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6. (★★) 如图，小磊家客厅的电视背景墙由 10 块形状、大小都相同的长方形墙砖砌成。
(1) 求一块长方形墙砖的长和宽；
(2) 求电视背景墙的面积。
(1) 求一块长方形墙砖的长和宽；
(2) 求电视背景墙的面积。
答案
(1)设长方形墙砖的长为$x$米，宽为$y$米。
根据题意，得：
$\begin{cases}5y = 1.5 \\2x = 5y\end{cases}$
由$5y = 1.5$，解得$y = 0.3$。
将$y = 0.3$代入$2x = 5y$，得$2x = 5×0.3$，解得$x = 0.75$。
答：一块长方形墙砖的长为$0.75$米，宽为$0.3$米。
(2)电视背景墙的面积为$10xy = 10×0.75×0.3 = 2.25$平方米。
答：电视背景墙的面积为$2.25$平方米。
根据题意，得：
$\begin{cases}5y = 1.5 \\2x = 5y\end{cases}$
由$5y = 1.5$，解得$y = 0.3$。
将$y = 0.3$代入$2x = 5y$，得$2x = 5×0.3$，解得$x = 0.75$。
答：一块长方形墙砖的长为$0.75$米，宽为$0.3$米。
(2)电视背景墙的面积为$10xy = 10×0.75×0.3 = 2.25$平方米。
答：电视背景墙的面积为$2.25$平方米。
7. (★) 一架飞机在两城之间飞行，平均风速为 16 km/h。顺风飞行需要 2.5 h，逆风飞行需要 2.6 h，求无风时飞机的平均速度和两城之间的航程。
答案
设无风时飞机的平均速度为 $x$ km/h。
根据题意，顺风时飞机的实际速度为 $x + 16$ km/h，飞行时间为 2.5 h，所以顺风时的航程为 $2.5(x + 16)$ km。
逆风时飞机的实际速度为 $x - 16$ km/h，飞行时间为 2.6 h，所以逆风时的航程为 $2.6(x - 16)$ km。
由于两城之间的航程是固定的，所以顺风和逆风时的航程应该相等，即：
$2.5(x + 16) = 2.6(x - 16)$
展开方程得：
$2.5x + 40 = 2.6x - 41.6$
移项并合并同类项得：
$0.1x = 81.6$
解得：
$x = 816$
将 $x = 816$ 代入 $2.5(x + 16)$ 得航程为：
$2.5 × (816 + 16) = 2080 \mathrm{ km}$
答：无风时飞机的平均速度为 $816$ km/h，两城之间的航程为 $2080$ km。
根据题意，顺风时飞机的实际速度为 $x + 16$ km/h，飞行时间为 2.5 h，所以顺风时的航程为 $2.5(x + 16)$ km。
逆风时飞机的实际速度为 $x - 16$ km/h，飞行时间为 2.6 h，所以逆风时的航程为 $2.6(x - 16)$ km。
由于两城之间的航程是固定的，所以顺风和逆风时的航程应该相等，即：
$2.5(x + 16) = 2.6(x - 16)$
展开方程得：
$2.5x + 40 = 2.6x - 41.6$
移项并合并同类项得：
$0.1x = 81.6$
解得：
$x = 816$
将 $x = 816$ 代入 $2.5(x + 16)$ 得航程为：
$2.5 × (816 + 16) = 2080 \mathrm{ km}$
答：无风时飞机的平均速度为 $816$ km/h，两城之间的航程为 $2080$ km。
8. (★★) 如图，由长方形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分(阴影)的面积是 5 m²，广告牌所占的面积是 30 m²(厚度忽略不计)，除重叠部分外，长方形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多 3 m²。设长方形的面积是 x m²，三角形的面积是 y m²，根据题意，可列出二元一次方程组为【 】
A.$\begin{cases}x + y - 5 = 30, \\ (x - 5) - (y - 5) = 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x - y + 5 = 30, \\ x - y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y - 5 = 30, \\ (y - 5) - (x - 5) = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 25, \\ (x - 5) - (y - 5) = 3\end{cases}$
A.$\begin{cases}x + y - 5 = 30, \\ (x - 5) - (y - 5) = 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x - y + 5 = 30, \\ x - y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y - 5 = 30, \\ (y - 5) - (x - 5) = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 25, \\ (x - 5) - (y - 5) = 3\end{cases}$
答案
A
解析
根据题意，广告牌的总面积为30平方米，其中包括长方形和三角形的面积，但重叠部分被计算了两次，因此总面积公式为 $x + y - 5 = 30$。
另外，长方形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多3平方米，即 $ (x - 5) - (y - 5) = 3 $。
因此，方程组为：
$\begin{cases}x + y - 5 = 30, \\ (x - 5) - (y - 5) = 3\end{cases}$
另外，长方形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多3平方米，即 $ (x - 5) - (y - 5) = 3 $。
因此，方程组为：
$\begin{cases}x + y - 5 = 30, \\ (x - 5) - (y - 5) = 3\end{cases}$
9. (★★) 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 $1:2$，现要把一块边长为 200 m 的正方形土地分为两块长方形土地，分别种植这两种作物。怎么划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是 $3:4$？
答案
设甲作物种植面积为$S_1$，乙作物种植面积为$S_2$。
由甲、乙单位面积产量比$1:2$，总产量比$3:4$，得：
$\frac{kS_1}{2kS_2}=\frac{3}{4}$（$k$为甲单位面积产量），化简得$\frac{S_1}{S_2}=\frac{3}{2}$，即$S_1=\frac{3}{2}S_2$。
正方形土地面积为$200×200 = 40000\,\mathrm{m}^2$，则$S_1 + S_2=40000$。
联立$\begin{cases}S_1=\frac{3}{2}S_2\\S_1 + S_2=40000\end{cases}$，解得$S_1=24000\,\mathrm{m}^2$，$S_2=16000\,\mathrm{m}^2$。
设划分后两长方形宽分别为$x\,\mathrm{m}$和$(200 - x)\,\mathrm{m}$（长均为$200\,\mathrm{m}$），则：
$200x=24000$，解得$x=120$，$200 - x=80$。
结论：沿正方形一边划分，使一个长方形宽为$120\,\mathrm{m}$，另一个宽为$80\,\mathrm{m}$。
由甲、乙单位面积产量比$1:2$，总产量比$3:4$，得：
$\frac{kS_1}{2kS_2}=\frac{3}{4}$（$k$为甲单位面积产量），化简得$\frac{S_1}{S_2}=\frac{3}{2}$，即$S_1=\frac{3}{2}S_2$。
正方形土地面积为$200×200 = 40000\,\mathrm{m}^2$，则$S_1 + S_2=40000$。
联立$\begin{cases}S_1=\frac{3}{2}S_2\\S_1 + S_2=40000\end{cases}$，解得$S_1=24000\,\mathrm{m}^2$，$S_2=16000\,\mathrm{m}^2$。
设划分后两长方形宽分别为$x\,\mathrm{m}$和$(200 - x)\,\mathrm{m}$（长均为$200\,\mathrm{m}$），则：
$200x=24000$，解得$x=120$，$200 - x=80$。
结论：沿正方形一边划分，使一个长方形宽为$120\,\mathrm{m}$，另一个宽为$80\,\mathrm{m}$。
