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14. 定义：若两个二次根式 $a$，$b$ 满足 $a · b = c$，且 $c$ 是有理数，则称 $a$ 与 $b$ 是关于 $c$ 的共轭二次根式.
(1) 若 $3\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{2}$ 是关于 $c$ 的共轭二次根式，则 $c =$
(2) 已知 $a$ 与 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ 是关于 4 的共轭二次根式，求 $a$ 的值；
(3) 已知 $3 + \sqrt{3}$ 与 $6 + \sqrt{3}m$ 是关于 12 的共轭二次根式，求 $m$ 的值.
(1) 若 $3\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{2}$ 是关于 $c$ 的共轭二次根式，则 $c =$
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；(2) 已知 $a$ 与 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ 是关于 4 的共轭二次根式，求 $a$ 的值；
(3) 已知 $3 + \sqrt{3}$ 与 $6 + \sqrt{3}m$ 是关于 12 的共轭二次根式，求 $m$ 的值.
答案
14. (1) 6. $\because 3\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{2}$ 是关于 $c$ 的共轭二次根式，$\therefore c = 3\sqrt{2} × \sqrt{2} = 6$ (2) $\because a$ 与 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ 是关于 4 的共轭二次根式，$\therefore a(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 4$，$\therefore a = \frac{4}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} =$
$\frac{4(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$ (3) $\because 3 + \sqrt{3}$ 与 $6 + \sqrt{3}m$ 是关于 12 的共轭二次根式，$\therefore (3 + \sqrt{3})(6 + \sqrt{3}m) = 12$，$18 + 3\sqrt{3}m + 6\sqrt{3} + 3m = 12$，$3\sqrt{3}m + 3m = -6\sqrt{3} - 6$，$(3\sqrt{3} + 3)m = -2(3\sqrt{3} + 3)$，$\therefore m = -2$。
$\frac{4(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$ (3) $\because 3 + \sqrt{3}$ 与 $6 + \sqrt{3}m$ 是关于 12 的共轭二次根式，$\therefore (3 + \sqrt{3})(6 + \sqrt{3}m) = 12$，$18 + 3\sqrt{3}m + 6\sqrt{3} + 3m = 12$，$3\sqrt{3}m + 3m = -6\sqrt{3} - 6$，$(3\sqrt{3} + 3)m = -2(3\sqrt{3} + 3)$，$\therefore m = -2$。
解析
【分析】
（1）根据共轭二次根式的定义，直接计算两个二次根式的乘积即可得到$c$的值；
（2）已知$a$与$\sqrt{5}-\sqrt{3}$是关于4的共轭二次根式，根据定义可得$a·(\sqrt{5}-\sqrt{3})=4$，因此$a=\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$，再通过分母有理化求出$a$的值；
（3）根据共轭二次根式的定义列出方程$(3+\sqrt{3})(6+\sqrt{3}m)=12$，先展开左边的式子，再将含$m$的项合并，提取公因式后求解$m$的值。
【解析】
(1) 根据共轭二次根式的定义，$c=3\sqrt{2}×\sqrt{2}=3×2=6$；
(2) $\because a$与$\sqrt{5}-\sqrt{3}$是关于4的共轭二次根式，
$\therefore a·(\sqrt{5}-\sqrt{3})=4$，
$\therefore a=\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}=2\sqrt{5}+2\sqrt{3}$；
(3) $\because 3+\sqrt{3}$与$6+\sqrt{3}m$是关于12的共轭二次根式，
$\therefore (3+\sqrt{3})(6+\sqrt{3}m)=12$，
展开左边得：$3×6 + 3×\sqrt{3}m + \sqrt{3}×6 + \sqrt{3}×\sqrt{3}m = 18 + 3\sqrt{3}m + 6\sqrt{3} + 3m$，
移项整理得：$3\sqrt{3}m + 3m = 12 - 18 - 6\sqrt{3}$，
即$(3\sqrt{3}+3)m = -6 - 6\sqrt{3} = -2(3\sqrt{3}+3)$，
$\because 3\sqrt{3}+3≠0$，
$\therefore m=-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}$；(3) $\boldsymbol{-2}$
【知识点】
共轭二次根式定义，分母有理化，二次根式乘法运算
【点评】
本题以新定义“共轭二次根式”为背景，考查二次根式的运算及方程求解。解题的关键是准确理解共轭二次根式的定义，将新定义转化为常规的二次根式运算和方程问题，同时需熟练掌握二次根式的乘法法则和分母有理化的方法，培养对新定义题型的理解与应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）根据共轭二次根式的定义，直接计算两个二次根式的乘积即可得到$c$的值；
（2）已知$a$与$\sqrt{5}-\sqrt{3}$是关于4的共轭二次根式，根据定义可得$a·(\sqrt{5}-\sqrt{3})=4$，因此$a=\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$，再通过分母有理化求出$a$的值；
（3）根据共轭二次根式的定义列出方程$(3+\sqrt{3})(6+\sqrt{3}m)=12$，先展开左边的式子，再将含$m$的项合并，提取公因式后求解$m$的值。
【解析】
(1) 根据共轭二次根式的定义，$c=3\sqrt{2}×\sqrt{2}=3×2=6$；
(2) $\because a$与$\sqrt{5}-\sqrt{3}$是关于4的共轭二次根式，
$\therefore a·(\sqrt{5}-\sqrt{3})=4$，
$\therefore a=\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}=2\sqrt{5}+2\sqrt{3}$；
(3) $\because 3+\sqrt{3}$与$6+\sqrt{3}m$是关于12的共轭二次根式，
$\therefore (3+\sqrt{3})(6+\sqrt{3}m)=12$，
展开左边得：$3×6 + 3×\sqrt{3}m + \sqrt{3}×6 + \sqrt{3}×\sqrt{3}m = 18 + 3\sqrt{3}m + 6\sqrt{3} + 3m$，
移项整理得：$3\sqrt{3}m + 3m = 12 - 18 - 6\sqrt{3}$，
即$(3\sqrt{3}+3)m = -6 - 6\sqrt{3} = -2(3\sqrt{3}+3)$，
$\because 3\sqrt{3}+3≠0$，
$\therefore m=-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}$；(3) $\boldsymbol{-2}$
【知识点】
共轭二次根式定义，分母有理化，二次根式乘法运算
【点评】
本题以新定义“共轭二次根式”为背景，考查二次根式的运算及方程求解。解题的关键是准确理解共轭二次根式的定义，将新定义转化为常规的二次根式运算和方程问题，同时需熟练掌握二次根式的乘法法则和分母有理化的方法，培养对新定义题型的理解与应用能力。
【难度系数】
0.6
15. 在解决含根号的问题中，我们有时会通过平方把根号去掉，从而简化问题.
例如，已知 $\sqrt{x^{2} + 12} = 2x$，求证 $x^{2} = 4$.
解：两边平方，得 $x^{2} + 12 = 4x^{2}$.整理得 $x^{2} = 4$.
请你利用上述思想解决问题：
已知 $a ＞ b ＞ c ＞ d ＞ 0$，且 $x = \sqrt{ab} + \sqrt{cd}$，$y = \sqrt{ac} + \sqrt{bd}$，$z = \sqrt{ad} + \sqrt{bc}$.
试说明 $x ＞ y ＞ z$ 的理由.
例如，已知 $\sqrt{x^{2} + 12} = 2x$，求证 $x^{2} = 4$.
解：两边平方，得 $x^{2} + 12 = 4x^{2}$.整理得 $x^{2} = 4$.
请你利用上述思想解决问题：
已知 $a ＞ b ＞ c ＞ d ＞ 0$，且 $x = \sqrt{ab} + \sqrt{cd}$，$y = \sqrt{ac} + \sqrt{bd}$，$z = \sqrt{ad} + \sqrt{bc}$.
试说明 $x ＞ y ＞ z$ 的理由.
答案
解：因为$a ＞ b ＞ c ＞ d ＞ 0，$
所以： 比较$x$与$y$：$x^2 = ab + cd + 2\sqrt{abcd}，$
$y^2 = ac + bd + 2\sqrt{abcd}，$
$x^2 - y^2 = (a - d)(b - c) ＞ 0，$故$x ＞ y；$
比较$y$与$z$：$y^2 = ac + bd + 2\sqrt{abcd}，$
$z^2 = ad + bc + 2\sqrt{abcd}，$$y^2 - z^2 = (a - b)(c - d) ＞ 0，$故$y ＞ z；$
综上，$x ＞ y ＞ z。$
解析
【解析】
因为$a ＞ b ＞ c ＞ d ＞ 0$，
1. 比较$x$与$y$：
$x^2 = (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})^2 = ab + cd + 2\sqrt{abcd}$，
$y^2 = (\sqrt{ac} + \sqrt{bd})^2 = ac + bd + 2\sqrt{abcd}$，
$x^2 - y^2 = ab + cd - ac - bd = (a - d)(b - c)$，
由于$a＞d$，$b＞c$，则$(a - d)(b - c)＞0$，即$x^2＞y^2$，又$x＞0$，$y＞0$，故$x＞y$。
2. 比较$y$与$z$：
$y^2 = ac + bd + 2\sqrt{abcd}$，
$z^2 = (\sqrt{ad} + \sqrt{bc})^2 = ad + bc + 2\sqrt{abcd}$，
$y^2 - z^2 = ac + bd - ad - bc = (a - b)(c - d)$，
由于$a＞b$，$c＞d$，则$(a - b)(c - d)＞0$，即$y^2＞z^2$，又$y＞0$，$z＞0$，故$y＞z$。
综上，$x＞y＞z$。
【答案】
$x＞y＞z$，理由如上述解析
【知识点】
作差比较法，二次根式的运算，不等式的性质
【点评】
本题运用转化思想，通过平方将含二次根式的大小比较转化为整式的大小比较，利用作差法判断差值正负，结合正数的平方性质得出结论，考查了逻辑推理与代数变形能力。
【难度系数】
0.6
因为$a ＞ b ＞ c ＞ d ＞ 0$，
1. 比较$x$与$y$：
$x^2 = (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})^2 = ab + cd + 2\sqrt{abcd}$，
$y^2 = (\sqrt{ac} + \sqrt{bd})^2 = ac + bd + 2\sqrt{abcd}$，
$x^2 - y^2 = ab + cd - ac - bd = (a - d)(b - c)$，
由于$a＞d$，$b＞c$，则$(a - d)(b - c)＞0$，即$x^2＞y^2$，又$x＞0$，$y＞0$，故$x＞y$。
2. 比较$y$与$z$：
$y^2 = ac + bd + 2\sqrt{abcd}$，
$z^2 = (\sqrt{ad} + \sqrt{bc})^2 = ad + bc + 2\sqrt{abcd}$，
$y^2 - z^2 = ac + bd - ad - bc = (a - b)(c - d)$，
由于$a＞b$，$c＞d$，则$(a - b)(c - d)＞0$，即$y^2＞z^2$，又$y＞0$，$z＞0$，故$y＞z$。
综上，$x＞y＞z$。
【答案】
$x＞y＞z$，理由如上述解析
【知识点】
作差比较法，二次根式的运算，不等式的性质
【点评】
本题运用转化思想，通过平方将含二次根式的大小比较转化为整式的大小比较，利用作差法判断差值正负，结合正数的平方性质得出结论，考查了逻辑推理与代数变形能力。
【难度系数】
0.6
