3. 如图，把正方形纸片 $ABCD$ 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 $MN$，再过点 $B$ 折叠纸片，使点 $A$ 落在 $MN$ 上的点 $F$ 处，展开后折痕为 $BE$. 若 $AB$ 的长为 $2$，则 $FM$ 的长为()

A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$1$

3. B

解：
∵ 正方形 $ABCD$ 中，$AB=2$，$MN$ 为对边中点连线，
∴ $MN$ 垂直平分 $AD$ 和 $BC$，$BM=\frac{1}{2}BC=1$，$MN=AB=2$，$BN=AM=1$。
由折叠性质，$BE$ 为折痕，点 $A$ 落在 $MN$ 上的点 $F$ 处，
∴ $BF=BA=2$。
在 $Rt△ BMF$ 中，$BM=1$，$BF=2$，
由勾股定理得：$FM=\sqrt{BF^2 - BM^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
答案：$\sqrt{3}$

4. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$，$N$，$P$，$G$ 分别在边 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 上，点 $M$，$F$，$Q$ 都在对角线 $BD$ 上，且四边形 $MNPQ$ 和 $AEFG$ 均为正方形，则 $\frac{S_{\mathrm{正方形}MNPQ}}{S_{\mathrm{正方形}AEFG}}=$.

4. $\frac{8}{9}$

5. 探究：如图①，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ BAD=∠ BCD = 90^{\circ}$，$AB = AD$，$AE⊥ CD$ 于点 $E$，若 $AE = 10$，求四边形 $ABCD$ 的面积.
拓展：如图②，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ ABC+∠ ADC = 180^{\circ}$，$AB = AD$，$AE⊥ BC$ 于点 $E$.
若 $AE = 19$，$BC = 10$，$CD = 6$，则四边形 $ABCD$ 的面积为.

5. 探究:解:如图,过点 A 作 AF ⊥ CB,交 CB 的延长线于点 F,则 ∠AFC = 90°.
∵ AE ⊥ DC, ∠C = 90°,
∴ ∠AEC = ∠AFC = ∠C = 90°,
∴ 四边形 AECF 是矩形,
∴ ∠EAF = 90°,
∴ ∠FAB + ∠BAE = 90°.
∵ ∠EAD + ∠BAE = 90°,
∴ ∠FAB = ∠EAD.
∵ AB = AD, ∠AED = ∠AFB = 90°,
∴ △FAB ≌ △EAD(AAS),
∴ AE = AF,
∴ 四边形 AECF 为正方形.
∵ AE = 10,
∴ $S_{四边形ABCD}$ = $S_{正方形AECF}$ = $AE^{2}$ = $10^{2}$ = 100. 拓展:152

6. 如图，平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$E$ 为 $OC$ 的中点，过点 $C$ 作 $CF// BD$ 交 $BE$ 的延长线于点 $F$，连接 $DF$.
（1）求证：$△ FCE≌△ BOE$；
（2）若 $AD = CD$，当 $△ ADC$ 满足什么条件时，四边形 $OCFD$ 为正方形？
请说明理由.

6. (1) 证明:
∵ CF // BD,
∴ ∠CFE = ∠OBE.
∵ E 是 OC 的中点,
∴ CE = OE. 在 △FCE 和 △BOE 中, $\begin{cases} ∠CFE = ∠OBE, \\ ∠CEF = ∠OEB, \\ CE = OE, \end{cases}$
∴ △FCE ≌ △BOE(AAS). (2) 解:当 △ADC 满足 ∠ADC = 90°时,四边形 OCFD 为正方形,理由:
∵ △FCE ≌ △BOE,
∴ CF = OB.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ OA = OC, OB = OD,
∴ CF = OD.
∵ CF // BD,
∴ 四边形 OCFD 为平行四边形.
∵ AD = CD, OA = OC,
∴ OD ⊥ AC,
∴ ∠COD = 90°,
∴ 平行四边形 OCFD 为矩形.
∵ ∠ADC = 90°,
∴ OC = OD,
∴ 四边形 OCFD 为正方形.