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7. (2024·陕西中考)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除. 根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需$4$h；若爸爸单独完成,需$2$h. 当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了$3$h,求这次小峰打扫了多长时间.
答案
解:设这次小峰打扫了x h,则爸爸打扫了(3-x)h,根据题意,得$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$,解得x=2.答:这次小峰打扫了2 h.
解析
【分析】
这是工程类一元一次方程应用题，解题核心依据工程问题基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，通常将总工作量看作单位“1”。首先设小峰打扫的时长为x h，那么爸爸打扫的时长就是总时长减去小峰的时长，即(3-x)h；再分别计算两人的工作量：小峰单独完成需4h，工作效率为$\frac{1}{4}$每小时，工作量为$\frac{x}{4}$；爸爸单独完成需2h，工作效率为$\frac{1}{2}$每小时，工作量为$\frac{3-x}{2}$。两人工作量之和等于总工作量1，据此列方程，再按去分母的规则解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
解：设这次小峰打扫了$x$ h，则爸爸打扫了$(3-x)$ h。
将总打扫任务看作单位“1”，根据两人总工作量等于总任务量列方程：
$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$
去分母（方程两边同时乘4），得：
$x + 2(3-x) = 4$
去括号，得：
$x + 6 - 2x = 4$
移项、合并同类项，得：
$-x = -2$
系数化为1，得：
$x=2$
经检验，$x=2$符合题意。
答：这次小峰打扫了2 h。
【答案】
这次小峰打扫了2 h。
【知识点】
工程问题；一元一次方程的实际应用；去分母解一元一次方程
【点评】
本题是典型的工程类基础应用题，解题关键是掌握工程问题中将总工作量设为1的常用思路，准确找到工作量的等量关系列方程，运算时注意去分母不要漏乘常数项，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
这是工程类一元一次方程应用题，解题核心依据工程问题基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，通常将总工作量看作单位“1”。首先设小峰打扫的时长为x h，那么爸爸打扫的时长就是总时长减去小峰的时长，即(3-x)h；再分别计算两人的工作量：小峰单独完成需4h，工作效率为$\frac{1}{4}$每小时，工作量为$\frac{x}{4}$；爸爸单独完成需2h，工作效率为$\frac{1}{2}$每小时，工作量为$\frac{3-x}{2}$。两人工作量之和等于总工作量1，据此列方程，再按去分母的规则解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
解：设这次小峰打扫了$x$ h，则爸爸打扫了$(3-x)$ h。
将总打扫任务看作单位“1”，根据两人总工作量等于总任务量列方程：
$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$
去分母（方程两边同时乘4），得：
$x + 2(3-x) = 4$
去括号，得：
$x + 6 - 2x = 4$
移项、合并同类项，得：
$-x = -2$
系数化为1，得：
$x=2$
经检验，$x=2$符合题意。
答：这次小峰打扫了2 h。
【答案】
这次小峰打扫了2 h。
【知识点】
工程问题；一元一次方程的实际应用；去分母解一元一次方程
【点评】
本题是典型的工程类基础应用题，解题关键是掌握工程问题中将总工作量设为1的常用思路，准确找到工作量的等量关系列方程，运算时注意去分母不要漏乘常数项，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
8. 解下列方程：
(1)$\frac{5y + 1}{6} = \frac{9y + 1}{8} - \frac{1 - y}{3}$；
(2)$2x - (x + 10) + \frac{x + 1}{2} = 6x + 3 + \frac{2 - x}{4}$；
(3)$\frac{4 - 6x}{0.01} - 6.5 = \frac{0.02 - 4x}{0.02} - 7.5$.
(1)$\frac{5y + 1}{6} = \frac{9y + 1}{8} - \frac{1 - y}{3}$；
(2)$2x - (x + 10) + \frac{x + 1}{2} = 6x + 3 + \frac{2 - x}{4}$；
(3)$\frac{4 - 6x}{0.01} - 6.5 = \frac{0.02 - 4x}{0.02} - 7.5$.
答案
(1)去分母,得4(5y+1)=3(9y+1)-8(1-y).去括号,得20y+4=27y+3-8+8y.移项及合并同类项,得-15y=-9.系数化为1,得y=$\frac{3}{5}$.
(2)去分母,得8x-4(x+10)+2(x+1)=24x+12+(2-x).去括号,得8x-4x-40+2x+2=24x+12+2-x.移项及合并同类项,得-17x=52.系数化为1,得x=$-\frac{52}{17}$.
(3)$\frac{4-6x}{0.01}-6.5=\frac{0.02-4x}{0.02}-7.5$,原方程可化为$\frac{400-600x}{1}-\frac{13}{2}=\frac{2-400x}{2}-\frac{15}{2}$.去分母,得800-1200x-13=2-400x-15.移项,得-1200x+400x=2-15+13-800.合并同类项,得-800x=-800.系数化为1,得x=1.
解析
【分析】
这三道题均为一元一次方程求解，解题遵循标准步骤：1.若含小数分母，先利用分数的基本性质将小数分母转化为整数分母；2.去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项；3.去括号：若括号前为负号，去括号后括号内各项都要变号；4.移项：将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号；5.合并同类项；6.系数化为1得到最终解。
【解析】
(1) 分母6、8、3的最小公倍数是24，方程两边同乘24去分母，得：
$4(5y+1)=3(9y+1)-8(1-y)$
去括号，得：
$20y+4=27y+3-8+8y$
移项、合并同类项，得：
$-15y=-9$
系数化为1，得：
$y=\frac{3}{5}$
(2) 分母2、4的最小公倍数是4，方程两边同乘4去分母，得：
$8x-4(x+10)+2(x+1)=24x+12+(2-x)$
去括号，得：
$8x-4x-40+2x+2=24x+12+2-x$
移项、合并同类项，得：
$-17x=52$
系数化为1，得：
$x=-\frac{52}{17}$
(3) 利用分数的基本性质将小数分母化为整数，第一个分数分子分母同乘100得$400-600x$，第二个分数分子分母同乘100得$\frac{2-400x}{2}$，原方程可化为：
$400-600x-6.5=\frac{2-400x}{2}-7.5$
两边同乘2去分母，得：
$800-1200x-13=2-400x-15$
移项、合并同类项，得：
$-800x=-800$
系数化为1，得：
$x=1$
【答案】
(1) $y=\frac{3}{5}$；(2) $x=-\frac{52}{17}$；(3) $x=1$
【知识点】
去分母解一元一次方程，分数的基本性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是去分母解一元一次方程的典型题型，覆盖了整数分母、含无分母常数项、小数分母三类常见考法，解题时需注意去分母不要漏乘无分母项，去括号要留意符号变化，小数化整数时仅对对应分数的分子分母同乘倍数，不要乘方程其余项，熟练掌握步骤可有效降低出错率。
【难度系数】
0.7
这三道题均为一元一次方程求解，解题遵循标准步骤：1.若含小数分母，先利用分数的基本性质将小数分母转化为整数分母；2.去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项；3.去括号：若括号前为负号，去括号后括号内各项都要变号；4.移项：将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号；5.合并同类项；6.系数化为1得到最终解。
【解析】
(1) 分母6、8、3的最小公倍数是24，方程两边同乘24去分母，得：
$4(5y+1)=3(9y+1)-8(1-y)$
去括号，得：
$20y+4=27y+3-8+8y$
移项、合并同类项，得：
$-15y=-9$
系数化为1，得：
$y=\frac{3}{5}$
(2) 分母2、4的最小公倍数是4，方程两边同乘4去分母，得：
$8x-4(x+10)+2(x+1)=24x+12+(2-x)$
去括号，得：
$8x-4x-40+2x+2=24x+12+2-x$
移项、合并同类项，得：
$-17x=52$
系数化为1，得：
$x=-\frac{52}{17}$
(3) 利用分数的基本性质将小数分母化为整数，第一个分数分子分母同乘100得$400-600x$，第二个分数分子分母同乘100得$\frac{2-400x}{2}$，原方程可化为：
$400-600x-6.5=\frac{2-400x}{2}-7.5$
两边同乘2去分母，得：
$800-1200x-13=2-400x-15$
移项、合并同类项，得：
$-800x=-800$
系数化为1，得：
$x=1$
【答案】
(1) $y=\frac{3}{5}$；(2) $x=-\frac{52}{17}$；(3) $x=1$
【知识点】
去分母解一元一次方程，分数的基本性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是去分母解一元一次方程的典型题型，覆盖了整数分母、含无分母常数项、小数分母三类常见考法，解题时需注意去分母不要漏乘无分母项，去括号要留意符号变化，小数化整数时仅对对应分数的分子分母同乘倍数，不要乘方程其余项，熟练掌握步骤可有效降低出错率。
【难度系数】
0.7
9. 某同学在解方程$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 2$时去分母,方程右边的$-2没有乘3$,因而求得方程的解为$x = 2$,试求$a$的值,并求出原方程的解.
答案
解:根据该同学的做法,去分母,得2x-1=x+a-2.解得x=a-1.因为x=2是方程的解,所以a=3.把a=3代入原方程,得$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+3}{3}-2$.解得x=-2.
解析
【分析】
遇到这类解方程的错解问题，我们要抓住“错误的解满足错误的方程”这个核心来思考：首先先写出该同学漏乘常数项后得到的错误方程，他算出的x=2是这个错误方程的正确解，把x=2代入错误方程就能算出a的值；a是原方程里的参数，是固定不变的，所以把a代入原方程，再按去分母的正确步骤计算，就能得到原方程的正确解了。
【解析】
解：① 先根据该同学的错误去分母方法写出对应的错误方程：
去分母时右边的-2没有乘3，因此得到的方程为：
$2x - 1 = x + a - 2$
已知$x=2$是该错误方程的解，将$x=2$代入上式：
$2×2 -1 = 2 + a - 2$
计算得$3=a$，即$a=3$。
② 将$a=3$代入原方程，得：
$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 3}{3} - 2$
正确去分母，两边同时乘3（注意常数项-2也要乘3）：
$2x - 1 = x + 3 - 6$
移项得：$2x - x = 3 - 6 + 1$
合并同类项得：$x = -2$
【答案】
$a$的值为3，原方程的解为$x=-2$
【知识点】
一元一次方程的解，去分母解一元一次方程，等式的性质
【点评】
本题属于一元一次方程的典型错解问题，核心是明确错误的解对应错误变形后的方程，先通过错误方程求出参数值，再代入原方程求解。解题时要注意去分母时所有项都要乘公分母，避免漏乘常数项。
【难度系数】
0.7
遇到这类解方程的错解问题，我们要抓住“错误的解满足错误的方程”这个核心来思考：首先先写出该同学漏乘常数项后得到的错误方程，他算出的x=2是这个错误方程的正确解，把x=2代入错误方程就能算出a的值；a是原方程里的参数，是固定不变的，所以把a代入原方程，再按去分母的正确步骤计算，就能得到原方程的正确解了。
【解析】
解：① 先根据该同学的错误去分母方法写出对应的错误方程：
去分母时右边的-2没有乘3，因此得到的方程为：
$2x - 1 = x + a - 2$
已知$x=2$是该错误方程的解，将$x=2$代入上式：
$2×2 -1 = 2 + a - 2$
计算得$3=a$，即$a=3$。
② 将$a=3$代入原方程，得：
$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 3}{3} - 2$
正确去分母，两边同时乘3（注意常数项-2也要乘3）：
$2x - 1 = x + 3 - 6$
移项得：$2x - x = 3 - 6 + 1$
合并同类项得：$x = -2$
【答案】
$a$的值为3，原方程的解为$x=-2$
【知识点】
一元一次方程的解，去分母解一元一次方程，等式的性质
【点评】
本题属于一元一次方程的典型错解问题，核心是明确错误的解对应错误变形后的方程，先通过错误方程求出参数值，再代入原方程求解。解题时要注意去分母时所有项都要乘公分母，避免漏乘常数项。
【难度系数】
0.7
10. 已知关于$x的一元一次方程\frac{kx + a}{6} - \frac{x - bk}{3} = 2$,其中$a$,$b$,$k$为常数.
(1) 当$k = 3$,$a = -1$,$b = 1$时,求该方程的解；
(2) 当$k = 2$时,原方程有无数个解,求此时$a + 4b$的值；
(3) 若无论$k$为何值时,该方程的解总是$x = -3$,求$ab$的值.
(1) 当$k = 3$,$a = -1$,$b = 1$时,求该方程的解；
(2) 当$k = 2$时,原方程有无数个解,求此时$a + 4b$的值；
(3) 若无论$k$为何值时,该方程的解总是$x = -3$,求$ab$的值.
答案
(1)由题意,得$\frac{3x-1}{6}-\frac{x-3}{3}=2$.所以3x-1-2x+6=12.所以x=7.
(2)当k=2时,方程为$\frac{2x+a}{6}-\frac{x-2b}{3}=2$.所以2x+a-2x+4b=12.所以0·x=12-a-4b.因为方程有无数个解,所以12-a-4b=0.所以a+4b=12.
(3)该方程化为kx+a-2x+2bk=12,当x=-3时,(2b-3)k=12-a-6.即(2b-3)k=6-a.因为无论k为何值,等式恒成立,所以2b-3=0,6-a=0.所以a=6,b=$\frac{3}{2}$.所以ab=6×$\frac{3}{2}$=9.
解析
【分析】
(1) 第一问是已知参数值求方程解，解题思路为：先将给定的k、a、b数值代入原方程，得到仅含x的一元一次方程，再按去分母、去括号、移项、合并同类项的标准步骤求解即可。
(2) 第二问已知k值和方程有无数解，先代入k=2化简方程，一元一次方程有无数解的条件是化简后为“0·x=0”的形式，即x的系数为0且常数项也为0，据此列等式即可求出a+4b的值。
(3) 第三问已知无论k取何值x=-3都是方程的解，先将原方程去分母化简，再代入x=-3整理为关于k的等式，要使等式对任意k都成立，需让k的系数为0且常数项也为0，即可求出a、b的值，进而计算ab。
【解析】
(1) 把$k=3$，$a=-1$，$b=1$代入原方程，得：
$\frac{3x - 1}{6} - \frac{x - 3}{3} = 2$
去分母，两边同时乘6得：$3x - 1 - 2(x - 3) = 12$
去括号：$3x - 1 - 2x + 6 = 12$
合并同类项移项得：$x=7$
(2) 当$k=2$时，原方程化为：
$\frac{2x + a}{6} - \frac{x - 2b}{3} = 2$
去分母，两边同时乘6得：$2x + a - 2(x - 2b) = 12$
去括号合并同类项得：$0·x = 12 - a - 4b$
∵方程有无数个解，
∴$12 - a - 4b = 0$
解得$a + 4b = 12$
(3) 原方程去分母，两边同时乘6得：$kx + a - 2(x - bk) = 12$
去括号整理得：$kx + a - 2x + 2bk = 12$
把$x=-3$代入上式得：$-3k + a + 6 + 2bk = 12$
整理为关于k的等式：$(2b - 3)k = 6 - a$
∵无论k为何值等式恒成立，
∴$\begin{cases}2b - 3 = 0 \\ 6 - a = 0 \end{cases}$
解得$a=6$，$b=\frac{3}{2}$
∴$ab = 6 × \frac{3}{2} = 9$
【答案】
(1) $x=7$；(2) $a+4b=12$；(3) $ab=9$
【知识点】
1. 去分母解一元一次方程；2. 一元一次方程解的判定；3. 含参方程恒成立
【点评】
本题设置了三个梯度的问题，既考查了去分母解一元一次方程的基础运算能力，又考查了对一元一次方程特殊解性质的理解应用，是该章节的经典题型，能有效检验学生对知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是已知参数值求方程解，解题思路为：先将给定的k、a、b数值代入原方程，得到仅含x的一元一次方程，再按去分母、去括号、移项、合并同类项的标准步骤求解即可。
(2) 第二问已知k值和方程有无数解，先代入k=2化简方程，一元一次方程有无数解的条件是化简后为“0·x=0”的形式，即x的系数为0且常数项也为0，据此列等式即可求出a+4b的值。
(3) 第三问已知无论k取何值x=-3都是方程的解，先将原方程去分母化简，再代入x=-3整理为关于k的等式，要使等式对任意k都成立，需让k的系数为0且常数项也为0，即可求出a、b的值，进而计算ab。
【解析】
(1) 把$k=3$，$a=-1$，$b=1$代入原方程，得：
$\frac{3x - 1}{6} - \frac{x - 3}{3} = 2$
去分母，两边同时乘6得：$3x - 1 - 2(x - 3) = 12$
去括号：$3x - 1 - 2x + 6 = 12$
合并同类项移项得：$x=7$
(2) 当$k=2$时，原方程化为：
$\frac{2x + a}{6} - \frac{x - 2b}{3} = 2$
去分母，两边同时乘6得：$2x + a - 2(x - 2b) = 12$
去括号合并同类项得：$0·x = 12 - a - 4b$
∵方程有无数个解，
∴$12 - a - 4b = 0$
解得$a + 4b = 12$
(3) 原方程去分母，两边同时乘6得：$kx + a - 2(x - bk) = 12$
去括号整理得：$kx + a - 2x + 2bk = 12$
把$x=-3$代入上式得：$-3k + a + 6 + 2bk = 12$
整理为关于k的等式：$(2b - 3)k = 6 - a$
∵无论k为何值等式恒成立，
∴$\begin{cases}2b - 3 = 0 \\ 6 - a = 0 \end{cases}$
解得$a=6$，$b=\frac{3}{2}$
∴$ab = 6 × \frac{3}{2} = 9$
【答案】
(1) $x=7$；(2) $a+4b=12$；(3) $ab=9$
【知识点】
1. 去分母解一元一次方程；2. 一元一次方程解的判定；3. 含参方程恒成立
【点评】
本题设置了三个梯度的问题，既考查了去分母解一元一次方程的基础运算能力，又考查了对一元一次方程特殊解性质的理解应用，是该章节的经典题型，能有效检验学生对知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
