4. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = BC$，对角线 $BD$ 平分 $∠ ABC$，$P$ 是 $BD$ 上一点，过点 $P$ 作 $PM⊥ AD$，$PN⊥ CD$，垂足分别为 $M$，$N$.
（1）求证：$∠ ADB=∠ CDB$；
（2）若 $∠ ADC = 90^{\circ}$. 求证：四边形 $MPND$ 是正方形.

4. (1) 证明:
∵ BD 平分 ∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠CBD. 又
∵ BA = BC, BD = BD,
∴ △ABD ≌ △CBD(SAS),
∴ ∠ADB = ∠CDB. (2) 证明:
∵ PM ⊥ AD, PN ⊥ CD,
∴ ∠PMD = ∠PND = 90°. 又
∵ ∠ADC = 90°,
∴ 四边形 MPND 是矩形.
∵ ∠ADB = ∠CDB, PM ⊥ AD, PN ⊥ CD,
∴ PM = PN,
∴ 四边形 MPND 是正方形.

5. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，$AD⊥ BC$，垂足为 $D$，$AN$ 是 $△ ABC$ 的外角 $∠ CAM$ 的平分线，$CE⊥ AN$，垂足为 $E$.
（1）求证：四边形 $ADCE$ 为矩形；
（2）当 $△ ABC$ 满足什么条件时，四边形 $ADCE$ 是一个正方形？并给出证明.

5. (1) 证明:
∵ 在 △ABC 中, AB = AC, AD ⊥ BC,
∴ ∠BAD = ∠DAC.
∵ AN 是 △ABC 的外角 ∠CAM 的平分线,
∴ ∠MAE = ∠CAE.
∴ ∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = $\frac{1}{2}$ × 180° = 90°. 又
∵ AD ⊥ BC, CE ⊥ AN,
∴ ∠ADC = ∠CEA = 90°,
∴ 四边形 ADCE 为矩形. (2) 答案不唯一,如:当 ∠BAC = 90°时,四边形 ADCE 是正方形. 证明:
∵ ∠BAC = 90°, AB = AC, AD ⊥ BC,
∴ ∠ACD = ∠DAC = 45°,
∴ DC = AD. 由(1)知四边形 ADCE 为矩形,
∴ 矩形 ADCE 是正方形.

1. 如图，正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$M$ 是边 $AD$ 上一点，连接 $OM$，过点 $O$ 作 $ON⊥ OM$，交 $CD$ 于点 $N$. 若四边形 $MOND$ 的面积是 $1$，则 $AB$ 的长是()

A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$2$
D.$2\sqrt{2}$

1. C

解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AC ⊥ BD$，$OA = OD$，$∠ OAD = ∠ ODC = 45°$，$∠ AOD = 90°$。
∵ $ON ⊥ OM$，
∴ $∠ MON = 90°$，
∴ $∠ AOM + ∠ MOD = ∠ DON + ∠ MOD = 90°$，即 $∠ AOM = ∠ DON$。
在 $△ AOM$ 和 $△ DON$ 中，
$\begin{cases} ∠ OAM = ∠ ODN = 45°, \\OA = OD, \\∠ AOM = ∠ DON,\end{cases}$
∴ $△ AOM ≌ △ DON$（ASA）。
∴ $S_{△ AOM} = S_{△ DON}$，
∴ $S_{\mathrm{四边形} MOND} = S_{△ AOD}$。
∵ 四边形 $MOND$ 的面积是 $1$，
∴ $S_{△ AOD} = 1$。
∵ 正方形 $ABCD$ 的面积 $= 4S_{△ AOD} = 4 × 1 = 4$，
∴ $AB^2 = 4$，解得 $AB = 2$。
答案：C

2. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$△ ABE$ 和 $△ CDF$ 为直角三角形，$∠ AEB=∠ CFD = 90^{\circ}$，$AE = CF = 5$，$BE = DF = 12$，则 $EF$ 的长是()

A.$7$
B.$8$
C.$7\sqrt{2}$
D.$7\sqrt{3}$

2. C