9. 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,根据下列条件解直角三角形$.(1)∠A= 30°,b= 12.(2)a= 2\sqrt{6},c= 4\sqrt{3}.$
答案
解:
(1)由$\angle C=90^{\circ}$,得$\angle B=90^{\circ}-\angle A=60^{\circ}$.由$\cos A=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,即$\frac{12}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,解得$c=8\sqrt{3}$.由勾股定理,得$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{192-144}=4\sqrt{3}$.
(2)$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$A=45^{\circ}$,$B=90^{\circ}-\angle A=45^{\circ}$,$b=a=2\sqrt{6}$.
(1)由$\angle C=90^{\circ}$,得$\angle B=90^{\circ}-\angle A=60^{\circ}$.由$\cos A=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,即$\frac{12}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,解得$c=8\sqrt{3}$.由勾股定理,得$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{192-144}=4\sqrt{3}$.
(2)$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$A=45^{\circ}$,$B=90^{\circ}-\angle A=45^{\circ}$,$b=a=2\sqrt{6}$.
10. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,点 D 在 AC 上,∠DBC= ∠A.若$ AC= 4,\cos A= \frac{4}{5},$则 BD 的长为$( )
A. \frac{9}{4}B. \frac{12}{5}C. \frac{15}{4}D. 4$
A. \frac{9}{4}B. \frac{12}{5}C. \frac{15}{4}D. 4$答案
C
解析
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，$\cos A=\frac{4}{5}$。
因为$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$，所以$AB=\frac{AC}{\cos A}=\frac{4}{\frac{4}{5}}=5$。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
设$CD=x$，则$AD=AC-CD=4-x$。
因为∠DBC=∠A，∠C=∠C，所以△DBC∽△BAC。
所以$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AC}$，即$\frac{x}{3}=\frac{3}{4}$，解得$x=\frac{9}{4}$。
在Rt△DBC中，$BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{(\frac{9}{4})^2+3^2}=\sqrt{\frac{81}{16}+\frac{144}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}$。
答案：C
因为$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$，所以$AB=\frac{AC}{\cos A}=\frac{4}{\frac{4}{5}}=5$。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
设$CD=x$，则$AD=AC-CD=4-x$。
因为∠DBC=∠A，∠C=∠C，所以△DBC∽△BAC。
所以$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AC}$，即$\frac{x}{3}=\frac{3}{4}$，解得$x=\frac{9}{4}$。
在Rt△DBC中，$BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{(\frac{9}{4})^2+3^2}=\sqrt{\frac{81}{16}+\frac{144}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}$。
答案：C
11. 如图,在△ABC 中$,\sin B= \frac{1}{2},AD⊥BC 于点 D,∠DAC= 45°,AC= 10\sqrt{2},$则线段 BD 的长为$( )
A. 10B. 10\sqrt{2}C. 10\sqrt{3}D. 15$
A. 10B. 10\sqrt{2}C. 10\sqrt{3}D. 15$答案
C
解析
解：在$Rt\triangle ADC$中，$\angle DAC=45°$，$AC=10\sqrt{2}$，
$\sin\angle DAC=\frac{CD}{AC}$，$\cos\angle DAC=\frac{AD}{AC}$，
$\because\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore CD=AC\cdot\sin45°=10\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=10$，
$AD=AC\cdot\cos45°=10\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=10$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，$AD=10$，
$\therefore AB=\frac{AD}{\sin B}=\frac{10}{\frac{1}{2}}=20$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{20^2-10^2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$。
C
$\sin\angle DAC=\frac{CD}{AC}$，$\cos\angle DAC=\frac{AD}{AC}$，
$\because\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore CD=AC\cdot\sin45°=10\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=10$，
$AD=AC\cdot\cos45°=10\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=10$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，$AD=10$，
$\therefore AB=\frac{AD}{\sin B}=\frac{10}{\frac{1}{2}}=20$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{20^2-10^2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$。
C
12. 如图,在每个小正方形边长都为 1 的 3×5 的正方形网格中,点 A,B,C,D 都在格点上,则$\sin\angle 1= $_________$.$
答案
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
连接格点，设∠1的顶点为点O。通过网格计算得OA=√2，OB=√2，AB=2。
∵OA²+OB²=(√2)²+(√2)²=4=AB²，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°。
∴∠1=45°，
∴sin∠1=sin45°=√2/2。
√2/2
∵OA²+OB²=(√2)²+(√2)²=4=AB²，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°。
∴∠1=45°，
∴sin∠1=sin45°=√2/2。
√2/2
13. 如图,AD 是△ABC 的中线$,\tan B= \frac{1}{5},\cos C= \frac{\sqrt{2}}{2},AC= \sqrt{2}.$求：
(1)BC 的长.
(2)∠ADC 的正弦值.
(1)BC 的长.
(2)∠ADC 的正弦值.
答案
解:
(1)如图,过点A作$AH\perp BC$于点H.
在$Rt\triangle ACH$中,$\because \cos C=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{CH}{AC}$,$AC=\sqrt{2}$,$\therefore CH=1$,$\therefore AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=1$.在$Rt\triangle ABH$中,$\because \tan B=\frac{AH}{BH}=\frac{1}{5}$,$\therefore BH=5$,$\therefore BC=BH+CH=6$.(2)$\because AD$是$\triangle ABC$的中线,$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=3$,$\therefore DH=CD-CH=2$,$AD=\sqrt{AH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{5}$.在$Rt\triangle ADH$中,$\sin\angle ADH=\frac{AH}{AD}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,$\therefore \angle ADC$的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
