1. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$∠ ACB = 30^{\circ}$，则$∠ AOB$ 的度数为()

A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

1.B

证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AC=BD$，且$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OB=OC=OD$。
∵$∠ ACB = 30°$，且$AD// BC$，
∴$∠ OAD = ∠ ACB = 30°$。
在$△ AOB$中，$OA=OB$，
∴$∠ OAB = 90° - ∠ OAD = 90° - 30° = 60°$，
∴$△ AOB$是等边三角形，
∴$∠ AOB = 60°$。
答案：B

2. 如图，把一块含有 $30^{\circ}$ 角$(∠ A = 30^{\circ})$ 的直角三角板 $ABC$ 的直角顶点放在矩形桌面 $CDEF$ 的一个顶点 $C$ 处，桌面的另一个顶点 $F$ 在三角板斜边 $AB$ 上，如果$∠ 1 = 40^{\circ}$，那么$∠ AFE$ 等于()

A.$50^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$20^{\circ}$
D.$10^{\circ}$

2.D

解：
∵ 四边形 $CDEF$ 是矩形，
∴ $EF // DC$，$∠ D = 90°$，
∴ $∠ AFE = ∠ FCD$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $∠ 1 = 40°$，$∠ D = 90°$，
∴ $∠ FCD = 180° - ∠ D - ∠ 1 = 180° - 90° - 40° = 50°$。
在 $△ ABC$ 中，$∠ A = 30°$，$∠ ACB = 90°$，
∴ $∠ B = 60°$。
∵ 点 $F$ 在 $AB$ 上，$∠ FCB = ∠ ACB - ∠ ACD = 90° - 50° = 40°$，
∴ $∠ BFC = 180° - ∠ B - ∠ FCB = 180° - 60° - 40° = 80°$。
∵ $∠ AFE + ∠ BFC = 90°$（矩形内角为直角），
∴ $∠ AFE = 90° - 80° = 10°$。
答案：D

3. 如图，$D$ 为$△ ABC$ 内部一点，$E$，$F$ 两点分别在 $AB$，$BC$ 上，且四边形 $DEBF$ 为矩形，直线 $CD$ 交 $AB$ 于点 $G$.若 $CF = 6$，$BF = 9$，$AG = 8$，则$△ ADC$ 的面积为()

A.$16$
B.$24$
C.$36$
D.$54$

3.B

设矩形$DEBF$中，$DE = BF = 9$，$BE = DF = x$，则$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ BC$。
因为$CF = 6$，所以$BC = CF + BF = 6 + 9 = 15$。
由于$DF // AB$（矩形对边平行），则$△ CDF ∼ △ CGE$（相似三角形判定：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）。
可得$\frac{DF}{GE} = \frac{CF}{CE}$，其中$CE = CF + FE = 6 + x$，$GE = AG + AE = 8 + (AB - BE)$，但更简便的是设$GE = y$，则$\frac{x}{y} = \frac{6}{6 + x}$，即$x(6 + x) = 6y$ ①。
又因为$DE // BC$，所以$△ GDE ∼ △ GCB$，则$\frac{DE}{BC} = \frac{GE}{GB}$，$GB = GE + EB = y + x$，即$\frac{9}{15} = \frac{y}{y + x}$，化简得$3(y + x) = 5y$，$3x = 2y$，$y = \frac{3}{2}x$ ②。
将②代入①：$x(6 + x) = 6 × \frac{3}{2}x$，$6x + x^2 = 9x$，$x^2 - 3x = 0$，$x(x - 3) = 0$，解得$x = 3$（$x = 0$舍去），则$y = \frac{3}{2} × 3 = \frac{9}{2}$。
$AB = AG + GE + EB = 8 + \frac{9}{2} + 3 = \frac{16 + 9 + 6}{2} = \frac{31}{2}$（此步可省略，直接求$△ ADC$面积）。
$△ ADC$的面积 = $△ ABC$的面积 - $△ ABD$的面积 - $△ BCD$的面积。
$△ ABC$的高为$BF + CF = 15$（$DF$延长线即高），底$AB = AG + GE + EB = 8 + \frac{9}{2} + 3 = \frac{31}{2}$，但更简便：$△ ABC$面积 = $\frac{1}{2} × AB × BC$（此处$BC$为高，$AB$为底），但实际$DE = 9$是$△ GDE$的高，$BC = 15$，由$△ GDE ∼ △ GCB$，高之比$\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$，则$△ GCB$的高为$h$，$\frac{9}{h} = \frac{3}{5}$，$h = 15$，即$BC$边上的高为$AB$方向的长度，此处易混淆，改用坐标法：
设$B$为原点$(0,0)$，$AB$在$x$轴，$BF$在$y$轴，则$F(0,9)$，$C(6,9)$，$D(x,9)$（$D$在$F$右侧，$DF = x$，即$D(x,9)$），$E(x,0)$（$DE$垂直$AB$）。
直线$CD$：过$C(6,9)$和$D(x,9)$，斜率$k = \frac{9 - 9}{x - 6} = 0$？错误，应为$D$在矩形$DEBF$中，$DE ⊥ AB$，$EB ⊥ AB$，故$D$坐标为$(BE, BF) = (x, 9)$，$E(x, 0)$，$G$在$AB$上，坐标$(-8, 0)$（$AG = 8$，设$A$为$(-8, 0)$，$G$为$(0, 0)$更简便）。
重新建系：设$G$为原点$(0,0)$，$AB$在$x$轴，$A(-8,0)$，$E(a,0)$，则$DE ⊥ AB$，$D(a, b)$，$B(a, 0) + (0, -9)$？$BF = 9$，$DEBF$是矩形，所以$DE = BF = 9$，$EB = DF$，设$E(m,0)$，则$B(m + n, 0)$，$D(m, 9)$，$F(m + n, 9)$，$CF = 6$，则$C(m + n, 9 + 6) = (m + n, 15)$。
直线$CD$：过$C(m + n, 15)$和$D(m, 9)$，方程为$y - 9 = \frac{15 - 9}{n}(x - m)$，即$y = \frac{6}{n}x - \frac{6m}{n} + 9$，该直线过$G(0,0)$，则$0 = -\frac{6m}{n} + 9$，$\frac{6m}{n} = 9$，$2m = 3n$ ③。
$AG = 8$，$A$在$G$左侧，$A$坐标为$(-8, 0)$，$G$到$E$的距离$GE = m - 0 = m$（因$E$在$G$右侧，$m ＞ 0$）。
$△ ADC$面积 = $△ AGC$面积 - $△ AGD$面积。
$△ AGC$面积：底$AG = 8$，高为$C$的纵坐标$15$，面积 = $\frac{1}{2} × 8 × 15 = 60$。
$△ AGD$面积：底$AG = 8$，高为$D$的纵坐标$9$，面积 = $\frac{1}{2} × 8 × 9 = 36$。
所以$△ ADC$面积 = $60 - 36 = 24$。
答案：B

4. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AE$ 平分$∠ BAD$ 交 $BC$ 于点 $E$，若$∠ CAE = 15^{\circ}$，则$∠ BOE$ 的度数为()

A.$60^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$72^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

4.B

证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD// BC$，$∠ BAD = ∠ ABC = 90°$，$OA = OC = \frac{1}{2}AC$，$OB = OD = \frac{1}{2}BD$，$AC = BD$，
∴$OA = OB$。
∵$AE$平分$∠ BAD$，
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAD = 45°$。
∵$∠ CAE = 15°$，
∴$∠ BAO = ∠ BAE + ∠ CAE = 45° + 15° = 60°$，
∴$△ AOB$是等边三角形，
∴$OB = AB$，$∠ ABO = 60°$，
∴$∠ OBE = ∠ ABC - ∠ ABO = 90° - 60° = 30°$。
∵$∠ BAE = 45°$，$∠ ABE = 90°$，
∴$△ ABE$是等腰直角三角形，
∴$AB = BE$，
∴$OB = BE$，
∴$∠ BOE = ∠ BEO = \frac{180° - ∠ OBE}{2} = \frac{180° - 30°}{2} = 75°$。
答案：B

5. 如图，$E$ 是矩形 $ABCD$ 的边 $BC$ 的中点，将$△ ABE$ 沿 $AE$ 折叠到$△ AEF$，点 $F$ 在矩形 $ABCD$ 内部，延长 $AF$ 交 $DC$ 于点 $G$，若$∠ AEB = 55^{\circ}$，则$∠ DAF =$.

5.20°

解：在矩形$ABCD$中，$∠ B = 90^{\circ}$。
在$△ ABE$中，$∠ BAE = 180^{\circ}-∠ B - ∠ AEB = 180^{\circ}-90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$。
由折叠性质得：$∠ FAE=∠ BAE = 35^{\circ}$。
因为矩形$ABCD$中，$∠ BAD = 90^{\circ}$，所以$∠ DAF=∠ BAD - ∠ BAE - ∠ FAE = 90^{\circ}-35^{\circ}-35^{\circ}=20^{\circ}$。
$20^{\circ}$

6. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$BC = 6$，若点 $P$ 在边 $AD$ 上，连接 $BP$，$PC$，$△ BPC$ 是以 $PB$ 为腰的等腰三角形，则 $PB$ 的长为.

6.5或6

解：在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$BC=6$，$∠ A=∠ D=90°$，$AD=BC=6$，$CD=AB=4$。
设$AP=x$，则$PD=AD - AP=6 - x$。
在$Rt△ ABP$中，$PB^2=AP^2 + AB^2=x^2 + 4^2=x^2 + 16$。
在$Rt△ PDC$中，$PC^2=PD^2 + CD^2=(6 - x)^2 + 4^2=(6 - x)^2 + 16$。
$△ BPC$是以$PB$为腰的等腰三角形，分两种情况：
① 当$PB=PC$时，$PB^2=PC^2$，即$x^2 + 16=(6 - x)^2 + 16$，解得$x=3$。则$PB^2=3^2 + 16=25$，$PB=5$。
② 当$PB=BC$时，$PB=BC=6$。
综上，$PB$的长为$5$或$6$。
$5$或$6$

7. 在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 2$，$BC = 1$，$P$ 是直线 $BD$ 上一点，且 $DP = DA$，直线 $AP$ 与直线 $BC$ 交于点 $E$，则 $CE$ 的长为.

7. $\sqrt{5} + 2$或$\sqrt{5} - 2$

解：以点$A$为原点，$AB$所在直线为$x$轴，$AD$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。则$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,1)$，$D(0,1)$。
直线$BD$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x + 1$。
$DA = 1$，设$P(x,y)$，因为$DP = DA = 1$，$D(0,1)$，所以$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2}=1$，又$y=-\dfrac{1}{2}x + 1$，联立解得$P(\dfrac{2\sqrt{5}}{5},\dfrac{5 - \sqrt{5}}{5})$或$P(-\dfrac{2\sqrt{5}}{5},\dfrac{5 + \sqrt{5}}{5})$。
当$P(\dfrac{2\sqrt{5}}{5},\dfrac{5 - \sqrt{5}}{5})$时，直线$AP$的解析式为$y=\dfrac{5 - \sqrt{5}}{2\sqrt{5}}x$，令$x = 2$，得$E(2,\dfrac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}})$，$CE=\left|\dfrac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 1\right|=\sqrt{5}-2$。
当$P(-\dfrac{2\sqrt{5}}{5},\dfrac{5 + \sqrt{5}}{5})$时，直线$AP$的解析式为$y=-\dfrac{5 + \sqrt{5}}{2\sqrt{5}}x$，令$x = 2$，得$E(2,-\dfrac{5 + \sqrt{5}}{\sqrt{5}})$，$CE=\left|-\dfrac{5 + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 1\right|=\sqrt{5}+2$。
综上，$CE$的长为$\sqrt{5} + 2$或$\sqrt{5} - 2$。