3. 在如图所示的数轴上,点 $ P $ 为原点。点 $ A $,$ B $ 距离 $ -2 $ 均为 $ 6 $ 个单位长度,且点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧,若现在有 $ C $,$ D $ 两点分别从 $ P $,$ B $ 同时出发向点 $ A $ 移动,且已知点 $ C $,$ D $ 分别以每秒 $ 2 $ 个单位长度和每秒 $ 3 $ 个单位长度的速度移动了 $ t s $。
请回答下列问题：
(1) 求 $ A $,$ B $ 两点表示的数；
(2) 当 $ t = 2 $ 时,$ CD $ 的长度为多少个单位长度？
(3) 当 $ D $ 在线段 $ BP $ 上运动时,线段 $ AC $,$ CD $ 之间存在何种数量关系？

3.解:
(1)因为点A，B距离 - 2均为6个单位长度，且点A在点B的左侧，
所以点A表示的数为 - 2 - 6 = - 8，点B表示的数为 - 2 + 6 = 4.
(2)当t = 2时，点C表示的数为0 - 2×2 = - 4，
点D表示的数为4 - 2×3 = - 2，
所以CD = | - 2 - (-4)| = 2.
即t = 2时，CD的长度为2个单位长度.
(3)因为点D表示的数为4 - 3t，点C表示的数为 - 2t，
所以AC = - 2t - (-8) = 8 - 2t，
CD = (4 - 3t) - (-2t) = 4 - t，
所以AC = 2CD.

【分析】
1. 求解A、B对应的数：数轴上到某点距离为固定值的点有2个，分别在该点的左右两侧，左侧点对应的数比该点小，右侧点对应的数比该点大，结合点A在点B左侧的条件，分别对-2做减6、加6的运算即可得到A、B的数。
2. 求t=2时CD的长度：首先明确运动方向为向左，移动t秒后点对应的数=起始点的数-速度×t，代入t=2分别得到此时C、D对应的数，再计算两点的距离即可。
3. 探究D在线段BP上时AC和CD的数量关系：先用含t的式子分别表示出运动后C、D对应的数，再结合数轴上两点距离公式分别表示出AC、CD的长度，化简后即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 因为点A，B距离-2均为6个单位长度，且点A在点B的左侧，
所以点A表示的数为 $-2 - 6 = -8$，点B表示的数为 $-2 + 6 = 4$。
(2) 当$t=2$时，点C从原点出发向左移动，对应的数为 $0 - 2×2 = -4$，
点D从点B出发向左移动，对应的数为 $4 - 3×2 = -2$，
所以$CD = \left| -2 - (-4) \right| = 2$。
即$t=2$时，$CD$的长度为2个单位长度。
(3) 运动t秒后，点D表示的数为$4-3t$，点C表示的数为$-2t$，
所以$AC = -2t - (-8) = 8 - 2t$，
$CD = (4 - 3t) - (-2t) = 4 - t$，
因此可得$AC = 2CD$。
【答案】
(1) 点A表示的数为$\boldsymbol{-8}$，点B表示的数为$\boldsymbol{4}$；
(2) 当$t=2$时，$CD$的长度为$\boldsymbol{2}$个单位长度；
(3) 线段$AC$和$CD$的数量关系为$\boldsymbol{AC=2CD}$。
【知识点】
数轴上点的表示；数轴上两点距离；数轴动点问题
【点评】
本题结合数轴与动点运动考察数轴相关计算，解题核心是掌握运动后点对应数值的表示方法，注意向左移动时数值减小，向右移动时数值增大，再结合两点距离公式即可逐步求解。
【难度系数】
0.7

4. 如图所示,点 $ A $,$ O $,$ B $ 在数轴上表示的数分别为 $ -6 $,$ 0 $,$ 10 $,点 $ C $ 是数轴上一动点,其表示的数为 $ x $。
(1) 若点 $ C $ 到 $ A $,$ B $ 两点的距离相等,求点 $ C $ 表示的数。
(2) 数轴上是否存在点 $ C $,使得点 $ C $ 到点 $ A $、点 $ B $ 距离之和为 $ 25 $？若存在,求出 $ x $ 的值；若不存在,说明理由。

4.解:
(1)因为点A，B在数轴上表示的数分别为 - 6，10，点C表示的数为x，
点C到A，B两点的距离相等，
所以点C为线段AB的中点，即点C在点A，B之间.
所以AC = x - (-6)，BC = 10 - x.
所以x - (-6) = 10 - x，解得x = 2.
所以点C表示的数是2.
(2)存在.
因为点A，B在数轴上表示的数分别为 - 6，10，
所以AB = 10 - (-6) = 16.
所以当点C在点A，B之间时，CA + CB = 16.
所以当点C在数轴上，且到点A、点B距离之和为25时，有以下两种情况:
①当点C在点A的左边时，
AC = - 6 - x，BC = 10 - x，
所以 - 6 - x + 10 - x = 25，
解得x = - 10.5;
②当点C在点B的右边时，
AC = x - (-6)，BC = x - 10，
所以x - (-6) + x - 10 = 25，
解得x = 14.5.
综上所述，x的值为 - 10.5或14.5.

【分析】
(1) 点C到A、B两点距离相等，说明点C是线段AB的中点，位于A、B之间。我们可以根据数轴上两点距离的表示方法（右边点对应的数减左边点对应的数），分别写出AC、BC的长度表达式，令两者相等列一元一次方程，求解即可得到点C对应的数。
(2) 首先计算A、B两点的固有距离，发现AB长为16，小于要求的距离和25，因此点C不可能在A、B之间，需要分两种情况讨论：①点C在A点左侧；②点C在B点右侧。分别对应两种情况写出AC、BC的长度表达式，再根据距离和为25列方程求解，即可得到x的取值。
【解析】
(1) 已知点A、B在数轴上表示的数分别为-6、10，点C表示的数为x，
因为点C到A、B两点的距离相等，所以点C是线段AB的中点，位于A、B之间，
此时$AC=x - (-6)$，$BC=10 - x$，
由$AC=BC$列方程得：$x - (-6)=10 - x$，
解得$x=2$。
(2) 存在这样的点C，理由如下：
先计算A、B两点的距离：$AB=10 - (-6)=16$，
若点C在A、B之间，则$CA+CB=AB=16＜25$，不符合要求，因此点C只能在A左侧或B右侧，分两种情况讨论：
① 当点C在点A的左侧时：
$AC=-6 - x$，$BC=10 - x$，
由$AC+BC=25$列方程得：$-6 - x + 10 - x=25$，
解得$x=-10.5$；
② 当点C在点B的右侧时：
$AC=x - (-6)$，$BC=x - 10$，
由$AC+BC=25$列方程得：$x - (-6) + x - 10=25$，
解得$x=14.5$。
综上，x的值为-10.5或14.5。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) 存在，$\boxed{-10.5}$或$\boxed{14.5}$
【知识点】
数轴上两点距离，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题是数轴动点类的基础题型，重点考查数轴上两点距离的表示方法，解题时需根据点的位置分类讨论，正确写出距离的表达式，避免因漏算情况导致失分。
【难度系数】
0.7