1. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,若$AB= 5,\sin A= \frac{3}{5},$则 AC 的长是( )


A.3
B.4
C.5
D.6

B

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，$\sin A=\frac{3}{5}$。
因为$\sin A=\frac{BC}{AB}$，所以$\frac{BC}{5}=\frac{3}{5}$，解得BC=3。
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
B

2. 根据下列所给条件解直角三角形,结果不能确定的是( )
①已知一直角边及其对角.②已知两锐角.③已知两直角边.④已知斜边和一锐角.⑤已知一直角边和斜边.

A.②③
B.②④
C.只有②
D.④⑤

C

在直角三角形中，除直角外有五个元素：两条直角边、一条斜边和两个锐角。解直角三角形需已知两个元素（至少一个是边）。
①已知一直角边及其对角，可利用三角函数求斜边和另一直角边，能确定。
②已知两锐角，仅知道角的关系，边长无法确定，结果不能确定。
③已知两直角边，可用勾股定理求斜边，用三角函数求锐角，能确定。
④已知斜边和一锐角，可利用三角函数求两条直角边，能确定。
⑤已知一直角边和斜边，可用勾股定理求另一直角边，用三角函数求锐角，能确定。
结果不能确定的是②。
C

3. 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠B= 35°,AB= 5,则 BC 的长为$( )A. 5\sin 35°B. \frac{5}{\cos 35°}C. 5\cos 35°D. 5\tan 35°$

C

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=5。
cos∠B = $\frac{BC}{AB}$
BC = AB·cos∠B = 5cos35°
C

4. 如图,菱形 ABCD 的面积为$ 24,\tan\angle BAC= \frac{3}{4},$则菱形的边长为( )


A.6
B.8
C.5
D.15

C

证明：设菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，则 $AC \perp BD$，$AO = \frac{1}{2}AC$，$BO = \frac{1}{2}BD$。
菱形面积 $S = \frac{1}{2}AC \cdot BD = 24$，即 $AC \cdot BD = 48$。
在 $Rt\triangle AOB$ 中，$\tan\angle BAC = \frac{BO}{AO} = \frac{3}{4}$，设 $BO = 3k$，$AO = 4k$（$k ＞ 0$）。
则 $AC = 8k$，$BD = 6k$，代入 $AC \cdot BD = 48$ 得 $8k \cdot 6k = 48$，解得 $k = 1$（$k = -1$ 舍去）。
$AO = 4$，$BO = 3$，由勾股定理得 $AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
C

5. 一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边(OC⊥OB,点 A,B,C,D,O 在同一平面内),已知 CD= a,AD= b,∠BCO= x,则点 A 到 OB 的距离等于$( )A. a\sin xB. a\cos xC. b\cos xD. b\sin x$

A

解：过点 $ A $ 作 $ AE \perp OB $ 于点 $ E $，过点 $ B $ 作 $ BF \perp OC $ 于点 $ F $。
在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = CD = a $，$ AD = BC = b $，$ AB // CD $，故 $ \angle ABO = \angle BCO = x $。
在 $ Rt\triangle BEA $ 中，$ AE = AB \cdot \sin x = a\sin x $。
答案：A

6. 如图,在 4×5 的正方形网格中,点 A,B,C 都在格点上,则$\sin\angle ABC= $_________$.$

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

设每个小正方形的边长为1，
则由勾股定理得：$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
过点C作$CD\perp AB$于点D，
$S_{\triangle ABC}=3×4-\frac{1}{2}×3×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×2=12-6-1-2=3$，
又$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×5× CD=3$，解得$CD=\frac{6}{5}$，
在$Rt\triangle BCD$中，$\sin\angle ABC=\frac{CD}{BC}=\frac{\frac{6}{5}}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{25}$。
1

7. 如图,在 Rt△ABC 中$,∠C= 90°,AC= \sqrt{3},AB= 2\sqrt{3},AD $平分∠BAC,则∠B= ______,AD= ______.

30° 2

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$AC=\sqrt{3}$，$AB=2\sqrt{3}$。
$\cos\angle BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，则$\angle BAC=60°$，故$\angle B=90° - 60°=30°$。
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}=3$。
设$CD=x$，则$BD=3 - x$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{x}{3 - x}$，解得$x=1$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AD=\sqrt{AC^2 + CD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}=2$。
$30°$；$2$

8. 如图,在△ABC 中$,∠B= 30°,\sin C= \frac{3}{5},AC= 10,$则 AB 的长为______.

12

解：过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，
∵sin C= $\frac{AD}{AC}$，AC=10，sin C= $\frac{3}{5}$，
∴AD=AC·sin C=10×$\frac{3}{5}$=6，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=2×6=12.
12