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13. 计算(每小题4分，共24分)：
(1) $ (-2xy)^{2} · \dfrac{3}{4}x^{2}y $；
(2) $ (-3x)^{3}(-x^{2} - x + 1) $；
(3) $ (x + 2)(x + 4) $；
(4) $ (2a + 3b)(a + b) $；
(5) $ (m + 1)^{2} - 5(m + 1)(m - 1) $；
(6) $ (a + 2b - 5)(a - 2b - 5) $.
(1) $ (-2xy)^{2} · \dfrac{3}{4}x^{2}y $；
(2) $ (-3x)^{3}(-x^{2} - x + 1) $；
(3) $ (x + 2)(x + 4) $；
(4) $ (2a + 3b)(a + b) $；
(5) $ (m + 1)^{2} - 5(m + 1)(m - 1) $；
(6) $ (a + 2b - 5)(a - 2b - 5) $.
答案
(1)
$\begin{aligned}&(-2xy)^{2} · \dfrac{3}{4}x^{2}y \\=&4x^{2}y^{2} · \dfrac{3}{4}x^{2}y \\=&3x^{4}y^{3}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(-3x)^{3}(-x^{2} - x + 1) \\=&-27x^{3}(-x^{2} - x + 1) \\=&27x^{5} + 27x^{4} - 27x^{3}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(x + 2)(x + 4) \\=&x^{2} + 4x + 2x + 8 \\=&x^{2} + 6x + 8\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&(2a + 3b)(a + b) \\=&2a^{2} + 2ab + 3ab + 3b^{2} \\=&2a^{2} + 5ab + 3b^{2}\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}&(m + 1)^{2} - 5(m + 1)(m - 1) \\=&m^{2} + 2m + 1 - 5(m^{2} - 1) \\=&m^{2} + 2m + 1 - 5m^{2} + 5 \\=&-4m^{2} + 2m + 6\end{aligned}$
(6)
$\begin{aligned}&(a + 2b - 5)(a - 2b - 5) \\=&[(a - 5) + 2b][(a - 5) - 2b] \\=&(a - 5)^{2} - (2b)^{2} \\=&a^{2} - 10a + 25 - 4b^{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(-2xy)^{2} · \dfrac{3}{4}x^{2}y \\=&4x^{2}y^{2} · \dfrac{3}{4}x^{2}y \\=&3x^{4}y^{3}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(-3x)^{3}(-x^{2} - x + 1) \\=&-27x^{3}(-x^{2} - x + 1) \\=&27x^{5} + 27x^{4} - 27x^{3}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(x + 2)(x + 4) \\=&x^{2} + 4x + 2x + 8 \\=&x^{2} + 6x + 8\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&(2a + 3b)(a + b) \\=&2a^{2} + 2ab + 3ab + 3b^{2} \\=&2a^{2} + 5ab + 3b^{2}\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}&(m + 1)^{2} - 5(m + 1)(m - 1) \\=&m^{2} + 2m + 1 - 5(m^{2} - 1) \\=&m^{2} + 2m + 1 - 5m^{2} + 5 \\=&-4m^{2} + 2m + 6\end{aligned}$
(6)
$\begin{aligned}&(a + 2b - 5)(a - 2b - 5) \\=&[(a - 5) + 2b][(a - 5) - 2b] \\=&(a - 5)^{2} - (2b)^{2} \\=&a^{2} - 10a + 25 - 4b^{2}\end{aligned}$
14. (10分)在下列等式中，等号左侧均是两个多项式相乘，其中第一个多项式都是$ (a - b) $.
第1个等式：$ (a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2} $；
第2个等式：$ (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3} $；
第3个等式：$ (a - b)(a^{3} + a^{2}b + ab^{2} + b^{3}) = a^{4} - b^{4} $；
……
(1) 请根据规律，写出第四个等式：.
(2) 猜想：$ (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^{2} + ··· + a^{2}b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1}) = $(其中$ n $为正整数，且$ n ≥ 2 $).
(3) 利用(2)猜想的结论计算：$ 3^{9} - 3^{8} + 3^{7} - 3^{6} + ··· + 3^{3} - 3^{2} + 3 $.
第1个等式：$ (a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2} $；
第2个等式：$ (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3} $；
第3个等式：$ (a - b)(a^{3} + a^{2}b + ab^{2} + b^{3}) = a^{4} - b^{4} $；
……
(1) 请根据规律，写出第四个等式：.
(2) 猜想：$ (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^{2} + ··· + a^{2}b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1}) = $(其中$ n $为正整数，且$ n ≥ 2 $).
(3) 利用(2)猜想的结论计算：$ 3^{9} - 3^{8} + 3^{7} - 3^{6} + ··· + 3^{3} - 3^{2} + 3 $.
答案
14763
解析
(1) $(a - b)(a^{4} + a^{3}b + a^{2}b^{2} + ab^{3} + b^{4}) = a^{5} - b^{5}$
(2) $a^{n} - b^{n}$
(3) 设$S = 3^{9} - 3^{8} + 3^{7} - 3^{6} + ··· + 3^{3} - 3^{2} + 3$，令$a = 3$，$b = -1$，$n = 10$，由(2)得：$(a - b)(a^{9} + a^{8}b + a^{7}b^{2} + ··· + ab^{8} + b^{9}) = a^{10} - b^{10}$。
其中$a^{9} + a^{8}b + ··· + ab^{8} = S$，$b^{9} = (-1)^{9} = -1$，则$(3 - (-1))(S + (-1)) = 3^{10} - (-1)^{10}$，即$4(S - 1) = 59049 - 1$，$4(S - 1) = 59048$，$S - 1 = 14762$，$S = 14763$。
(2) $a^{n} - b^{n}$
(3) 设$S = 3^{9} - 3^{8} + 3^{7} - 3^{6} + ··· + 3^{3} - 3^{2} + 3$，令$a = 3$，$b = -1$，$n = 10$，由(2)得：$(a - b)(a^{9} + a^{8}b + a^{7}b^{2} + ··· + ab^{8} + b^{9}) = a^{10} - b^{10}$。
其中$a^{9} + a^{8}b + ··· + ab^{8} = S$，$b^{9} = (-1)^{9} = -1$，则$(3 - (-1))(S + (-1)) = 3^{10} - (-1)^{10}$，即$4(S - 1) = 59049 - 1$，$4(S - 1) = 59048$，$S - 1 = 14762$，$S = 14763$。
