2x^{2} · 3x^{3} = 6x^{5} $
D.$ (-2x)^{2} · (-2y)^{3} = 32x^{2}y^{3} $
A.$ 2x^{2} · 3x^{3} = 6x^{6} $
B.$ 2x^{2} + 3x^{3} = 5x^{5} $
C.$ 2x^{2} · 3x^{3} = 6x^{5} $
D.$ (-2x)^{2} · (-2y)^{3} = 32x^{2}y^{3} $
答案
C
解析
选项A，根据单项式乘单项式的法则，系数与系数相乘，字母部分遵循同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$2x^{2} · 3x^{3} = (2 × 3)x^{2 + 3} = 6x^{5} ≠ 6x^{6}$，所以A选项错误；
选项B，$2x^{2}$与$3x^{3}$不是同类项，根据合并同类项的法则，不是同类项不能合并，所以$2x^{2} + 3x^{3}$不能简化为$5x^{5}$，B选项错误；
选项C，由选项A的分析可知$2x^{2} · 3x^{3} = 6x^{5}$，所以C选项正确；
选项D，根据积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，$(-2x)^{2} · (-2y)^{3} = 4x^{2} × (-8y^{3}) = -32x^{2}y^{3} ≠ 32x^{2}y^{3}$，所以D选项错误。
选项B，$2x^{2}$与$3x^{3}$不是同类项，根据合并同类项的法则，不是同类项不能合并，所以$2x^{2} + 3x^{3}$不能简化为$5x^{5}$，B选项错误；
选项C，由选项A的分析可知$2x^{2} · 3x^{3} = 6x^{5}$，所以C选项正确；
选项D，根据积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，$(-2x)^{2} · (-2y)^{3} = 4x^{2} × (-8y^{3}) = -32x^{2}y^{3} ≠ 32x^{2}y^{3}$，所以D选项错误。
2. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是()
A.$ (x + 2a)(2a - x) $
B.$ ( \dfrac{1}{3} - 2a ) ( -\dfrac{1}{3} + 2a ) $
C.$ ( b + \dfrac{1}{2}c )(0.5c - b) $
D.$ (x + 2y)(-x + 2y) $
A.$ (x + 2a)(2a - x) $
B.$ ( \dfrac{1}{3} - 2a ) ( -\dfrac{1}{3} + 2a ) $
C.$ ( b + \dfrac{1}{2}c )(0.5c - b) $
D.$ (x + 2y)(-x + 2y) $
答案
B
解析
平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，需满足两数和与两数差相乘。
A.$(x + 2a)(2a - x)=(2a + x)(2a - x)$，符合平方差公式；
B.$(\dfrac{1}{3} - 2a)(-\dfrac{1}{3} + 2a)=-(2a - \dfrac{1}{3})(2a - \dfrac{1}{3})=-(2a - \dfrac{1}{3})^2$，是完全平方，不符合平方差公式；
C.$(b + \dfrac{1}{2}c)(0.5c - b)=(\dfrac{1}{2}c + b)(\dfrac{1}{2}c - b)$，符合平方差公式；
D.$(x + 2y)(-x + 2y)=(2y + x)(2y - x)$，符合平方差公式。
A.$(x + 2a)(2a - x)=(2a + x)(2a - x)$，符合平方差公式；
B.$(\dfrac{1}{3} - 2a)(-\dfrac{1}{3} + 2a)=-(2a - \dfrac{1}{3})(2a - \dfrac{1}{3})=-(2a - \dfrac{1}{3})^2$，是完全平方，不符合平方差公式；
C.$(b + \dfrac{1}{2}c)(0.5c - b)=(\dfrac{1}{2}c + b)(\dfrac{1}{2}c - b)$，符合平方差公式；
D.$(x + 2y)(-x + 2y)=(2y + x)(2y - x)$，符合平方差公式。
3. 已知$ (a + b)^{2} = 1 $，$ ab = -\dfrac{5}{16} $，则$ 2a^{2} + 2ab + 2b^{2} $的值等于()
A.$ \dfrac{21}{8} $
B.$ \dfrac{21}{16} $
C.$ -\dfrac{21}{8} $
D.$ -\dfrac{21}{16} $
A.$ \dfrac{21}{8} $
B.$ \dfrac{21}{16} $
C.$ -\dfrac{21}{8} $
D.$ -\dfrac{21}{16} $
答案
A
解析
本题可先对$2a^{2} + 2ab + 2b^{2}$进行因式分解，再结合已知条件求出$(a + b)^{2}$与利用完全平方公式展开后的关系，进而求出原式的值。
步骤一：对$2a^{2} + 2ab + 2b^{2}$进行因式分解
提取公因式$2$可得：$2a^{2} + 2ab + 2b^{2}=2(a^{2}+ab + b^{2})$。
步骤二：对$a^{2}+ab + b^{2}$进行变形
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，将其代入$a^{2}+ab + b^{2}$可得：
$a^{2}+ab + b^{2}=(a^{2}+2ab + b^{2})-ab=(a + b)^{2}-ab$。
步骤三：将$a^{2}+ab + b^{2}=(a + b)^{2}-ab$代入$2(a^{2}+ab + b^{2})$，并结合已知条件求值
已知$(a + b)^{2} = 1$，$ab = -\dfrac{5}{16}$，则：
$2(a^{2}+ab + b^{2})=2[(a + b)^{2}-ab]=2×[1 - (-\dfrac{5}{16})]=2×(1 + \dfrac{5}{16})=2×\dfrac{21}{16}=\dfrac{21}{8}$。
步骤一：对$2a^{2} + 2ab + 2b^{2}$进行因式分解
提取公因式$2$可得：$2a^{2} + 2ab + 2b^{2}=2(a^{2}+ab + b^{2})$。
步骤二：对$a^{2}+ab + b^{2}$进行变形
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，将其代入$a^{2}+ab + b^{2}$可得：
$a^{2}+ab + b^{2}=(a^{2}+2ab + b^{2})-ab=(a + b)^{2}-ab$。
步骤三：将$a^{2}+ab + b^{2}=(a + b)^{2}-ab$代入$2(a^{2}+ab + b^{2})$，并结合已知条件求值
已知$(a + b)^{2} = 1$，$ab = -\dfrac{5}{16}$，则：
$2(a^{2}+ab + b^{2})=2[(a + b)^{2}-ab]=2×[1 - (-\dfrac{5}{16})]=2×(1 + \dfrac{5}{16})=2×\dfrac{21}{16}=\dfrac{21}{8}$。
4. 给出下列算式：①$ (2x + y)^{2} = 4x^{2} + y^{2} $；②$ (a - 3b)^{2} = a^{2} - 9b^{2} $；③$ (-x - y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2} $；④$ (4m - 3n)(3n - 4m) = -16m^{2} + 24mn - 9n^{2} $.其中错误的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
① $ (2x + y)^{2} $ 展开应为 $ 4x^{2} + 4xy + y^{2} $，与题目给出的 $ 4x^{2} + y^{2} $ 不符，错误。
② $ (a - 3b)^{2} $ 展开应为 $ a^{2} - 6ab + 9b^{2} $，与题目给出的 $ a^{2} - 9b^{2} $ 不符，错误。
③ $ (-x - y)^{2} $ 展开应为 $ x^{2} + 2xy + y^{2} $，与题目给出的 $ x^{2} - 2xy + y^{2} $ 不符，错误。
④ $ (4m - 3n)(3n - 4m) $ 可以转化为 $ -(4m - 3n)(4m - 3n) = - (4m - 3n)^{2} $，进一步展开得 $ - (16m^{2} - 24mn + 9n^{2}) = -16m^{2} + 24mn - 9n^{2} $，与题目给出的 $ -16m^{2} + 24mn - 9n^{2} $ 相符，正确。
所以，错误的有3个算式。
② $ (a - 3b)^{2} $ 展开应为 $ a^{2} - 6ab + 9b^{2} $，与题目给出的 $ a^{2} - 9b^{2} $ 不符，错误。
③ $ (-x - y)^{2} $ 展开应为 $ x^{2} + 2xy + y^{2} $，与题目给出的 $ x^{2} - 2xy + y^{2} $ 不符，错误。
④ $ (4m - 3n)(3n - 4m) $ 可以转化为 $ -(4m - 3n)(4m - 3n) = - (4m - 3n)^{2} $，进一步展开得 $ - (16m^{2} - 24mn + 9n^{2}) = -16m^{2} + 24mn - 9n^{2} $，与题目给出的 $ -16m^{2} + 24mn - 9n^{2} $ 相符，正确。
所以，错误的有3个算式。
5. 若关于$ x $的整式$ (x + 1)(x^{2} + mx - 2) $化简结果中二次项系数为0，则$ m $的值为()
A.2
B.-2
C.1
D.-1
A.2
B.-2
C.1
D.-1
答案
D
解析
首先将整式$(x + 1)(x^{2} + mx - 2)$展开，得到：
$(x + 1)(x^{2} + mx - 2) = x · x^{2} + x · mx - x · 2 + 1 · x^{2} + 1 · mx - 1 · 2$
$= x^{3} + mx^{2} - 2x + x^{2} + mx - 2$
$= x^{3} + (m + 1)x^{2} + (m - 2)x - 2$
由题目条件知，二次项系数为$0$，即：
$m + 1 = 0$
解这个方程，得到：
$m = -1$
$(x + 1)(x^{2} + mx - 2) = x · x^{2} + x · mx - x · 2 + 1 · x^{2} + 1 · mx - 1 · 2$
$= x^{3} + mx^{2} - 2x + x^{2} + mx - 2$
$= x^{3} + (m + 1)x^{2} + (m - 2)x - 2$
由题目条件知，二次项系数为$0$，即：
$m + 1 = 0$
解这个方程，得到：
$m = -1$
6. 某同学在计算$ -3x^{2} $乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是$ x^{2} - x + 1 $，由此可以推测正确的计算结果是()
A.$ 4x^{2} - x + 1 $
B.$ x^{2} - x + 1 $
C.$ -12x^{4} + 3x^{3} - 3x^{2} $
D.$ 12x^{4} - 3x^{3} + 3x^{2} $
A.$ 4x^{2} - x + 1 $
B.$ x^{2} - x + 1 $
C.$ -12x^{4} + 3x^{3} - 3x^{2} $
D.$ 12x^{4} - 3x^{3} + 3x^{2} $
答案
C
解析
设这个多项式为$P(x)$，根据题意有：
$-3x^{2} + P(x) = x^{2} - x + 1$，
从上式中解出$P(x)$，得：
$P(x) = x^{2} - x + 1 + 3x^{2} = 4x^{2} - x + 1$，
接下来，用$-3x^{2}$乘以多项式$P(x)$，即：
$-3x^{2} × (4x^{2} - x + 1)$
$= -12x^{4} + 3x^{3} - 3x^{2}$
根据计算结果，与选项对比，确定答案为C选项。
$-3x^{2} + P(x) = x^{2} - x + 1$，
从上式中解出$P(x)$，得：
$P(x) = x^{2} - x + 1 + 3x^{2} = 4x^{2} - x + 1$，
接下来，用$-3x^{2}$乘以多项式$P(x)$，即：
$-3x^{2} × (4x^{2} - x + 1)$
$= -12x^{4} + 3x^{3} - 3x^{2}$
根据计算结果，与选项对比，确定答案为C选项。
7. $ 3a^{2}b · (-2abc) = $；$ (x + 3)(x - 2) = $.
答案
对于 $3a^{2}b · (-2abc)$：
$3a^{2}b · (-2abc) = -6a^{3}b^{2}c$
对于 $(x + 3)(x - 2)$：
$(x + 3)(x - 2) $
$= x · x + x · (-2) + 3 · x + 3 × (-2) $
$= x^{2} - 2x + 3x - 6 $
$= x^{2} + x - 6$
故答案为：$- 6a^{3}b^{2}c$；$x^{2} + x - 6$。
$3a^{2}b · (-2abc) = -6a^{3}b^{2}c$
对于 $(x + 3)(x - 2)$：
$(x + 3)(x - 2) $
$= x · x + x · (-2) + 3 · x + 3 × (-2) $
$= x^{2} - 2x + 3x - 6 $
$= x^{2} + x - 6$
故答案为：$- 6a^{3}b^{2}c$；$x^{2} + x - 6$。
8. $ (x + 2)^{2} = $；$ (2x + 3y)(2x - 3y) = $.
答案
$x^{2}+4x+4$；$4x^{2}-9y^{2}$
9. 已知单项式$ -3x^{2a}y^{3} $与$ x^{2}y^{2b - 3} $的和是单项式，则它们的积是.
答案
因为单项式$-3x^{2a}y^{3}$与$x^{2}y^{2b - 3}$的和是单项式，所以它们是同类项。
同类项要求相同字母的指数相同，可得：
$2a = 2$，解得$a = 1$；
$2b - 3 = 3$，解得$b = 3$。
则这两个单项式分别为$-3x^{2}y^{3}$和$x^{2}y^{3}$。
它们的积为：$(-3x^{2}y^{3}) × (x^{2}y^{3}) = -3x^{4}y^{6}$。
$-3x^{4}y^{6}$
同类项要求相同字母的指数相同，可得：
$2a = 2$，解得$a = 1$；
$2b - 3 = 3$，解得$b = 3$。
则这两个单项式分别为$-3x^{2}y^{3}$和$x^{2}y^{3}$。
它们的积为：$(-3x^{2}y^{3}) × (x^{2}y^{3}) = -3x^{4}y^{6}$。
$-3x^{4}y^{6}$
10. $ (2a + b)^{2} = (2a - b)^{2} + $.
答案
$(2a + b)^{2} - (2a - b)^{2}$
$= (4a^{2} + 4ab + b^{2}) - (4a^{2} - 4ab + b^{2})$
$= 8ab$
所以，$(2a + b)^{2} = (2a - b)^{2} + 8ab$。
故答案为$8ab$。
$= (4a^{2} + 4ab + b^{2}) - (4a^{2} - 4ab + b^{2})$
$= 8ab$
所以，$(2a + b)^{2} = (2a - b)^{2} + 8ab$。
故答案为$8ab$。
11. 若多项式$ x^{2} + mx + 16 $恰好是一个完全平方式，则$ m $的值为.
答案
$\pm 8$
解析
答题格式（答题卡）：
完全平方式为$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$。
由题意，$x^{2} + mx + 16$是一个完全平方式，可以表示为$(x+a)^2$或$(x-a)^2$的形式。
常数值项为$16$，即$a^2 = 16$，解得$a = \pm 4$。
中间项为$mx$，与完全平方公式中的$\pm 2ab$对应。
当$a = 4$时，中间项为$\pm 2 × 1 × 4 = \pm 8$，所以$m = 8$或$m = -8$（由于平方对称性，两种情况均可能）。
当$a = -4$时，因为平方运算结果与$a$的符号无关，所以结果与上述一致。
综上所述，$m = \pm 8$。
完全平方式为$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$。
由题意，$x^{2} + mx + 16$是一个完全平方式，可以表示为$(x+a)^2$或$(x-a)^2$的形式。
常数值项为$16$，即$a^2 = 16$，解得$a = \pm 4$。
中间项为$mx$，与完全平方公式中的$\pm 2ab$对应。
当$a = 4$时，中间项为$\pm 2 × 1 × 4 = \pm 8$，所以$m = 8$或$m = -8$（由于平方对称性，两种情况均可能）。
当$a = -4$时，因为平方运算结果与$a$的符号无关，所以结果与上述一致。
综上所述，$m = \pm 8$。
12. 若$ n $满足$ (n - 2025)^{2} + (2027 - n)^{2} = 1 $，则$ (n - 2025)(2027 - n) = $.
答案
设$a = n - 2025$，$b = 2027 - n$，则原方程为$a^2 + b^2 = 1$，所求式为$ab$。
计算$a + b$：$a + b = (n - 2025) + (2027 - n) = 2$。
由完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，得$ab = \frac{(a + b)^2 - (a^2 + b^2)}{2}$。
将$a + b = 2$，$a^2 + b^2 = 1$代入，得$ab = \frac{2^2 - 1}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}$。
故$(n - 2025)(2027 - n) = \frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$
计算$a + b$：$a + b = (n - 2025) + (2027 - n) = 2$。
由完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，得$ab = \frac{(a + b)^2 - (a^2 + b^2)}{2}$。
将$a + b = 2$，$a^2 + b^2 = 1$代入，得$ab = \frac{2^2 - 1}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}$。
故$(n - 2025)(2027 - n) = \frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$
