【例 2】用$A$,$B$两种型号的机器生产相同的产品,产品装入同样规格的包装箱后运往仓库. 已知每台$B型机器比A型机器一天多生产2$件产品,$3台A型机器一天生产的产品恰好能装满5$箱,$4台B型机器一天生产的产品恰好能装满7$箱. 每台$A$型机器一天生产多少件产品？每箱装多少件产品？

解法一:设每台A型机器一天生产x件产品.由题意,得$\frac{3x}{5}=\frac{4(x+2)}{7}$,解得x=40,所以$\frac{3x}{5}=\frac{3×40}{5}=24$.答:每台A型机器一天生产40件产品,每箱装24件产品. 解法二:设每箱装x件产品.由题意,得$\frac{5x}{3}=\frac{7x}{4}-2$,解得x=24,所以$\frac{5x}{3}=\frac{5×24}{3}=40$.答:每台A型机器一天生产40件产品,每箱装24件产品.

【分析】
本题有两个未知量：每台A型机器的日产量、每箱装的产品数，存在两个核心等量关系：①每台B型机器日产量 = 每台A型机器日产量 + 2件；②每箱装的产品数是固定值，与用哪种机器生产的产品装箱无关。解题时可任选一个未知量设为未知数，利用其中一个等量关系表示出另一个未知量，再根据另一个等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解法一：设每台A型机器一天生产$x$件产品，则每台B型机器一天生产$(x+2)$件产品。
由每箱装的产品数相等，可列方程：
$\frac{3x}{5}=\frac{4(x+2)}{7}$
去分母，两边同时乘35得：
$21x=20(x+2)$
去括号得：
$21x=20x+40$
移项、合并同类项得：
$x=40$
则每箱装的产品数为$\frac{3x}{5}=\frac{3×40}{5}=24$（件）
解法二：设每箱装$x$件产品。
由“每台B型机器比A型机器一天多生产2件产品”可列方程：
$\frac{5x}{3}=\frac{7x}{4}-2$
去分母，两边同时乘12得：
$20x=21x-24$
移项、合并同类项得：
$x=24$
则每台A型机器一天生产的产品数为$\frac{5x}{3}=\frac{5×24}{3}=40$（件）
【答案】
每台A型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品。
【知识点】
一元一次方程的应用；去分母解一元一次方程
【点评】
本题是典型的一元一次方程实际应用类问题，解题的核心是抓住题目中的不变量作为列方程的等量关系，既可以设单台机器日产量为未知数，也可以设每箱产品数为未知数，能有效考察学生提取题干信息、建立方程模型的能力。
【难度系数】
0.7

3. 小明骑自行车从家到学校,若每小时行驶$10$km,则晚到$4$min；若每小时行驶$15$km,则早到$4$min. 求小明家到学校的路程.

解:设小明家到学校的路程是x km.根据题意,得$\frac{x}{10}-\frac{4}{60}=\frac{x}{15}+\frac{4}{60}$.解得x=4.答:小明家到学校的路程是4 km.

【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题核心是找到不变量建立等量关系。本题中小明准时到达学校所需的时间是固定的，结合行程公式“时间=路程÷速度”分析：由于速度单位是km/h，需先把题目中的分钟换算为小时（除以60）。当速度为10km/h时，所用时间比准时时间多4分钟，因此准时时间可表示为$\frac{x}{10}-\frac{4}{60}$；当速度为15km/h时，所用时间比准时时间少4分钟，因此准时时间可表示为$\frac{x}{15}+\frac{4}{60}$，两个式子均表示准时时间，据此列方程求解即可。
【解析】
解：设小明家到学校的路程是$x$ km，先统一单位：$4\ \mathrm{min}=\frac{4}{60}\ \mathrm{h}$。
根据准时到达的时间不变，列方程得：
$\frac{x}{10}-\frac{4}{60}=\frac{x}{15}+\frac{4}{60}$
去分母，两边同时乘60得：
$6x - 4 = 4x + 4$
移项得：
$6x - 4x = 4 + 4$
合并同类项得：
$2x = 8$
系数化为1得：
$x = 4$
答：小明家到学校的路程是4 km。
【答案】
4 km
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；去分母解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是抓住“准时到达的时间”这一不变量构建等量关系，解题过程中需要注意时间单位的统一，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7

1. 解一元一次方程$\frac{1}{2}(x + 1) = 1 - \frac{1}{3}x$时,去分母正确的是( )
A. $3(x + 1) = 1 - 2x$
B. $2(x + 1) = 1 - 3x$
C. $2(x + 1) = 6 - 3x$
D. $3(x + 1) = 6 - 2x$

D

【分析】
解这道题首先要明确去分母的依据是等式的性质，步骤是先找方程中各分母的最小公倍数，再给等式两边的每一项都乘这个最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。本题中方程的分母是2和3，最小公倍数是6，接下来分别计算等式两边每一项乘6之后的结果，再对应选项判断即可。
【解析】
首先确定方程中两个分母2和3的最小公倍数为6，根据等式的性质，给方程左右两边的每一项同时乘以6：
左边：$\frac{1}{2}(x+1) × 6 = 3(x+1)$
右边：$1×6 - \frac{1}{3}x ×6 = 6 - 2x$
因此去分母后得到的等式为$3(x+1) = 6 - 2x$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质；去分母解一元一次方程
【点评】
本题是去分母的基础考查题，易错点是去分母时漏乘不含分母的常数项，解题时要注意必须给等式的每一项都乘各分母的最小公倍数，避免因漏乘出错。
【难度系数】
0.8

2. 把方程$\frac{x + 2}{3} - \frac{0.3x - 0.1}{0.7} = 2$的分母化为整数,结果应为( )
A. $\frac{x + 2}{3} - \frac{3x - 1}{7} = 20$
B. $\frac{x + 2}{3} - \frac{3x - 1}{7} = 2$
C. $\frac{10x + 20}{3} - \frac{3x - 1}{7} = 20$
D. $\frac{10x + 20}{3} - \frac{3x - 1}{7} = 2$

B

【分析】
解题时首先明确题目要求是将方程的分母化为整数，核心依据是分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘同一个不为0的数，分数大小不变。注意区分“分母化整数”和“去分母”的区别：分母化整数仅对有小数分母的单个分数做等值变形，不需要改变方程其他项的大小。第一步先观察方程的两个分数，第一个分数分母是整数，无需变形；第二步处理小数分母的分数，分子分母同乘10把分母变为整数；第三步方程右边的常数项没有参与变形，保持原大小不变，即可得到正确结果。
【解析】
根据分数的基本性质对小数分母的分数做变形：
1. 分数$\frac{x+2}{3}$的分母为3，已是整数，不需要变形；
2. 对分数$\frac{0.3x-0.1}{0.7}$，分子和分母同时乘10，分数大小不变：
$\frac{(0.3x-0.1)×10}{0.7×10}=\frac{3x-1}{7}$
3. 本次变形仅对单个分数做等值调整，没有在方程左右两边同时乘同一个数，因此方程右侧的常数项2保持不变。
最终变形后的方程为$\frac{x + 2}{3} - \frac{3x - 1}{7} = 2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分数的基本性质、一元一次方程化简
【点评】
本题的易错点是混淆分母化整数和去分母的操作，很多同学会错误地将方程所有项都乘10，导致常数项变为20错选A。解题时要明确：分母化整数是对单个分数的分子分母做同乘运算，不会改变方程其他项的数值。
【难度系数】
0.7

3. 若$\frac{m}{3} + 1与\frac{2m - 7}{3}$互为相反数,则$m$的值为( )
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $-\frac{3}{4}$
D. $-\frac{4}{3}$

B

【分析】
解题首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，据此可以列出关于m的一元一次方程。接下来按照去分母解一元一次方程的步骤求解即可：先给方程两边同乘分母的最小公倍数去掉分母，再依次通过合并同类项、移项、系数化为1得到m的取值。
【解析】
解：
∵$\frac{m}{3} + 1$与$\frac{2m - 7}{3}$互为相反数
∴根据互为相反数的两数和为0，列方程得：
$\frac{m}{3} + 1 + \frac{2m - 7}{3} = 0$
方程两边同时乘3去分母，得：
$m + 3 + 2m - 7 = 0$
合并同类项，得：
$3m - 4 = 0$
移项，得：
$3m = 4$
系数化为1，得：
$m = \frac{4}{3}$
【答案】
B
【知识点】
1.相反数的性质
2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，解题关键是利用相反数的性质正确列方程，去分母时需注意不要漏乘不含分母的常数项，熟练掌握一元一次方程的基本解法即可轻松得分。
【难度系数】
0.75

4. 若式子$\frac{x + 2}{4}的值比\frac{2x - 3}{6}的值大1$,则$x$的值是______.

0

【分析】
首先根据题目中“$\frac{x + 2}{4}$比$\frac{2x - 3}{6}$的值大1”的数量关系列出一元一次方程，再按照去分母解一元一次方程的步骤求解：先找到分母4和6的最小公倍数12，方程两边同时乘12去掉分母，再依次完成去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，即可得到x的值。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{x + 2}{4} - \frac{2x - 3}{6} = 1$
去分母（方程两边同时乘12），得：
$3(x + 2) - 2(2x - 3) = 12$
去括号，得：
$3x + 6 - 4x + 6 = 12$
移项，得：
$3x - 4x = 12 - 6 - 6$
合并同类项，得：
$-x = 0$
系数化为1，得：
$x = 0$
【答案】
0
【知识点】
列一元一次方程；去分母解一元一次方程
【点评】
本题是基础计算类题目，重点考查将文字描述的数量关系转化为方程的能力，以及解一元一次方程的规范步骤，解题时要注意去分母时不要漏乘常数项，去括号时注意符号变化，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8

5. 已知$x = 2是关于x的方程\frac{x - 1}{3} + k = k(x + 2)$的解,则$k$的值为______.

$\frac{1}{9}$

【分析】
解题的核心是利用方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=2是方程的解，第一步先将x=2代入原方程，把原方程转化为仅含未知数k的一元一次方程，再按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解这个一元一次方程，就能求出k的值。
【解析】
解：
∵$x = 2$是方程$\frac{x - 1}{3} + k = k(x + 2)$的解
∴将$x=2$代入原方程，得：
$\frac{2 - 1}{3} + k = k(2 + 2)$
化简得：$\frac{1}{3} + k = 4k$
两边同时乘3去分母，得：
$1 + 3k = 12k$
移项，得：
$12k - 3k = 1$
合并同类项，得：
$9k = 1$
系数化为1，得：
$k = \frac{1}{9}$
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，考查方程解的应用，将已知解代入原方程转化为关于参数的一元一次方程是解题的关键，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.8

6. 当$m$为______时,式子$2m - \frac{5m - 1}{3}的值与式子\frac{7 - m}{2}的值的和等于10$.

-37

【分析】
首先根据题目中“两个式子的和为10”的等量关系列出一元一次方程，再按解一元一次方程的常规步骤求解：先找分母的最小公倍数去分母，注意不要漏乘不含分母的项；再去括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号；随后移项、合并同类项，最后系数化为1得到m的值。
【解析】
根据题意可列方程：
$2m - \frac{5m - 1}{3} + \frac{7 - m}{2} = 10$
1. 去分母：两边同时乘以分母的最小公倍数6，每一项均乘6，得：
$6×2m - 2(5m - 1) + 3(7 - m) = 10×6$
化简得：
$12m - 2(5m - 1) + 3(7 - m) = 60$
2. 去括号：
$12m - 10m + 2 + 21 - 3m = 60$
3. 合并同类项：
$-m + 23 = 60$
4. 移项：
$-m = 60 - 23$
计算得：
$-m = 37$
5. 系数化为1：
$m = -37$
【答案】
$-37$
【知识点】
列一元一次方程；去分母解一元一次方程
【点评】
本题核心考查文字等量关系转化为方程的能力，以及去分母解一元一次方程的运算能力，易错点为去分母时漏乘整数项、去括号时符号处理错误，解题时需注意运算的规范性。
【难度系数】
0.6