15. (12分)为创建文明校园环境，某校制作了写有“节约用水”“讲文明，讲卫生”等内容的标识牌，标识牌由如图①所示的长为$ 2m $，宽为$ 2n $的长方形板材裁剪而成.将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标识牌，在粘贴过程中，有人发现用它们可以拼成如图②所示的一个正方形.

(1) 用两种不同方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积，可得到一个等式：.
(2) 利用(1)中的结论解决下列问题：
① 已知$ m + n = 7 $，$ mn = 6 $，则$ (m - n)^{2} = $；
② 已知$ (4 - x)(5 - x) = 6 $，求$ (9 - 2x)^{2} $的值.

(1) $(m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn$；(2) ① 25；② 25。

(1) 方法一：阴影部分小正方形边长为 $m - n$，面积为 $(m - n)^2$；方法二：大正方形边长为 $m + n$，面积为 $(m + n)^2$，四个小长方形面积为 $4mn$，故阴影部分面积为 $(m + n)^2 - 4mn$。等式为：$(m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn$。
(2) ① $(m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn = 7^2 - 4×6 = 49 - 24 = 25$。
② 设 $a = 4 - x$，$b = 5 - x$，则 $a + b = 9 - 2x$，$b - a = 1$，$ab = 6$。由(1)结论：$(b - a)^2 = (a + b)^2 - 4ab$，即 $1^2 = (a + b)^2 - 4×6$，$1 = (a + b)^2 - 24$，$(a + b)^2 = 25$，故 $(9 - 2x)^2 = 25$。