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11. 在一个不透明的口袋中装有 8 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 $40\%$ 附近，则口袋中白球可能有.
答案
12
解析
设口袋中白球有$x$个，由摸到红球的频率稳定在$40\%$，可知摸到红球的概率为$40\%$。总球数为$(8+x)$个，列方程：$\frac{8}{8+x}=40\%$，解得$x=12$。即口袋中白球可能有12个。
12. 如图，在等腰梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相垂直，$AD = 2$，$BC = 4$，梯形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的长为.
答案
$3\sqrt{2}$
解析
过点D作$DE// AC$，交$BC$的延长线于点E。
$\because AD// BC$，$\therefore$ 四边形ACED是平行四边形，$\therefore AD=CE=2$，$AC=DE$。
$\because$ 等腰梯形$ABCD$中，$AC=BD$，$\therefore BD=DE$。
$\because AC⊥ BD$，$\therefore DE⊥ BD$，即$△ BDE$是等腰直角三角形。
$BE=BC+CE=4+2=6$。
在等腰直角$△ BDE$中，由勾股定理得：$2AC^2=BE^2$，代入$BE=6$，得$2AC^2=36$，解得$AC=3\sqrt{2}$。
$\because AD// BC$，$\therefore$ 四边形ACED是平行四边形，$\therefore AD=CE=2$，$AC=DE$。
$\because$ 等腰梯形$ABCD$中，$AC=BD$，$\therefore BD=DE$。
$\because AC⊥ BD$，$\therefore DE⊥ BD$，即$△ BDE$是等腰直角三角形。
$BE=BC+CE=4+2=6$。
在等腰直角$△ BDE$中，由勾股定理得：$2AC^2=BE^2$，代入$BE=6$，得$2AC^2=36$，解得$AC=3\sqrt{2}$。
13. 正方形 $OABC$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，$D(1,2)$ 为 $OA$ 上一点.将正方形 $OABC$ 绕坐标原点 $O$ 按顺时针方向旋转，每秒旋转 $90°$，旋转 2 025 s 后点 $D$ 的对应点 $D'$ 的坐标为.
答案
$(2,-1)$
解析
1. 确定旋转周期：正方形绕原点顺时针旋转，每4秒旋转360°，即一个周期，回到初始位置。
2. 计算旋转等效角度：$2025÷4=506······1$，即旋转2025秒后，相当于顺时针旋转90°。
3. 坐标变换：根据顺时针旋转90°的坐标规律，点$(x,y)$旋转后对应点为$(y,-x)$，将$D(1,2)$代入，得$D'(2,-1)$。
2. 计算旋转等效角度：$2025÷4=506······1$，即旋转2025秒后，相当于顺时针旋转90°。
3. 坐标变换：根据顺时针旋转90°的坐标规律，点$(x,y)$旋转后对应点为$(y,-x)$，将$D(1,2)$代入，得$D'(2,-1)$。
14. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$BC = 12$，点 $E$ 是 $BC$ 边上一点，连接 $AE$，将 $△ ABE$ 沿 $AE$ 折叠，使点 $B$ 落在点 $B'$ 处.当 $△ CEB'$ 为直角三角形时，$BE =$.
答案
$\boldsymbol{5}$或$\boldsymbol{\frac{10}{3}}$
解析
分两种情况讨论：
1. 当$∠ EB'C=90°$时：
由矩形性质，得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$；
由折叠性质，得$AB'=AB=5$，$∠ AB'E=∠ B=90°$，故$A$、$B'$、$C$三点共线，$B'C=AC-AB'=13-5=8$。
设$BE=x$，则$B'E=x$，$EC=12-x$，在$\mathrm{Rt}△ CEB'$中，由勾股定理：
$x^2+8^2=(12-x)^2$，解得$x=\frac{10}{3}$。
2. 当$∠ B'EC=90°$时：
由折叠性质，得$∠ AB'E=∠ B=90°$，故四边形$ABEB'$是正方形，因此$BE=AB=5$。
综上，$BE$的值为$5$或$\frac{10}{3}$。
1. 当$∠ EB'C=90°$时：
由矩形性质，得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$；
由折叠性质，得$AB'=AB=5$，$∠ AB'E=∠ B=90°$，故$A$、$B'$、$C$三点共线，$B'C=AC-AB'=13-5=8$。
设$BE=x$，则$B'E=x$，$EC=12-x$，在$\mathrm{Rt}△ CEB'$中，由勾股定理：
$x^2+8^2=(12-x)^2$，解得$x=\frac{10}{3}$。
2. 当$∠ B'EC=90°$时：
由折叠性质，得$∠ AB'E=∠ B=90°$，故四边形$ABEB'$是正方形，因此$BE=AB=5$。
综上，$BE$的值为$5$或$\frac{10}{3}$。
三、解答题（共 58 分）
15. （8 分）某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查.问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”.每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）计算抽样总数，并直接补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中 A“艺术类”所对应的圆心角度数；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该校 1 200 名学生中有多少名学生最喜爱 C“科普类”图书.
15. （8 分）某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查.问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”.每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）计算抽样总数，并直接补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中 A“艺术类”所对应的圆心角度数；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该校 1 200 名学生中有多少名学生最喜爱 C“科普类”图书.
答案
解：
（1）抽样总数：$20÷20\%=100$（名）
D类人数：$100-10-20-40-5=25$（名）
补全条形统计图：在条形统计图的D类别处绘制高度为25的直条（画图略）
（2）扇形统计图中A“艺术类”所对应的圆心角度数：
$360°×\frac{10}{100}=36°$
（3）估计该校最喜爱C“科普类”图书的学生人数：
$1200×\frac{40}{100}=480$（名）
答：（1）抽样总数为100名，补全条形统计图（D类25名）；
（2）A“艺术类”所对应的圆心角度数为$36°$；
（3）估计该校有480名学生最喜爱C“科普类”图书。
（1）抽样总数：$20÷20\%=100$（名）
D类人数：$100-10-20-40-5=25$（名）
补全条形统计图：在条形统计图的D类别处绘制高度为25的直条（画图略）
（2）扇形统计图中A“艺术类”所对应的圆心角度数：
$360°×\frac{10}{100}=36°$
（3）估计该校最喜爱C“科普类”图书的学生人数：
$1200×\frac{40}{100}=480$（名）
答：（1）抽样总数为100名，补全条形统计图（D类25名）；
（2）A“艺术类”所对应的圆心角度数为$36°$；
（3）估计该校有480名学生最喜爱C“科普类”图书。
